1、2020 年三模理科试题 第 1 页 共 8 页 合肥市合肥市20202020届高三第三次教学质量检测届高三第三次教学质量检测 数学试题数学试题( (理科理科) ) ( (考试时间：考试时间：120120分钟分钟 满分：满分：150150分分) ) 第第卷卷 (60(60分分) ) 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，满分分，满分6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.已知R为实数集，集合02Axx，3Bx x，则 RA B A.23xx B.23xx
2、 C.03x xx或2 D.03x xx或2 2.若复数 12 zz，在复平面内对应的点关于原点对称， 1 1zi ，则 12 zz A.-2 B.2i C.2 D.2i 3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安 排到这三个小区， 协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人， 则每位志愿者不安排 在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为 A. 5 9 B. 4 9 C. 4 45 D. 2 135 4.已知双曲线 22 22 1 xy ab (0a ，0b )的顶点到渐近线的距离为 2 a ，则该双曲线的离心
3、率为 A.2 3 B.2 C. 3 2 D. 2 3 3 5.“关于x的方程 212 xx a有实数解”的一个充分不必要条件是 A. 1 1 3 a B. 1 2 a C. 2 1 3 a D. 1 1 2 a 6.已知 3 tan 32 ，则 3sincos 3cossin A. 1 9 B. 3 9 C. 1 3 D. 3 3 7.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所 得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米 A. 9 10 70 8 81 斗 B. 10 1010 10 8 87 斗 C. 9 1
4、010 10 8 87 斗 D. 8 1010 10 8 87 斗 8.已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 cosabcB，则 2 bc ab 的最小 值为 A.2 2 B.3 C.2 3 D.4 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测 量复兴号高铁在某时刻的速度， 其工作原理是： 激光器发出的光平均 分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被 测物体横向速度为零时， 反射光与探测光频率相同； 当横向速度不为 零时，反射光相对探测光会发生频移 2 sin p v f ，其中v为测速仪 测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹
5、角 的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波 长为1550nm( 9 1nm10 m )， 测得某时刻频移为 9 9.030 10(1/h)， 则该时刻高铁的速度约等于 A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h 10.在长方体 1 111 ABCDABCD中，6ABAD， 1 2AA ，M 2020 年三模理科试题 第 2 页 共 8 页 为棱BC的中点，动点P满足APDCPM，则点P的轨迹与长方体的面 11 DCC D的交线长等于 A. 2 3 B. C. 4 3 D.2 11.已知不等式1ln1 x exm xx 对一切正数x都成立
6、，则实数m的取值范围是 A. 3 e ， B. 2 e ， C. 1， D. e， 12.在矩形ABCD中，4AB，4 3BC ，点 G H，分别为直线 BC CD，上的动点，AH交DG于 点P.若2DHDC， 1 2 CGCB(01)，矩形ABCD的对称中心M关于直线AD的对称点是点 N，则PMN的周长为 A.12 B.16 C.24 D.32 第卷第卷 (90(90分分) ) 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第1313 题题第第2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第2222 题、题、 第第2323题为选考题，
7、考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，满分分，满分2020分分. .把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. . 13.某高中各年级男、女生人数统计如下表： 年级 性别 高一 高二 高三 男生 592 563 520 女生 528 517 a 按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则上表中a . 14.在 5 4 4x x 的展开式中， 2 x的系数为 . 15.已知数列 n a中 n an，数列 n b的前n项和21 n n S .若数列 n n a b 的前n
8、项和 n TM对于 * nN 都成立，则实数M的最小值等于 . 16.已知三棱锥ABCD的三条侧棱ABACAD，两两垂直，其长度分别为abc， ，.点A在底面 BCD内的射影为O，点A B C D， ， ，所对面的面积分别为 ABCD SSSS， .在下列所给的命题中，正确 的有 .(请写出所有正确命题的编号) 三棱锥A BCD外接球的表面积为 222 abc ； 2 ABCOD SSS ； 3333 ABCD SSSS ； 若三条侧棱与底面所成的角分别为 111 ， ， ，则 222 111 sinsinsin1 ； 若点M是面BCD内一个动点，且AM与三条侧棱所成的角分别为 222 ， ，
9、 ，则 222 222 coscoscos1. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分7070分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(17.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知函数 cossin3cosf xxxx(0). 求函数 f x的值域； 若方程 3 2 f x 在区间 0 ， 上恰有两个实数解，求的取值范围. 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 人数 2020 年三模理科试题 第 3 页 共 8 页 如图，边长为2的等边ABC所在平面与菱形 11 A ACC所在平面互相垂
10、直， 11 3ACAC，M为线段 AC的中点. 求证：平面 1 BMC平面 11 ABC； 求点C到平面 11 ABC的距离. 19.(19.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 某市积极贯彻落实国务院“十三五”节能减排综合工作方案，空气质量明显改善.该市生态环境 局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图. 已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表： 根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为 优或良的天数； 根据体质检查情况， 医生建议： 当空气质量指数高于90时， 市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于 70 时，市民 乙不宜进行户外体育运动(
11、两人是否进行户外体育运动互不影响). 从这30 天中随机选取2 天，记乙不宜进行户外体育运动， 且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期 望； 以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数 分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)， 甲、 乙两人分别随 机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率. 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知函数 xx f xeeax (e为自然对数的底数)，其中aR. 试讨论函数 f x的单调性； 证明： 2 2 132 ln21 n i nn iin n . 21.(21.
