1、智浪教育-普惠英才文库初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567
2、，21281等)能被7整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B0），如果B能整除A（记作BA），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如315，15是3的倍数，3是15的约数。2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7
3、是0的约数。3 整数A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是A的倍数，例如5的倍数有5，10，。4 整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A。例如6的约数是1，2，3，6。5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7 在有余数的除法中，被除数除数商数余数若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除例如23372则232能被3整除。三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于
4、1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2根椐质数定义可知 质数只有1和本身两个正约数， 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。四、零的特性一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记
5、作结存0元。2， 零是判定正、负数的界限。若a 0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数bb时,a-b0；当ab时,a-b0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数1.61.651.595近似数1.601605五、an 的个位数.1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8
6、。2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指数12345678910底数224862486243397139713977931793179其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K2与22，24K3与23，24K4与24的个位数是相同的（K是正整数）。3和7也有类似的性质。4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用422，823，932转化为以2、3为底的幂。5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的
7、一般规律：a4Km与am的个位数相同(k,m都是正整数)六、数学符号数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示园和三角形等。2, 关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4, 逻辑符号：略5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的整数部份记作Z（），而它的余数记作R（）， 那么Z（）3，R（）1；又如设表示不大于x的最大整数，那么5，6，0，3。正
8、确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。七、用字母表示数1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。例如写出数a的倒数用字母表示一切偶数解：当a0时，a的倒数是设n为整数，2n可表示所有偶数。3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有
9、说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。例题化简：x 3（x3） | x+5|解：x3,x30，x3（x3）x3当x5时，x5x5，当x 0，b0， 那么 a+b0，不可逆绝对值性质 如果a0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则a0)7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n位正整数，则要观察其规律一位正整数,从1到9共9个， 记作91二位正整数从10到99共90个， 记作910三
10、位正整数从100到999共900个， 记作9102四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9103 (指数3=4-1) n位正整数共910 n-1个例2 _A C D E B在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n个点，则共有线段1+2+3+n+1=
11、 =条八、抽屉原则1， 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。2， 如果用表示不小于的最小整数，例如3， 。那么抽屉原则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数mn）,则至少有一个集合里元素不少于个。3， 根据的定义，己知m、n可求；己知，则可求的范围，例如己知3，那么23；己知2，则 12，即3x6，x有最小整数值4九、一元一次方程解的讨论1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的
12、解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是：x=3, x=0或x=1, x=6, 所有的数，无解。2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：当a0时，有唯一的解x=；当a=0且b0时，无解；当a=0且b0时，有无数多解。（不论x取什么值，0x0都成立）3,求方程ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当ab时，方程有整数解；当ab，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b十、二元一次方程的整数解1， 二元一次方程整数
13、解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一，整除法：求方程5
14、x+11y=1的整数解解：x= (1) , 设是整数），则y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 用观察法直接写出。十一、二元一次方程组解的讨论1 二元一次方程组的解的情况有以下三种： 当时，方程组有无数多解。（两个方程等效） 当时，方程组无解。（两个方程是矛盾的） 当（即a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时
15、，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。十二、用交集解题1 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作6的正约数1，2，3，6，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作除以3余1的正整数1，4，7，10，它的个元素有无数多个。2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A1，2，3，6，10的正约数集合B1，2，5，10，6与10的公约数集合C1
16、，2，集合C是集合A和集合B的交集。3 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组解的集合就是不等式（1）的解集x3和不等式（2）的解集x2的交集，x3. 如数轴所示： 0234一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，得答案。十三、用枚举法解题有一类问题的解答，
17、可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。十四、经验归纳法1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ，（ 1 ）3 1 ，（ 1 ）4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9102），四位数有91039
18、000个（9103），归纳出n 位数共有910n-1(个) 由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）十五、乘法公式1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，
19、有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b
20、+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+
21、1+b2n+1类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推广可知：当n为正整数时anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。十六、整数的一种分类1 余数的定义：在等式AmBr中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。即：在整数集合中被除数除
22、数商余数 (0余数除数)例如：13，0，1，9除以5的余数分别是3，0，4，1（15（1）4。95（2）1。）2 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作2k,2k1（k为整数）m=3时，分为三类，记作3k,3k+1,3k+2. 或3k,3k+1，3k1其中3k1表示除以3余2。m=5时，分为五类，5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 或5k,5k1,5k2，其中5k2表示除以5余3。4 余数的性质：整数
23、按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数112） （4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数133）（5k2）225k220k+4=5(5k24k)+4（余数224）以上等式可叙述为： 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：17除以5余2 176除以5的余数是4 （2664）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选
