1、 数 学亲爱的 2019 届平冈学子：从 2016 年开始， 广东省高考数学试题使用全国I 卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装 ”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。6、及时复习
3、，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。8、经常在做题后进行一定的 “反思 ”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。初高中数学衔接呼应版块1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般
4、只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多 ,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用
5、题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。9. 角度问题，三角函数问题。在初中只涉及360 范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数
6、，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目 录12 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2b xc 的图像和性质2.2.1 二次函数 yax 2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.1.1绝对值a, a 0,| a | 0, a 0,a, a 0.
7、一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离a ba b表示在数轴上，数 和数 之间的距离两个数的差的绝对值的几何意义：二、典型例题：例 1 解不等式： | x 1| 4解法一：由x 1 0，得 x 1；若 x 1，不等式可变为(x 1) 4 ，即 1 x 4 ，得 x3 ，又 x1，x-3；若1 x，不等式可变为 (x 1) 4 ，综上所述，原不等式的解为x3 或 x 5。解法二：如图 111，x 1表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 |PA
8、|，即|PA|x1|；所以 | x 1| 4 的几何意义即为PxCA1D5| PA|4可知点 P 在点 C(坐标为 -3)的左侧、 或点 P 在-3x 点 D (坐标 5)的右侧x3 x 5或 。练 习 A|x1|图 1111填空：（1）若x 5，则 x=_；若x4，则 x=_.（2）如果 a b 5，且2选择题：下列叙述正确的是a1，则 b_；若 1 c 2，则 c_.（ ） （A）若（C）若a b，则a bB（ ）若a ba b，则，则a baa b ，则 a b（ ）若Db练习 B3解不等式： | x 2 | 34、化简： |x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式一、复习：我们在
9、初中已经学习过了下列一些乘法公式：22(a b)( a b) a b（1）平方差公式；222(a b) a 2ab b（2）完全平方公式我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：22333（1）立方和公式(a b)( a ab b ) a b；223（2）立方差公式(a b)(a ab b ) a b必须记住2222（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式(a b c) a b c 2(ab bc ac)；33223(a b) a 3a b 3ab b；33223(a b) a 3a b 3ab b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明二、典型例题例 1 计算：22
10、(x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)2222解法一：原式 =(x 1) ( x 1) x2426= (x 1)(x x 1)= x 122解法二：原式 =(x 1)(x x 1)(x 1)(x x 1)33= (x 1)(x 1)6= x 1222例 2 已知 a b c 4， ab bc ac 4，求 a b c的值2222解： a b c (a b c) 2(ab bc a c) 8练 习 A1填空：11411322（1） ab ( ba) （）；9222（2）(4 m) 1 6m 4m () ；2222(3 ) (a 2b c) a 4b c () 2选择题：（1）若 x21
11、2mx kk是一个完全平方式，则 等于（）111（A） m2m2m2m2（ ）B（ ）CD（ ）431622a b（2）不论 ， 为何实数， a b 2a 4b 8的值（B）总是负数（A）总是正数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一、概念：一般地，形如a(a 0) 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如22222x222xy y2a2等是有理式3a a b 2ba bx 1 x，等是无理式，而，2 1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次2 2
