1、指数函数和对数函数的知识点及典型例题一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念： 2整数指数幂的运算性质：（1） （2）（3）其中， 3的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即： 若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根， 的3次方根，32的5次方根， 的5次方根说明：若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 4的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则5例题分析：例计算：解：（二）分数指数
2、幂1分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；幂的运算性质对分数指数幂也适用，例如：若，则， 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是； （2）正数的负分数指数幂的意义是2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3例题分析：【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式：， ， .解：=；=；=【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）；（2）；解（1） （2） = = =； 例3计算下列各式：（1） （2）解：（1
3、）= （2）= =； 【例3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），又由得，所以.（2）（法一），（法二）而， 又由得，所以.二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数【例1】求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） （4）解：（1） 原函数的定义域是， 令 则得，所以，原函数的值域是（2） 原函数的定义域是， 令 则，在是增函数 ， 所以，原函数的值域是（3）原函数的定义域是，令 则， 在
4、是增函数， ，所以，原函数的值域是（4）原函数的定义域是，由得， ，所以，原函数的值域是说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例2】当时，证明函数 是奇函数。证明：由得，故函数定义域关于原点对称。所以，函数 是奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，。指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0（负数与零没有对数）2对任意 且, 都有 ，同样：3如果把中的写成， 则有 （对数恒等式）2对数式与指数式的互换例如： ，；，；，；
5、，。【例1】将下列指数式写成对数式：（1）； （2）； （3）； （4）解：（1）； （2）； （3）； （4）3介绍两种常见的对数：常用对数：以10作底简写成；自然对数：以作底为无理数，= 2.71828，简写成【例2】（1）计算： ，解：设 则 ， ,；令， ,（2）求 x的值：； 解： ；但必须： ， 舍去，从而（3）求底数：， 解：； ,4对数的运算性质：如果 a 0 ，a 1，M 0，N 0，那么（1）；（2）；（3）【例3】计算：（1）lg1421g； （2）； （3）解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=5换底公式： ( a 0 , a 1 ；)证明：设，则， 两边取以
6、为底的对数得：，从而得：，说明：两个较为常用的推论：（1）； （2） （、且均不为1）证明：（1）；（2）【例4】计算：（1）； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 【例5】已知，求（用 a, b 表示）解：，又，【例6】设，求证：证明：，四、对数函数1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。11（图1）同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。11（图2）（3）对数函数性质列表： 图象性质（1）定
7、义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+）上是增函数（4）在上是减函数【例1】求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3）由9-得-3，函数的定义域是【例2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），解：（1），（2），【例3】求下列函数的值域：（1）；（2）解：（1）令，则， ，即函数值域为 （2）令，则， 即函数值域为【例4】判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为，所以，为奇函数。【例5】求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。13 / 13
