1、河南省郑州市 2019-2020 学年高二下学期阶段性学业检测题（5 月） 数学（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1复数 za+i（aR）的虚部为（ ） A1 Bi C1 Di 2如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ） A0.28J B0.12J C0.26J D0.18J 3用反证法证明命题“若 a2+b20，则 a、b 全为 0（a、bR）”，其反设正确的是（ ） Aa、b 至少有一个不为 0 Ba、b 至少有一个为 0 Ca、b 全不为 0 Da、b 中只有一个为 0 4设 f（x）xlnx，
2、若 f（x0）2，则 x0等于（ ） Ae2 Be C Dln2 5已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，且 z（a+bi）2，则 z 在复 平面中所表示的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 6在平面直角坐标系 xOy 中，由直线 x0，x1，y0 与曲线 yex围成的封闭图形的面 积是（ ） A1e Be Ce De1 7记 I 为虚数集，设 a，bR，x，yI则下列类比所得的结论正确的是（ ） A由 abR，类比得 xyI B由 a20，类比得 x20 C由（a+b）2a2+2ab+b2，类比得（x+y）2x2+2xy+y 2 D由 a+b0ab，类比
3、得 x+y0xy 8 已知函数 f （x） 的导函数为 f （x） ， 且满足 f （x） 2xf （1） +lnx， 则 f （1） （ ） Ae B1 C1 De 9利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）2n13（2n1），nN*” 时，从“nk”变到“nk+1”时，左边应增乘的因式是（ ） A2k+1 B C D 10在区间 ，2上，函数 f（x）x 2+px+q 与 g（x）2x 在同一点取得相同的最小值， 那么 f（x）在 ，2上的最大值是（ ） A B C8 D4 11若在曲线 f（x，y）0（或 yf（x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为 曲线 f（x，y）0
4、 或 yf（x）的“自公切线”下列方程： x2y21； yx2|x|； y3sinx+4cosx； |x|+1 对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ） A B C D 12已知 f（x） x 3x2+ax+m，其中 a0，如果存在实数 t，使 f（t）0，则 f（t+2） f（ ）的值（ ） A必为正数 B必为负数 C必为非负 D必为非正 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13函数 f（x） 的单调递减区间是 14函数 f（x） ， ， ，则 f（x）dx 15在等差数列an中，若 a100，则有 a1+a2+ana1+a2+a19n（n19，nN*）成 立，类比上述性质，在等
5、比数列bn中，若 b91，则有 16已知函数 ，g（x）x22bx+4，若对任意 x1（0，2），存在 x21，2，使 f（x1）g（x2），则实数 b 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17复数 z1a+5+（10a2）i，z212a+（2a5）i （）若 a2，求 z1的模； （）若 1+z2是实数，求实数 a 的值 18设函数 f（x）x3 x 2+6xa （1）对于任意实数 x，f（x）m 恒成立，求 m 的最大值； （2）若方程 f（x）0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围 19已知函数 f（x）lnx+axa2x2（a0）
6、（1）若 x1 是函数 yf（x）的极值点，求 a 的值； （2）求函数 yf（x）的单调区间 20已知 A，B 两地的距离是 120km，按交通法规规定，A，B 两地之间的公路车速应限制 在 50100km/h，假设汽油的价格是 6 元/升，以 xkm/h 速度行驶时，汽车的耗油率为 ，司机每小时的工资是 36 元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他 费用，这次行车的总费用是多少？ 21设正项数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 （1）计算 a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式； （2）用数学归纳法证明an的通项公式 22设函数 f（x） 2x+ln（x+1）（mR） （）判断
7、x1 能否为函数 f（x）的极值点，并说明理由； （）若存在 m4，1），使得定义在1，t上的函数 g（x）f（x）ln（x+1）+x3 在 x1 处取得最大值，求实数 t 的最大值 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1复数 za+i（aR）的虚部为（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】直接由复数的概念得答案 解：复数 za+i（aR）的虚部为 1 故选：A 2如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ） A0.28J B0.12