12、3 a例如 与 ，a与 ，3 6根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，a xx a x b y a x b y a x b a x b与 ， 与 ， 与 互为有理与，与，等等 一般地，化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程a bab(a 0,b 0)；而对在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类
13、似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式a, a 0,222 二次根式 a 的意义aaa, a 0.二、典型例题例 1 将下列式子化为最简二次根式：621 2b ； （2） a b(a 0)4x y(x 0)（1）； （ ）3212b 2 3b解： （1）；（2） a b a b a b(a 0)；633（3） 4x y 2 xy2x y (x 0) 例 2 计算：3 (3 3)33 ( 33 ) 3 3 3 3( 3 1)3 123 ( 33 ( 33 )解法一：3 3 ( 33 ) ( 333 ) 9 36313 13 123 )解法二：3 1 ( 3 1)( 3 1)3 33( 3
14、1)例 3 试比较下列各组数的大小：22 2 6（1）12 11和 11 10 ； （2）和.6 412 11 ( 12 11)( 12 11)1解： （1）12 11，112 111 0 ( 1 1 1 0 ) ( 1 11 1 1 012 111 0 )1 111 11 0，1 011 1又12 11 11 10 ，12 11 11 102 2 6 (2 2 6)(2 2+ 6)2 2+ 622 2 6,（2）12 2+ 6又 42 2， 64 62 2，22 2 6.6 420042005例 4 化简：( 32)( 32) 20042005( 32)( 3 2)( 3解：2 0 0 42
15、 0 0 4( 32 )2 )( 32)2 )2004( 32) ( 32)( 312004 ( 3 2)3 21x2x22(0 x 1)例 5 化简：（1） 9 4 5 ；（2）5 4 5 4解：（1）原式 =25 22( 5)2 2 2(25)2515 212(x )x，x1x1x 0 x 1，1 x ， 所以，原式x练 习 A1填空：（1）1 3_； （2）若(5 x)(x 3)2 (x 3) 5 x_ _；1 3（3）4 24 6 54 3 96 2 150_；5x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1（4）若 x，则_2x 1 x 1（提示先简化后代入）2选择题：xx等式成立的条件
16、是（B） x 02（）x 2（A） x 2练习 Bx 2（C） x 2（D） 0 x 22a 1 1 aa 13若 b，求a b 的值4比较大小： 2 35 4（填 “ ”，或 “ ”）1.1.4分式一、概念： 1分式的意义AAAA A MB B MA A MB 0形如 的式子， 若 B 中含有字母， 且，则称 为分式 当 M 0时，分式 具有下列性质：；BBBB B M上述性质被称为分式的基本性质2繁分式am n pbc d像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式2mn p二、典型例题：5x 4AB例 1 若，求常数 A, B 的值x(x 2) x x 2ABA(x 2) Bx (
17、A B)x 2A5x 4解： ，x x 2A B 5,2A 4,x(x 2)x(x 2)x( x 2)A 2 ,B 3解得111例 2 （1）试证：（2）计算：（其中 n 是正整数） ；n(n 1) n n 1111；1 2 2 39 101111（3）证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有2 3 3 4n(n 1) 2 111（1）证明：，n n 11n(n 1)11（其中 n 是正整数）成立n( n 1) n n 11111 2 2 39 1 011 1) (2 31 1( 1)()219 1 091 1 0 10111（3）证明：2 3 3 41 1n(n 1)1 111 () ()(
18、)2 33 4n n111，2 n 1又 n2，且 n 是正整数，1一定为正数，n1111122 3 3 4n n(1 )c22例 3 设 ee 1 2c 5ac2a 0，求 e 的值，且 ，a222解：在 2c 5 ac2a 0 两边同除以 a ，得25e20，2e (2 e1)(e 2) 0 ，12e 1，舍去；或 e2e2练习 A1填空题：111对任意的正整数 n，()；n(n 2)n n 22选择题：2x y 2x，则 若（）x y3y5465（A）（B）（C）（D）45x y223正数4计算x, y满足 x y 2xy，求的值x y1111.1 2 2 3 3 499 100习题 1
19、1A 组1解不等式： x 1 3 33已知 x y 1，求x y 3xy的值3填空：1819（1）(2 3) (2 3) _；(1 a)2(1 a)22（2）若，则 的取值范围是_；1111（3）_12233445562113a ab4填空： a ，b ，则_；2221233a 5ab 2b13yyx, y5已知：，求的值xyxyB 组1选择题：（1）若a b 2 abba ，则（）（A） a b（B） a b（C）a b 0（D）b a 01aa（2）计算（A）等于（）aaaa（B）（C）（D）11112计算：1 3 2 4 3 59 1112 分解因式一、复习引申：因式分解的主要方法有：十
20、字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x 4x12；222（3） x (a b) xy aby ； （4） xy 1 x y 2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成 1 与 2 的乘积，而图中的对角线上的两个解：（1）如图 121，将二次项 x22数乘积的和为 3x，就是 x 3x2 中的一次项，所以，有x 3x2(x1)(x2) xx12xx1112aybyxy111 216图 121图 122图 124图 123说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图2121 中的两个 x
21、 用 1 来表示（如图 122 所示）（2）由图 123，得 x 4x12(x2)( x6)22（4） xy 1 x y x y(xy)1(x1) ( y+1) （如图 125 所示）2提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：3222（1）x 9 3x 3x；（ ）2 2x xy y 4x 5y 632322解： （1） x 9 3x 3x =(x 3x ) (3x 9)= x (x 3) 3(x 3)2= (x 3)( x 3) 3232333或 x 9 3x 3x (x 3x 3x 1) 8 (x 1) 8 (x 1) 222( x 1) 2( x 1) (x 1) 2 2 (x 3 )
22、x(23)二次项一次项 常数项22222x xy y 4x 5y 6 (2x xy y ) (4x 5y) 6（2）= (2 x y)( x y) (4 x 5 y) 6= (2 x y 2)( x y 3) 2x-yx+y2-323关于 x 的二次三项式 ax + bx+c(a0的) 因式分解22若关于 x 的方程1212例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：222（1） x 2x 12（ ）x 4xy 4y ；2解： （1）令 x 2x 1=0x11 2， x22) x ( 11 2 ，2)，则解得2 x 2x 1= x ( 1(x 1 2)( x 1 2)=22（2）令x 4xy
23、 4y =0，则解得 x ( 2 2 2)y ， x ( 2 2 2)y ，1122x 4xy 4y x 2(1 2) y x 2(1 2) y=二、练习 A1选择题：多项式222x xy 15y 的一个因式为（x 3y）2x 5yx 3yx 5y（D）（A）（B）（C）2分解因式：233（1）x 6x8；（2）8a b ；2（3）x 2x1；（4） 4( x y 1) y( y 2x) 练习 B 组1分解因式：342（1）a 14x 13 x 9；（ ）2 22（3）b c 2ab 2ac 2bc；2在实数范围内因式分解：22（1） x 5x 32 x 2 2x 3；（ ）22（3） 3x
24、4xy y；22x(a a)3分解因式： x 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax bxc0（a0），用配方法可以将其变形为2b2b 4ac(x)2a4a22因为 a0，所以， 4a 0于是2b b 4ac2（1）当 b 4 ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2；2a2（2）当 b 4 ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根bx ；x1 22ab2)2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根（3）当 b 4 ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x2a2222由此可知，一元二次方
25、程ax bxc0（a0）的根的情况可以由 b 4ac来判定，我们把 b 4ac 叫做一元二次方程 ax bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号 “来”表示2综上所述，对于一元二次方程ax b xc0（a0），有2b b 4ac（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2；2ab（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根（3）当 0 时，方程没有实数根x x ；1 22a二、典型例题：例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根22（1）x 3x30；（2）x ax10；22（3） x ax(a1)0； （4）x 2xa02解：（1）3
26、 41330，方程没有实数根 2a a 422（ 2） 该方程 的根 的 判别 式 a 41( 1) a 4 0 ， 所以方 程一定 有两 个 不等 的 实数 根 x，122x22222所以，x 1；x1当 a2 时， 0，所以方程有两个相等的实数根21，x a1当 a2时， 0， 所以方程有两个不相等的实数根x122（4）由于该方程的根的判别式为 2 41a44a4(1a)，所以当 0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根x 1 1 a1x 1 1 a；2，x 1；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根当 0，即 a1 时，方程没有实数根x12说明：在第 3，4
27、小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2一、概念： 1、若一元二次方程 ax bxc0（a0）有两个实数根22bb 4 a cbb 4 acx1， x2， 则有2a2a22b b 4acb b 4ac2b2abax x1；22a2a2222b b 4ac b b 4ac b (b 4 ac) 4ac cx x1 24a222a2a4a a所以，一元二次方程的根与系数之间存在
28、下列关系：bc2b xc0（a0）的两根分别是 x ，x ，那么 x x 如果 axx x 这一关系也被称为韦达定理， 121212aa2p xq0，若 x ，x 是其两根，由韦达定理可知1 的一元二次方程 x x x p，x q，x2、特别地，对于二次项系数为121212x ) q x x ， 即p(x1212222pxq0 可化为 x (x x )x x x 0，由于 x ，x 是一元二次方程 x p xq0 的两根，所以， x ，x 也是所以，方程 x12 1 212122一元二次方程 x (x x )x x x 0 的两根，因此有12 1 22以两个数 x ，x 为根的一元二次方程（二