12、(本小题满分本小题满分1212分分) ) 在平面直角坐标系xOy中， 已知点P是椭圆E： 2 2 1 4 x y上的动点， 不经过点P的直线l交椭圆E 于A，B两点. 若直线l经过坐标原点，证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值； 若0OAOBOP，直线l与直线PO交于点Q，试判断动点Q的轨迹与直线PA的位置关系， 并说明理由. 空气质 量指数 (0 ， 50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，300 300以上 空气质 量等级 一级 (优) 二级 (良) 三级 (轻度污染) 四级 (中度污染) 五级 (重度污染) 六级 (严重污染) 2020 年三模理科试题 第
13、 4 页 共 8 页 请考生在第请考生在第2222、2323题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用目计分，作答时，请用2B2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) )选修选修4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数，0).以坐标原点为极点， 以x轴的非负半轴为极轴， 建立极
14、坐标系.曲线E的极坐标方程为 2+2 cos 30， 直线m与曲线E交 于A，C两点. 求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程； 过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值. 23.(23.(本本小题满分小题满分1010分分) )选修选修4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 221f xxx的最小值为m. 求m的值； 若0abcm，证明： 222 2420abcbc . 2020 年三模理科试题 第 5 页 共 8 页 合合肥市肥市20202020届高三第三次教学质量检测数学试题届高三第三次教学质量检测数学试题( (理科理科) ) 参考
15、答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1 12 2小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共6060分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分分，共，共2 20 0分分. . 13.480 14.-960 15.4 16. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分7070分分. . 1717. .( (本小题满分本小题满分1212分分) ) 解:(1) 13 cossin3cossin21 cos2 22 f xxxxxx 3 sin 2 32 x . 由1sin 21 3 x 得，
16、f x的值域是 33 1 1 22 ，.5分 (2)0x，22 333 x ， 由正弦函数的图像可知， 3 2 f x 在区间0 ，上恰有两个实数解，必须223 3 ， 解得 54 63 . 12分 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1)四边形 11 A ACC是菱形， 11 ACAC， 又 11 3ACAC， 1=60 ACC， 1 ACC是等边三角形. 点M为线段AC的中点， 1 C MAC. 又AC 11 AC， 111 C MAC. 在等边ABC中，BMAC， 由AC 11 AC可得， 11 BMAC. 又 1 BMC MM， 111 ACBMC 平面， 1
17、1 AC 平面 11 ABC，平面 1 BMC平面 11 ABC.5分 (2)BMAC，平面ABC平面 11 A ACC，且交线为AC， 11 BMACC A 平面，直线MB，MC， 1 MC两两垂直. 以点M为坐标原点，分别以MB，MC， 1 MC所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系，如图， 则 3 0 0B， 1 0 0 3C， 1 0 2 3A，0 1 0C， 11 0 2 0AC ， 1 3 0 3BC ， 1 01 3CC ， ，. 设平面 11 ABC的一个法向量为 nx y z， 11 1 0 0 ACn BCn ， 0 330 y xz .令1x ， 得1 0 1n ， 136
18、 22 CCn d n ，即点C到平面 11 ABC的距离为 6 2 . 12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D C B C B D A C A 2020 年三模理科试题 第 6 页 共 8 页 19.(19.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110的天数为 2 天，所以估计空气质量指数在 (90，100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.3分 (2)在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天， 2 24 2 30 92
