1、精品文档 用心整理苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理 【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连
2、接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016北京）如图，在四边形ABCD中，ABC=90，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，M
3、N，BN（1）求证：BM=MN；（2）BAD=60，AC平分BAD，AC=2，求BN的长【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明（2）首先证明BMN=90，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题【答案与解析】（1）证明：在CAD中，M、N分别是AC、CD的中点，MNAD，MN=AD，在RTABC中，M是AC中点，BM=AC，AC=AD，MN=BM（2）解：BAD=60，AC平分BAD，BAC=DAC=30，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60，MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+
4、NMC=90，BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_.【答案】5；解：四边形OABC是矩形，OABC，ABOC； BAOA，BCOCB点坐标为（3，2），OA3，AB2D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，DEGF1.5； EFD
5、G1四边形DEFG的周长为 （1.51）252、如图，在ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为 （2）求证：DHF=DEF【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：BDE、EFC的面积都等于ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得DEF=DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到DAF=DEF，即可证出DHF=DEF【答案解析】（1）解：BC=10，AH=8，SABC=810=40，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BDE
6、、EFC的面积都等于ABC面积的，四边形ADEF的面积=4020=20，故答案为：20；（2）证明：D、E、F分别是ABC各边中点，DEAC，EFAB，四边形ADEF是平行四边形，DEF=DAF，AH是ABC的高ABH、ACH是直角三角形，点D、点F是斜边AB、AC中点，DH=DA，HF=AF，DAH=DHA，FAH=FHA，DAH+FAH=FHA+DHA，即DAF=DHF，DEF=DHF【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明DHF=DAF与DAF=DEF3、如图所示，在ABC中，M为BC的中点，AD为BAC的平分线，BDA
7、D于D，AB12，AC18，求MD的长【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度【答案与解析】解：延长BD交AC于点N AD为BAC的角平分线，且ADBN， BADNAD，ADBADN90，在ABD和AND中， ABDAND(ASA) ANAB12，BDDN AC18， NCACAN18126， D、M分别为BN、BC的中点， DMCN3【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形
8、的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( ) A先变大，后变小 B保持不变 C先变小，后变大 D无法确定【答案】B；解： 连接AQ E、F分别是PA、PQ两边的中点， EF是PAQ的中位线，即AQ2EF Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变， 线段EF的长度将保持不变4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）如图1，在ABC中，AB=AC，点D在BC上
9、，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由 【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角； （2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF点E为BC中点EH为ABC的中位线EHAB，且EH=AB同理FHDC，且FH=DCAB=AC，DC=ACAB=DC，EH=FH1=2EHAB，FHDC2=4，1=3
10、4=3AGE+4=180，GEC+3=180AGE=GEC四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题举一反三：【变式】如图，ABCD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A4 B3 C2 D1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，CDAB，C=A，CDE=AHE，E是AC中点，AE=CE，DCEHAE，DE=HE，DC=AH，F是BD中点，EF是DHB的中位线，EF=BH，BH=AB-AH=AB-DC=
11、2，EF=1类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD2，BC4，求四边形EFGH的面积【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由ACBD入手，进行正方形的判断（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积【答案与解析】证明：（1）在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，故可得：EFAC，同理FGBD，GHAC，HEBD，在梯形ABCD中，ABDC，故ACBD，
12、EFFGGHHE，四边形EFGH是菱形设AC与EH交于点M，在ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EHBD，同理GHAC，又ACBD，EHHG，四边形EFGH是正方形 （2）连接EG在梯形ABCD中，E、G分别是AB、DC的中点，EG（ADBC）3在RtEHG中，EHGH，即四边形EFGH的面积为【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EHHGGFFE，这是本题的突破口举一反三：【变式】如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点（1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形理由：连接AC，E、F分别是AB、BC的中点，EFAC，且EFAC，同理，HGAC，且HGAC，EFHG，且EFHG，四边形EFGH是平行四边形；（2）当BDAC，且BDAC时，EFGH是正方形理由：连接AC，BD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，EFGHAC，EHFGBD，EHBD，GHAC，BDAC，BDAC，EHEFFGGH，EHGH，四边形ABCD是菱形，EHG90，四边形EFGH是正方形资料来源于网络 仅供免费交流使用