24、用模m。十七、奇数.偶数1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，02，不能被2整除的整数是奇数，如1，1，3。如果n 是整数，那么2n是偶数，2n1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3 奇数偶数的运算性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数奇数奇数奇数奇数偶数偶数，偶数偶数偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。十八、式
25、的整除1 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。2 根据被除式除式商式余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)p(x)q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如x23x4（x4）（x +1）,x23x4能被（x4）和（x +1）整除。显然当x=4或x=1时x23x40，3 一般地，若整式f(x)含有x a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则xa能整除f(x)。4 在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab则p=a+b
26、,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。十九、因式分解我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：x4+x2+1a3+b3+c33abc分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2 （a+b）3+c
27、33ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)例2因式分解：x311x+20a5+a+1 分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x311x+20x316x+5x+20x（x216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x24x+5) 分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+ a2+a+1=a2(a1)( a2
28、+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a2+1)2 运用因式定理和待定系数法定理：若x=a时，f(x)=0, 即f(a)=0，则多项式f(x)有一次因式xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：x35x2+9x62x313x2+3分析：以x=1,2,3,6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2时，x35x2+9x60，原式有一次因式x 2，x35x2+9x6（x 2）（x23x+3,）分析：用最高次项的系数2的约数1，2分别去除常数项3的约数1，3得商1，2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有
29、当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1解：x=时，2x313x2+30，原式有一次因式2x1，设2x313x2+3（2x1）（x2+ax3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a113，a=62x313x+3（2x1）（x26x3）。例4因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20解：2x2+3xy9y2（2x3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3ya）（x+3yb），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项 的系数，得解得2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x2+(3y+14)x
30、(9y2+3y20)这是关于x的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)mx（3y4）nx+（3y+5）比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)二十、代数恒等式的证明证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。3证明：左边的
31、代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边右边0可得左边右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二十一、比较大小1 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当ab0时，ab；当ab0时，a=b；当ab0时ab。2 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。3 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。4 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a20，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。
32、诸如(ab)20，a2+10，a2+a+1=(a+)2+0a20，（a2+a+2）0当ab时，（ab）20二十二、分式1 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。(1)分式中，当B0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。2 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。二十三、递推公式1.先看一例：a1=b,a2=,a3=an+1=这里
33、a1,a2,a3an,an+1是对应于正整数1，2，3n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。例如: 若a1=10, 则a2=,a3=10,a4=,a5=102. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示a2=a1+5,a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+25， a4=a3+5=(a1+25)+5=a1+35an=a1+(n-1)5如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+195=1053.有一类问题它
34、与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。二十四、连续正整数的性质一.两个连续正整数1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如312，793940，1115556。二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是9999910000190000（个）1. n位数的个数一般可表示为910n-1(n为正整数，1001)例如一位正整数从1到9共9个（9100），二位数从10到99共90个
35、（9101）三位数从100到999共900个（9102）2.连续正整数从n 到m的个 数是mn+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是119从13到49的连续偶数的个数是1184. 从13到49能被3整除的正整数的个数是112从13到49的正整数中除以3余1的个数是113你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1. 123n（1n）（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b) 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2. 11131555（1155）759（从11到55有奇数12
36、3个）3. 11141753（1153）480（从11到53正整数中除以3余2的数的个数共115）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1. 123456789各数位上的数字和是（09）（18）（45）95452. 123499100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1各数位上的数字和是18501901五. 连续正整数的积从1开始的n个正整数的积123n记作n！，读作n的阶乘1. n个连续正整数的积能被n！整除，如111213能被123整除；979899100能被4！整除；a（a+1）(
37、a+2)(a+n)能被（n+1）！整除。2. n！含某因质数的个数。举例如下： 12310的积中含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个其中422含两个质因数2增加了1个其中823含三个质因数2再增加2个 123130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，125，130均含质因数5暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个其中12553含三个5再增加2个积中含质因数5的个数是32二十五、十进制的记数法1. 十进制的记数法就是用0，1，29十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的
38、各个位数：100=1(个位数第1位)， 101=10(十位上的数-第2位)，102=100(百位上的数-第3位)，10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5104+4103+3102+0101+71002. 十进制的n位数(n为正整数)， 记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+102an-2+10an-1+an 其中最高位a10，即0a19，其它是0a1,a2,a3an93. 各位上的数字相同的正整数记法：例如999=100011031，99991041，10n-1，4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论二十六、选择题解法（一）1. 选择题有多种类，这里只研究有唯一答案的选择题解法。2. 对“有唯一答案”的选择题解答，一般从两方面思考：直接选择正确的答案或逐一淘汰错误的选择项。3. 判断的根据有：运用概念辨析，借助图形判别，直接推理演算，列举反例否定，代入特殊值验证等等。4. 必须注意： 先易
