1、 双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.2、双曲线的简单性质标准方程顶点坐标焦点坐标左焦点，右焦点上焦点，下焦点虚轴与虚轴实轴长、虚轴长实轴长、虚轴长有界性，对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.3、渐近线
2、双曲线的渐近线为，即，或.【注】与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；渐近线为的双曲线方程可以设为；共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，为双曲线的左、右焦点，则，其中.5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，且.6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.7、双曲线的焦点到渐近线的距离
3、为（虚半轴长）.8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则与相交；与相切；与相离.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且，则，即动点的点的轨迹为.12、双曲线上任意两点的坐标性质为双曲线上的任意两点，且，则.【推广1】直线过双曲线的中心，与双曲线交于两点，为双曲线上的任意一点，则（均存在）.【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点若为的中点，则.13、中点弦的
4、斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率.14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两点，则定值.15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于两点，则定值.【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_.【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值X围是_.【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_.【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_.【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交点，则_.【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值X围是（ ）AB. C. D.【变式6】直线与双曲线的渐近线交于
5、两点，设为双曲线上的任意一点，若(为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A.B.C.D.【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积为，则的最大值为_.例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则=_.【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_.【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_.例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,试求的值.例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线对称？若存在，求出的值；若
6、不存在，说明理由.例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值X围为_.【变式1】已知曲线:；（1）画出曲线的图像；（2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值X围；（3）若，为曲线上的点，求的最小值.【变式2】直线：与曲线：.（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，某数的取值X围；（2）若直线被曲线截得的弦长，某数的取值X围；（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_.例8、已知动
7、圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是_.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_.例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在轴上的截距的取值X围.【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.（1）求双曲线的方程；（
8、2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，某数的取值X围，并用表示点的坐标；（3）设点，求直线在轴上的截距的取值X围.例11、已知双曲线方程为：.（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段，证明你的结论.例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且圆的方程是（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：例14、已知双曲线：的一个焦点是，且（1）求双曲线的方程；（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，某数的取值X围；并证明中点在曲线上（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的X围；若不存在，请说明理由9 / 9
