1、3.3 3.3 复数的几何意义复数的几何意义教学目标：1 理解复平面，实轴，虚轴等概念。2 理解并掌握复数两种几何意义，并能适当应用。3 掌握复数模的几何定义及其几何意义，弄清复数的模与实数绝对值的区别与联系。能力目标：培养学生观察，分析，归纳，总结的的能力。教学重点：复数的几何意义的掌握及应用。教学难点：复数几何意义的应用。一、复习回顾：一、复习回顾：1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：),(RbRabiaz dicbia dbcaab;0Rab;0Rab00ba特别地，特别地，a+bia+bi=0=0 .a=b=0a=b=0a=0a=0是是z=a+
2、bi(az=a+bi(a、b b R)R)为为纯虚数的纯虚数的 条件条件 必要不充分必要不充分问题问题1：问题问题2:2:一般地一般地,两个复数只能说相等或不相两个复数只能说相等或不相等等,而不能比较大小而不能比较大小.思考思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案答案:当且仅当两个复数都是实数当且仅当两个复数都是实数 时时,才能比较大小才能比较大小.虚数不可以比较大小！虚数不可以比较大小！复数的几何意义复数的几何意义继续继续(1)(1)实数集原有的有关性质和特点实数集原有的有关性质和特点能否推广能否推广到复数集？到复数集？(2)(2)从复数的特点出发，从
3、复数的特点出发，寻找复数集新的寻找复数集新的(实数集所不具实数集所不具有有)性质和特点？性质和特点？探索探索复数集的性质和特点复数集的性质和特点探索途径探索途径：想一想想一想,实数集有些什么性质和特点实数集有些什么性质和特点?(1)(1)实数可以判定相等或不相等；实数可以判定相等或不相等；(2)(2)不相等的实数可以比较大小；不相等的实数可以比较大小；(3)(3)实数可以用数轴上的点表示；实数可以用数轴上的点表示；(4)(4)实数可以进行四则运算；实数可以进行四则运算；(5)(5)负实数不能进行开偶次方根运算；负实数不能进行开偶次方根运算；能否找到用来表示复数的几何模型呢？能否找到用来表示复数
4、的几何模型呢？我们知道实数可以用我们知道实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。x0 01 1一一对应一一对应 注注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴数轴.实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)实数的几何模型实数的几何模型:复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xy0Z(a,b)建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面复平面复平面x轴轴实轴实轴y轴轴虚轴虚轴ab（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应z=a+bi一一对应一一对应一一对应一一对应
5、yx ABCO例例1:用复平面内点表示复数用复平面内点表示复数(每个小方格的每个小方格的边长是边长是1)：3-2i,3i,-3,0.yx ABCDEO例例2:说出说出图中复平图中复平面内点所面内点所表示的复表示的复数数(每个小每个小方格的边方格的边长是长是1)6+7i-6-8+6i-3i2-7i模与绝对值模与绝对值复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应xy0Z(a,b)abz=a+bi一一对应一一对应实数绝对值的几何意义实数绝对值的几何意义:复数的模其实是实数绝对值概
6、念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa|a|=|=|OA|实数实数a在数轴上所在数轴上所对应的点对应的点A到原点到原点O的的距离距离.a aa a(0)(0)xOz=a+biy|z|=|=|OZ|复数的模复数的模 复数复数 z=a+bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(Z(a,b)到到原点的距离原点的距离.的几何意义的几何意义:Z(a,b)ab22 例例5:5:求下列复数的模：求下列复数的模：(1)z(1)z1 1=-5i=-5i(2)z(2)z2 2=5-5i=5-5i(3)z(3)z3 3=4a-3ai(a0)=4a-3ai(a0)(5)(5)25(5a)5a)思考：思考
7、：(1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(2)(2)这些复数对应的这些复数对应的点点在复平面上构在复平面上构成怎样的成怎样的图形图形？xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足|z|=5(z|z|=5(zC)C)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形？样的图形？55555|22yxz2522 yx图形图形:以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆上圆上5xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足3|z|5(zC)3|z|5(zC)的复数的复数z z对
8、应的点在对应的点在复平面上将构成怎样复平面上将构成怎样的图形？的图形？555533335322yx25922yx图形图形:以原点为圆心以原点为圆心,半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内复平面内的点复平面内的点复数集复数集C C和复平面内所有的点所成的和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即集合是一一对应关系，即复数复数这是因为，每一个复数有复平面内惟这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应和它对应.这就是复数的一种几何意义这就是复数的一种几何意义.也就是复也