19、0 145 C P X C ， 11 624 2 30 48 1 145 CC P X C ， 2 6 2 30 1 2 29 C P X C ， X的分布列为 924812 012 145145295 EX . 8分 甲不宜进行户外体育运动的概率为 1 10 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 3 10 ， 2 21 32 1937567 101010 1050000 PCC . 12分 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1) xx fxeea . 当2a 时， 20 xx fxeeaa ， f x在R上单调递增； 当2a 时，由 0fx得 2 4 2 x aa e
20、 ， 2 4 ln 2 aa x . 当 22 44 lnln 22 aaaa x ，时， 0fx， 当 22 44 lnln 22 aaaa x ，时， 0fx. f x在 2 4 ln 2 aa ，和 2 4 ln 2 aa ，上单调递增， 在 22 44 lnln 22 aaaa ，上单调递减.5分 (2)由(1)知，当2a 时， 2 xx f xeex 在R上单调递增， 1 ln2lng xfxxx x 在0 ，上单调递增. 当2nZn且时， 11 2ln12ln10 1 nn n ，即 2 1 2ln n n n ， 当2nZn且时， 2 1211 ln111nnnnn ， 2 2
21、111111111132 1 ln132411212n 1 n i nn iinnnnn . 12分 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解: 设点 00 P xy， 11 A xy， 22 B xy，. (1)直线l经过坐标原点， 2121 xxyy，. X 0 1 2 P 92 145 48 145 1 29 2020 年三模理科试题 第 7 页 共 8 页 0 2 20 1 4 x y， 0 2 20 1 4 x y . 同理得 1 2 21 1 4 x y . 0011 01 010101 2222 22 0101 222222 0101 11 4444 1 4 P
22、APB xxxx yy yyyy kk xxxxxxxxxx . 直线PA与直线PB的斜率之积为定值. 5分 (2)0OAOBOP，2OPOQ . 设Q xy，则 0 0 2 2 xx yy . 由 0 2 20 1 4 x y，得 22 41xy， 动点Q的轨迹方程为 22 41xy. 8分 设直线OB与直线PA交于点M，则点M为线段PA的中点，且 22 22 xy M ， 当 2 0y 时， 0 2 20 1 4 x y， 1 2 21 1 4 x y， 10102 10102 1 44 PA yyxxx k xxyyy ， 直线PA的方程为 222 2 242 yxx yx y ，整理得
23、 2 2 2 4 x x y y . 将 2 2 2 4 x x y y 代入动点Q的轨迹方程得， 2222 2222 444 10xyxx xy(). 将 2 22 2 1 4 x y代入()，整理得 22 22 440xx xx. 22 22 16160xx ，直线PA与动点Q的轨迹相切. 当 2 0y 时，直线PA的方程为1x ，直线PA与动点Q的轨迹相切. 综上可知，直线PA与动点Q的轨迹相切. 12分 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) ) (1)曲线E的直角坐标方程为 2 2 +14xy， 直线m的极坐标方程为(R). 5分 (2)设点A，C的极坐标分别为 1 ，
24、2 ，. 由 2 = +2 cos30 得， 2+2 cos 30， 12 2cos ， 12 3 ， 2 12 2 cos3AC.同理得 2 2 sin3BD. 2222 1 2 cos3sin3cos3sin37 2 ABCD SACBD ， 当且仅当 22 cos3sin3 ，即 3 44 或时，等号成立， 四边形ABCD面积的最大值为7. 10分 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) ) (1) 3 1 2211 311 3 1 xx f xxxxx xx ， ， ， ， 2020 年三模理科试题 第 8 页 共 8 页 根据函数图象得， f x的最小值为-2， 2m . 5分 (2)由(1)知，2abc， 2 222 2222 1211111 12 119abcabcabc ， 22 2 123abc， 当且仅当12abc ，2abc，即1a ，2b ，1c 时等号成立， 222 2420abcbc. 10分