29、次项系数为1）是 x (x x )x x x 012 1 212二、典型例题：25x k x 6 0例 2 已知方程的一个根是 ，求它的另一个根及 的值2k分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值解法一： 2 是方程的一个根，252 k260，k732所以，方程就为 5x 7x60，解得 x 2，x 125所以，方程的另一个根为解法二：设方程的另一个根为3 ，k 的值为 7563x
30、 ，则 2x ，x 111553k由 （ ）2 ，得 k 755所以，方程的另一个根为3 ，k 的值为 7522例 3 已知关于 x 的方程 x 2(m2)xm 40 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 m 的值分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x ，x 是方程的两根，由韦达定理，得2x x 2( m2)，x x m 4121212 222x x x 21， (x x ) 3 x x 21，x121 2121
31、 2222化简，得解得 m1，或 m172当 m 1 时，方程为 x 6x50，0，满足题意；22当 m17 时，方程为 x 30x2930，30 412930，不合题意，舍去综上， m-1m 的范围，然后再由 “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的m 的值即可（）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式的前提是一元二次方程有实数根是否大于或大于等于零因为，韦达定理成立例 4 已知两个数的和为 4，积为 12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这
32、两个数分别是则 xy4，x，y，x y 12由，得y4x，代入，得 x(4x)12，2即x 4x120，2，x 6x12x2,x 6,21或y 6,1y22.因此，这两个数是 2 和 62解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 4x120 的两个根2，x 6 所以，这两个数是 2 和 6解这个方程，得x12说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷2和 x 分别是一元二次方程2x 5x30 的两根例 5 若 x12113132x |的值； （ ）求3 x x （1）求| x12的值； （ ）2x12 x2252322和 x 分别是一元二次方程 2x 5
33、x30 的两根， x xx x1 2解： x1，2125232222x | x + x 2 x x (x x ) 4 x x ( ) 4 ( )（1）| x12121 2121 2222544976 ， | x x | 12 42532522122( ) 2 ( )31 1 x x(x x ) 2x x372242121 2（2）x12 x22x x22(x x )239492121 2( )2332222x (x x )( x x x x ) (x x ) ( x x ) 3x x （3）x11211 22 12121 25523215( ) ()23 ()228注意：说明：一元二次方程的两
34、根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：2设 x 和 x 分别是一元二次方程 ax bxc0（a0），则1222b b 4acb b 4acx1， x2，2a2a222bb 4ac2abb 4ac2 b 4ac| x x |12 2a2a2b 4 a c| a |a| |于是有下面的结论：22若 x 和 x 分别是一元二次方程 ax bxc0（a0），则| x x |（其中 b 4ac）1212 | a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论2例 6 若关于 x 的一元二次方程 x xa40 的一根大
35、于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围解：设 x ，x 是方程的两根，则x x a40，1 212 且 (1)24(a4)0由得a4，17a4由得练习 A1选择题：（1）方程22x 2 3kx 3k 0的根的情况是（ ）（A）有一个实数根（C）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（D）没有实数根2（2）若关于 x 的方程 mx (2m1) xm0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）1111，且 m0 （D）m ，且 m0（A）m （B）m（C）m44442（3）已知关于 x 的方程 x kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（A）3（B）3（C）2（D）2（4）下列四个说法：22x70 的两根之和为 2，两根之积为 7；方程 x2方程 x 2x70 的两根之和为 2，两根之积为 7；72方程 3 x 70 的两根之和为 0，两根之积为；32方程 3 x 2x0 的两根之和为 2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（ ）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个22（5）关于 x 的一元二次方程 ax 5xa a0 的一个根是 0，则 a 的值是（