8、J C0.26J D0.18J 【分析】因为 F10Nl10cm0.1m，所以 k 100，由此能求出在弹性限度内将弹 簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，克服弹力所做的功 解：Fkl F10N，l10cm0.1m k 100 在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处， 克服弹力所做的功： wEp 0.18J 故选：D 3用反证法证明命题“若 a2+b20，则 a、b 全为 0（a、bR）”，其反设正确的是（ ） Aa、b 至少有一个不为 0 Ba、b 至少有一个为 0 Ca、b 全不为 0 Da、b 中只有一个为 0 【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设 解：由于“
9、a、b 全为 0（a、bR）”的否定为：“a、b 至少有一个不为 0”， 故选：A 4设 f（x）xlnx，若 f（x0）2，则 x0等于（ ） Ae2 Be C Dln2 【分析】求函数的导数，解导数方程即可 解：f（x）xlnx， f（x）lnx+1， 由 f（x0）2， 得 lnx0+12，即 lnx01，则 x0e， 故选：B 5已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，且 z（a+bi）2，则 z 在复 平面中所表示的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 【分析】利用共轭复数的概念求得 a，b 的值，代入 z（a+bi）2，展开后求出 z 的坐标 得答
10、案 解：ai 与 2+bi 互为共轭复数， a2，b1， 则 z（a+bi）2（2+i）23+4i， z 在复平面中所表示的点的坐标为（3，4），在第一象限 故选：A 6在平面直角坐标系 xOy 中，由直线 x0，x1，y0 与曲线 yex围成的封闭图形的面 积是（ ） A1e Be Ce De1 【分析】求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义 进行求解即 解：由题意画出封闭图形，可得 A（1，e） 由积分的几何意义可得 S e1； 故选：D 7记 I 为虚数集，设 a，b一、选择题，x，yI则下列类比所得的结论正确的是（ ） A由 abR，类比得 xyI B由
11、a20，类比得 x20 C由（a+b）2a2+2ab+b2，类比得（x+y）2x2+2xy+y 2 D由 a+b0ab，类比得 x+y0xy 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此， 要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论 是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对 3 个结论逐一进行分 析，不难解答 解：A：由 abR，不能类比得 xyI，如 xyi，则 xy1I，故 A 不正确； B：由 a20，不能类比得 x20如 xi，则 x20，故 B 不正确； C：由（a+b）2a2+2ab+b2，可类比得（
12、x+y）2x 2+2xy+y2故 C 正确； D：若 x，yI，当 x1+i，yi 时，x+y0，但 x，y 是两个虚数，不能比较大小故 D 错误 故 4 个结论中，C 是正确的 故选：C 8 已知函数 f （x） 的导函数为 f （x） ， 且满足 f （x） 2xf （1） +lnx， 则 f （1） （ ） Ae B1 C1 De 【分析】已知函数 f（x）的导函数为 f（x），利用求导公式对 f（x）进行求导，再把 x 1 代入，即可求解； 解：函数 f（x）的导函数为 f（x），且满足 f（x）2xf（1）+lnx，（x0） f（x）2f（1） ，把 x1 代入 f（x）可得 f（1
13、）2f（1）+1， 解得 f（1）1， 故选：B 9利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）2n13（2n1），nN*” 时，从“nk”变到“nk+1”时，左边应增乘的因式是（ ） A2k+1 B C D 【分析】根据已知等式，分别考虑 nk、nk+1 时的左边因式，比较增加与减少的项， 从而得解 解： 由题意， nk 时， 左边为 （k+1） （k+2） （k+k） ； nk+1 时， 左边为 （k+2） （k+3） （k+1+k+1）； 从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1）， 故选：C 10在区间 ，2上，函数 f（x）x 2+px+q 与 g（x）2x