9、就是复数的另一种表示方法，即几何表示方数的另一种表示方法，即几何表示方法法.小结：小结：3变式变式(A)(A)在复平面内在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；对应于实数的点都在实轴上；(B)(B)在复平面内在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)(C)在复平面内在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数实轴上的点所对应的复数都是实数;(D)(D)在复平面内在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.练习：练习：1.1.下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D2.“2.“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)所对应的
10、点在虚轴上所对应的点在虚轴上”的的()()(A)(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)(B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)不充分不必要条件不充分不必要条件C3.3.已知复数已知复数z=(=(m2 2+m-6)+(-6)+(m2 2+m-2)-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范的取值范围围.mmm3212 或或求证求证:对一切实数对一切实数m，此复数所对应的点不可，此复数所对应的点不可能位于第四象限能位于第四象限.解题思考：解题思考：表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的
11、问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)变式题变式题:已知复数已知复数z=(=(m2 2+m-6)+(-6)+(m2 2+m-2)-2)i 例例2 实数实数x分别取什么值时，复数分别取什么值时，复数 对对应的点应的点Z在（在（1）第三象限？（）第三象限？（2）第四象限？（）第四象限？（3）直线）直线 上？上？ixxxxz)152(622 03 yx解：（解：（1）当实数）当实数x满足满足 .0152,0622xxxx即即 时，点时，点Z在第三象限在第三象限 23 x即即 时，点时，点Z在第四象限在第四象限
12、52 x .0152,0622xxxx（2）当实数）当实数x满足满足（3）当实数）当实数x 满足满足03)152()6(22 xxxx即即 时，点时，点Z在直线在直线 上上.2 x03 yx例例3 3:已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数求实数m m的取值范围。的取值范围。一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m变式一：变式一：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m
13、-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应的点在在复平面内所对应的点在直线直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，上，求实数求实数m m的值的值.解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），），(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，m=1或或m=-2.(A)(A)在复平面内，对应于实数的点都在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在实轴上；(B)(B)在复平面内，对应于纯虚数的点在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；都在虚轴上；(C)(C)在复平面内，实轴上的点所对应
14、在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；的复数都是实数；(D)(D)在复平面内，虚轴上的点所对应在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。的复数都是纯虚数。练习练习.下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D DxOz=a+biy复数的复数的模模Z(a,b)|z|=22ba a+bia bi向 量 OZ 的 模 叫 作 复 数 z=a+bi 的 模,记z或uuu r复数模的几何意义：表示复平面内该点到原点的距离共轭复数共轭复数 当两个复数的实部相等当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时虚部互为相反数时,我们称这两个复数互为共轭复数我们称这两个复数互为共轭复数.举例举例:共轭复数的
15、表示共轭复数的表示:例例4:已知复数已知复数(2x-1)+i与复数与复数y+(3-y)i互为互为共轭复数共轭复数,其中其中x,y,求求x与与y.练：复数练：复数z z与与 所对应的点在复平面内所对应的点在复平面内 ()()(A)(A)关于关于x x轴对称轴对称 (B)(B)关于关于y y轴对称轴对称(C)(C)关于原点对称关于原点对称(D)(D)关于直线关于直线y=xy=x对称对称zA22ba|zz 22|zz思考：、与 之间有什么关系？zzzz z 复数复数z=a+biz=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立平面直角坐建立平面直角坐标系表示复数的平面标系表示复数的平面x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi
