1、切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成了近年来高考的热门题型。随着导数的引入, 它的内涵更加深刻、题型更加丰富。熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。本文将会总结出常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。【关键词】：切点弦 圆锥曲线1、常见曲线的切点弦知识点归纳（1）圆的切点弦方程命题 1 过圆
2、 C: x2+ y2= r2外一点M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA、MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA MA , O B MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为直径的圆x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0上, 它与圆 C 的公共弦即为 AB。两圆方程相减, 得切点弦 AB 所在的直线方程为x0 x + y0y = r2(2) 椭圆的切点弦方程命题 2 过椭圆 C:外一点M ( x0 , y0 ) 作椭圆的两条切线 MA 、 MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为。证明:
3、 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，将方程两边对 x 求导得。于是, 切线 MA 的方程为y - y1 =,即化简得：，特别地, 当 y1 = 0 时, 上式也成立。同理：。又M( x 0 , y 0 ) 在直线 MA 、 MB 上, 则。这两个等式表示点 A ( x1 , y1 ) 、 B( x2, y2 ) 都在直线上, 也说明此直线即为切点弦 A B 所在的直线方程。注: 这种通过类比而得到切点弦方程的证明方法通常称为“设而不求”，命题1也可用此方法证明。(3) 双曲线的切点弦方程命题 3 过双曲线 C:外一点 M( x0 , y0 ) 作双曲线的两条切线
4、 MA 、 MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为(4) 抛物线的切点弦方程命题 4 过抛物线 C:外一点 M ( x0 , y0 ) 作抛物线的两条切线 MA 、MB. 则切点弦 AB 所在的直线方程为y0y = p ( x + x0 ) 。(5) 反比例函数的切点弦方程命题 5 过反比例函数 C:的图像( 等轴双曲线) 外一点 M ( x0 , y0 ) 作它的两条切线 MA 、 MB. 则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0y + y0x = 2k 。(6) nike曲线的切点弦方程命题 6 过nike曲线 C:外一点 M ( x0 , y0 ) 作nike曲线的两条切线MA 、 MB
5、. 则切点弦 AB 所在的直线方程为( y0 - 2x0 ) x + x0y = 2k .注: 仿命题 2 的证明可证命题 3、 4、 5、 6。2、圆锥曲线的切点弦性质探究一般地说,从圆锥曲线外一点,可引两条切线A,B ( A,B为切点 )。它虽然不象圆那样:具有切线长定理等几何性质,但连结两个切点A、B ,所得的方程,却有相同的推导方法。为了叙述上的方便,把这种方程叫做切点弦方程。这种方程的推导简单,方程形式简洁,而且在解题时,利用切点弦方程,更可以大大简化解题过程。（1）切点弦的弦长以椭圆为例：如图一所示，AB为切点弦，设P0（x0,y0）为椭圆b2x2+a2y2=a2b2外一点，A，B
6、为切点，则过切点A,B的切 Po 点弦方程是(T),即b2x0x+a2y0y=a2b2，且斜率 BK=，把T带入椭圆方程并整理得： A 因而： 图一 所以弦长由于点P0(X0,Y0)在椭圆外，故，同样亦可以证明双曲线的切点弦弦长为|AB|同理可证得抛物线的切点弦长为：|AB|=（2）三角形P0AB的面积对于椭圆来说，由于P0(X0,Y0)点到切点弦AB：的距离为（注意：）所以SP0AB = =对圆而言，因为a=b=r，所以S=，其中，是圆外一点到圆心的距离d，是这点所引圆的切弦长t,则S=。3、二次曲线的切点弦方程定理求二次曲线切点弦的方程,常规解法计算较繁杂。用下面几个定理给出一种新的解法,
7、显得巧妙灵活,对于共它与切点弦的有关问题,此种解法亦见简便。定理一，椭圆的切线斜率K切，与切点和中心（h,k）连线的斜率k之积为K切K=，当a=b时，为圆K切K=-1 ，即过切点的半径与切线垂直。定理二，双曲线的切线斜率K切,与切点和中心（h,k）连线的斜率k之积为K切K=定理三，抛物线的切点为（x0,y0）的切线的斜率k切与切点和顶点（h,k）的连线的斜率k之积为K切K=定理四，抛物线的切点为（x0,y0）的切线的斜率k切与切点和顶点（h,k）的连线的斜率k之积为K切K=4、运用切点弦的性质定理巧解题例题1、在椭圆上求一点，使这点到直线的距离最短，并求出这个距离。解:由题设知:直线L和椭圆相
8、离。又与已知直线L平行的椭圆的切线有两条,每一条切线与L的距离就是切点到直线L的距离。椭圆的其它各点都夹在这两条平行切线之间。各点到直线L的距离,在两切点到直线L的距离之间,所以,所求的点必是椭圆平行于已知直线L的两切线的两个切点之一同直线L平行的椭圆切线斜率K切=，设切点为M，由定理一有所以，又椭圆是关于中心对称曲线，所以过两切点的直线，同的两个交点（2，-3）和（-2，3），点（2，-3）到L的距离点（-2，3）到的距离所以，点（2，-3），为所求。例题2、如图二所示，已知抛物线C：和定点M（4，2），过点M的直线交抛物线C于点A、B，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线交于点N，若三角
9、形ANB的面积为，求N的坐标。解：设点N（x0,y0）,可得直线AB方程为 ,即由于直线AB过点M（4，2）,则4x0-4-2y0=0 ，即故点N（x0,2x0-2）,直线AB为x0x-2y-4x0+4=0,设A（x1,y1）,B(x2,y2),联立方程消去y得，则则点N到直线AB的距离：d=线段AB的长度为：故三角形ANB的面积，故，解得或，从而点N的坐标为（10，18）或（-2，-6）。经检验，上述点均符合条件，故所求的点N的坐标为（10，18）或（-2，-6）。例题3、过双曲线外一点P（3，3）作双曲线两切线，切点分别为M、N，求直线MN的方程。解：设两切点的坐标为M（x1，y1）N（x
10、2，y2）则两切线方程为和由于两切线均过P（3，3）则和故（x1，y1）（x2，y2）均为方程的解，则过M，N的直线方程为：。综上所述,可知注意对课本定理的研究,对于帮助学生理解课本内容,提高证题水平,启迪思维拓展视野均颇有益处，同时这样的专题研究,既有利于学生系统灵活地掌握学过的知识、提高学习效率，又有利于提高数学思维的能力和综合运用知识的能力，对于培养学生的探索精神和创新意识将会起到积极的作用。参考文献：1 蔡献慧.圆锥曲线切点弦的应用.洛阳师范学院学报J,2006(5).2 黄熙宗.圆锥曲线切点弦方程的简易求法.苏州教育学院学报J,1991(3):94-95.3 宋光德.圆锥曲线中的切线和弦新探.绍兴纹理学院学报J,2001,21(1):720-721.4教师教学用书,人民教育出版社,2008.12.