14、 在同一点取得相同的最小值， 那么 f（x）在 ，2上的最大值是（ ） A B C8 D4 【分析】先利用基本不等式求得函数 f（x）的最小值，及此时 x 的值，进而根据二次函 数的性质列方程求得 b 和 c，最后根据二次函数的性质求得函数在区间上的最大值 解：g（x）2x x+x 3，当 x1 时取得最小值， 对于函数 f（x），当 x1 时，函数有最小值 3， 求得 p2，q4， f（x）x22x+4（x1）2+3， 函数 f（x）的对称轴为 x1，开口向上， 在区间 ，2上，函数的最大值为 f（2）4， 故选：D 11若在曲线 f（x，y）0（或 yf（x）上两个不同点处的切线重合，则称
15、这条切线为 曲线 f（x，y）0 或 yf（x）的“自公切线”下列方程： x2y21； yx2|x|； y3sinx+4cosx； |x|+1 对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ） A B C D 【分析】化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线 解：、x2y21 是一个等轴双曲线，没有自公切线； 、yx2|x| ，在 x 和 x 处的切线都是 y ，故有自公 切线 、y3sinx+4cosx5sin（x+），cos ，sin ， 此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线 、由于|x|+1 ，即 x2+2|x|+y230，结合图象可得，此曲线没
16、有自公切线 故选：C 12已知 f（x） x 3x2+ax+m，其中 a0，如果存在实数 t，使 f（t）0，则 f（t+2） f（ ）的值（ ） A必为正数 B必为负数 C必为非负 D必为非正 【分析】先对 f（x）求导，由已知条件 a0，如果存在实数 t，使 f（t）0，求出 t 与 a 的取值范围，进而比较出 、f（t+2）与 0 的关系，从而得出答案 解： ，f（x）x22x+a 存在实数 t，使 f（t）0，a0，t22t+a0 的解集不是空集， 44a0，解得 a1，因此 0a1 令 t22t+a0，解得 ， t22t+a0 的解集是x|0 2 f（t+2）（t+2）22（t+2）
17、+at（t+2）+a，f（t+2）0； ， 0， ， 0， 故选：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13函数 f（x） 的单调递减区间是 （0，1），（l，e） 【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是：求导函数 f（x）；令 f（x） 0 （或0） ， 解不等式； 得到函数的增区间 （或减区间） 本题中需先求出导函数 f （x） ，令 f（x）0，解得函数的单调增区间 解：由已知得：f（x） ， 当 0xe 且 x1 时，f（x）0， 故函数 f（x） 的单调递减区间是（0，1），（1，e） 故答案为（0，1），（1，e） 14函数 f（x） ， ， ，则 f（x）dx
18、1 【分析】根据定积分的基本性质，结合微积分基本定理，以及定积分的几何意义即可求 出 解： f（x）dx 3 2 （ ） 1 故答案为： 1 15在等差数列an中，若 a100，则有 a1+a2+ana1+a2+a19n（n19，nN*）成 立，类比上述性质，在等比数列bn中，若 b91，则有 ， 【分析】根据类比的方法，和类比积，加类比乘，由此类比即可得出结论 解：在等差数列an中， 若 a100，有等式 a1+a2+ana1+a2+a19n（n19，nN*） 成立， 在等比数列bn中，若 b91，则有等式 ， 故答案为： ， 16已知函数 ，g（x）x22bx+4，若对任意 x1（0，2）
19、，存在 x21，2，使 f（x1）g（x2），则实数 b 的取值范围是 ，+） 【分析】 利用导数研究函数 f （x） 的最值问题， 根据题意对任意 x1 （0， 2） ， 存在 x21， 2，使 f（x1）g（x2），只要 f（x）的最小值大于等于 g（x）的最小值即可 解：函数 ， f（x） ， 若 f（x）0，1x3，f（x）为增函数； 若 f（x）0，x3 或 0x1，f（x）为减函数； f（x）在 x（0，2）上有极值， f（x）在 x1 处取极小值也是最小值 f（x）minf（1） ； g（x）x22bx+4（xb）2+4b2，对称轴 xb，x1，2， 当 b1 时，g（x）在 x
20、1 处取最小值 g（x）ming（1）12b452b； 当 1b2 时，g（x）在 xb 处取最小值 g（x）ming（b）4b2； 当 b2 时，g（x）在1，2上是减函数，g（x）ming（2）44b+484b； 对任意 x1（0，2），存在 x21，2，使 f（x1）g（x2）， 只要 f（x）的最小值大于等于 g（x）的最小值即可， 当 b1 时， 52b， 解得 b ， 故 b 无解； 当 b2 时， 84b， 解得 b ， 综上：b ， 故答案为： ，+） 三、解答题：本大题共 6 小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17复数 z1a+5+（10a2）i，z212a+（
21、2a5）i （）若 a2，求 z1的模； （）若 1+z2是实数，求实数 a 的值 【分析】（1）把 a2 代入 z1进行化简，然后由复数求模公式计算得答案； （2）由 z1求出 ，然后代入 进行化简，再结合已知条件即可求出实数 a 的值 解：（1）a2，则 3+6i， 则 ， z1的模为 ； （2） （6a）+（a210）+（2a5）i （6a）+（a2+2a15）i， 是实数， a2+2a150，解得 a5 或 a3 故 a5 或 a3 18设函数 f（x）x3 x 2+6xa （1）对于任意实数 x，f（x）m 恒成立，求 m 的最大值； （2）若方程 f（x）0 有且仅有一个实根，求
22、a 的取值范围 【分析】（1）先求函数 f（x）的导数，然后求出 f（x）的最小值，使 f（x）minm 成立 即可 （2）若欲使方程 f（x）0 有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出 函数的极小值大于零即可 解：（1）f（x）3x29x+63（x1）（x2）， 因为 x（，+），f（x）m， 即 3x29x+（6m）0 恒成立， 所以8112（6m）0， 得 ，即 m 的最大值为 （2）因为当 x1 时，f（x）0； 当 1x2 时，f（x）0；当 x2 时，f（x）0； 所以当 x1 时，f（x）取极大值 ； 当 x2 时，f（x）取极小值 f（2）2a； 故当 f（2）0
23、 或 f（1）0 时， 方程 f（x）0 仅有一个实根、解得 a2 或 19已知函数 f（x）lnx+axa2x2（a0） （1）若 x1 是函数 yf（x）的极值点，求 a 的值； （2）求函数 yf（x）的单调区间 【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，利用 x1 是函数 yf（x）的极值点，即 可求 a 的值； （2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间 解：（1）函数定义域为（0，+）， 因为 x1 是函数 yf（x）的极值点，所以 f（1）1+a2a20，解得 或 a 1， 因为 a0，所以 a1； （2）若 a0， 0， 函数 f（x）的单调增区间为（
24、0，+）； 若 a0，则 a0， 由 f（x）0，结合函数的定义域，可得 0x ；由 f（x）0，结合函数的定义 域，可得 x ； 函数的单调增区间为（0， ）；单调减区间为（ ，+） 20已知 A，B 两地的距离是 120km，按交通法规规定，A，B 两地之间的公路车速应限制 在 50100km/h，假设汽油的价格是 6 元/升，以 xkm/h 速度行驶时，汽车的耗油率为 ，司机每小时的工资是 36 元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他 费用，这次行车的总费用是多少？ 【分析】设汽车以 xkm/h 行驶时，列出行车的总费用 ，50x100，通过函数的导数，转化求解函数的最值即可 解：设
25、汽车以 xkm/h 行驶时，行车的总费用 ， 50x100 所以 令 y0，解得 x60（km/h） 容易得到，x60 是函数 y 的极小值点，也是最小值点，即当车速为 60km/h 时，行车总 费用最少， 此时最少总费用 （元） 答：最经济的车速约为 60km/h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为 240 元 21设正项数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 （1）计算 a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式； （2）用数学归纳法证明an的通项公式 【分析】（1）利用递推关系式求解数列 a1，a2，a3的值，猜想an的通项公式； （2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可 解：
26、（1）当 n1 时， ， 得 a1 1； ，得 a22， ，得 a33， 猜想 ann （2）证明：（）当 n1 时，显然成立， （）假设当 nk 时，akk， 则当 nk+1 时， ， 整理得： ，即ak+1（k+1）ak+1+（k1）0， 结合 an0，解得 ak+1k+1， 于是对于一切的自然数 nN*，都有 ann 22设函数 f（x） 2x+ln（x+1）（mR） （）判断 x1 能否为函数 f（x）的极值点，并说明理由； （）若存在 m4，1），使得定义在1，t上的函数 g（x）f（x）ln（x+1）+x3 在 x1 处取得最大值，求实数 t 的最大值 【分析】（）由 f（1）0，
27、求得 m 的值，将 m 的值代入 f（x）解析式中，求出函 数 f（x）的单调区间，看 f（x）在 x1 的两侧的单调性是否相反，如果相反则 x1 是 函数 f（x）的极值点； （） 由题意知， g （x） g （1） 0 在1， t上恒成立， 构造函数 ，根据 m 的范围求出 t 的取值范围，得出 t 的最大值 解：（）定义域为（1，+）， ，令 f（1）0，得 ； 当 时， ，当 x ， 和（1，+）时，f（x）0，当 x ， 时 f（x）0， 于是 f（x）在 ， 单调递增，在 ， 单调递减，在（1，+）单调递增 故当 时，x1 是 f（x）的极小值点； （） 由题意，当 x1，t时，g（x）g（1）恒成立， 易 得 ， 令 ， h（x）必然在端点处取得最大值，即 h（t）0 即 ，即 ， m4，1）， ，解得， ， 所以 t 的最大值为
