1、 第 1 页 共 5 页 几何几何中中最值最值问题问题专题复习专题复习教学设计教学设计 教材分析：教材分析： 几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路 径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点 间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”“二次函数最值”等知识源,实现问题的 转化与解决. 教学目标：教学目标： 知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本 知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。 重点知识与命题特点重点知识与命题特点 最值连续多年广泛出现于中考试题中
2、，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积 等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: 两点间线段最短；垂线段最短； 三角形的三边关系； 定圆中的所有弦中， 直径最长； 圆外一点与圆的最近点、 最远点. 借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在 动态环境下对多个知识点的综合考查. 核心思想方法核心思想方法 由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、 模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从 变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法解这类试题关
3、 键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型 进行分析与突破。 教学过程教学过程 一、问题导入 我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？ 两点间线段最短； 垂线段最短； 三角形的三边关系； 定圆中的所有弦中， 直径最长； 圆外一点与圆的最近点、最远点.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二 次函数的最值问题. 师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源. 二、真题讲解 真题示例真题示例 1 1.（2016 福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上 一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
4、 A1 B2 C.3 D4 【题型特征】【题型特征】利用轴对称求最短路线问题 【示范解读示范解读】 此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、 正方形、 菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之 间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最 小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1）三 条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反射 镜面”（如图 2），结合其他相关知识加以解决. 第 2 页 共 5 页 真题示例真题示例 2
5、（2016 四川内江）如图 1 所示，已知点 C(1，0)，直线 yx7 与两坐标轴分 别交于 A，B 两点，D，E 分别是 AB，OA 上的动点，则CDE 周长的最小值是_ 【解题策略解题策略】 1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型； 2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上 真题真题（组）示例（组）示例 3 例例 3 如图，在 ABC 中，AB=3，AC=4,BC=5,P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，则 EF 的最小值为 . 【题型特征】【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题 真题（组）示例真题（组）示例 4 1.（2012 宁
6、波）如图 2，ABC 中， 60BAC ， 45ABC ，AB= 22 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度 的最小值为 . 【示范解读示范解读】O 的大小随着 AD 的变化而变化,在此变化过程中,圆周角BAC 的度数始终保 持不变,而线段 EF 即为O 中 60 圆周角所对的弦,弦 EF 的大小随O 直径变化的变化而变 化,当圆 O 的直径最小时，60 度圆心角所对的弦长最短，即转化为求 AD 的最小值,由垂线段 最短得出当 ADBC 时,AD 最短. 【解题策略解题策略】 1.观察发现，分析总结运动变化过程中
7、的不变元素及内在联系， 2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用“垂线段最短” 求出相关线段的最小值. 真题（组）真题（组）示例示例 5 （2013宿迁）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1），B（1，2），点 P 在 x 轴上运 动，当点 P 到 A、B 两点距离之差的绝对值最大时，点 P 的坐标是 (图 2) (图 3) x y O (图 1) C B A E D C1 C2 A 草地 河流 A A M N (图 2) 第 3 页 共 5 页 H H (图 3) (图 4) (图 5) (2016 四川眉山)26已知如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B、C 分别为坐
8、标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4， （1）求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式；y=x2x+3； （2）在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存 在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （5，3） （3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M的坐标，并直 接写出|PMAM|的最大值 【示范解读示范解读】利用待定系数法确定出直线 PA解析式，当点 M与点 P、A不在同一直线上时，根据三角形 的三边关系|PMAM|PA，当点 M与点 P、A在同一直线上时，|PMAM
9、|=PA， 当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M为直线 PA与抛物线的交点，联立直线 AP 与抛物线解析式，求出当|PMAM|的最大值时 M 坐标，确定出|PMAM|的最大值即可 【题型特征】【题型特征】三角形的三边关系-线段之差最大问题 【解题策略解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段 之差最大问题. 真题（组）示例真题（组）示例 7 (2016 泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），B（1a，0），C（1+a，0）（a0），点 P 在以 D（4，4）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90
10、 ，则 a 的最大值是 . 真题（组）示例真题（组）示例 8 2.（2015四川乐山）如图 3，已知直线 y= 3 4 x-3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 是以 C （0，1）为圆心，1 为半径的圆上一动点，连结 PA、PB则PAB 面积的最大值是（ ） A8 B12 C21 2 D17 2 第 4 页 共 5 页 （图 1） 【知识源知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最 长. 【解题策略解题策略】 1. 描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静； 2. 综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化. 真题（组）示例真题（组）示例 9
11、 1（2016 江苏常州）如图 6，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x 与二次函数 y=x2+bx 的图象相交于 O、A 两点，点 A（3，3），点 M 为抛物线的顶点 （1）求二次函数的表达式； （2）长度为 2的线段 PQ 在线段 OA（不包括端点）上滑动，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂 线交抛物线于点 P1、Q1，求四边形 PQQ1P1面积的最大值； 【题型特征】【题型特征】利用二次函数的性质求最值问题 【解题策略解题策略】 此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点 的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相
12、应的最值. 1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度； 2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值. 三、专题总结 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、 角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与 极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等复习时既要注重对基本知识源的理 解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整合。在解决本类题型时我们要学会动中觅静， 即要分析总结图形中动点在运动过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量 或不变关系通过不变关系建立相关模型实现最值的转化。
13、四、命题预测 1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的相互整合渗透； 2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注重了初、高中知识的衔接； 3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其他相关问题. 五、巩固演练 1如图 1 ，在矩形 ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 若点 M、N 分别是线段 ACAB 上的两个 动点 ， 则 BM+MN 的最小值为（ ） A 10 B 8 C 53 D 6 2.如图 2-1，已知点 P 是抛物线 2 1 4 yx上的一个点，点 D、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连 (图 6) 图 2 （图 3） 第 5 页 共 5 页 结 PD、PE，求
14、 PDPE 的最小值 3. 在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)， 点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限内一点， 且 AC=2设 tanBOC=m，则 m 的最小值是_ 4.如图，O 的半径为 1，A，P，B，C 是O 上的四个点. APC=CPB=60 . (1)判断ABC 的形状： ； (2)试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点 P 位于的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积. 5.如图 6，在ACE 中，CA=CE，CAE=30 ，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上 （1）试说明 CE 是O 的切线
15、； （2）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB； （3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时， 求O 的直径 AB 的长 6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 2 yx 的对称轴绕着点 P（0，2）顺时针旋转 45 后与该抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是该抛物线上的一点. （1）求直线 AB 的函数表达式； （2）如图，若点 Q 在直线 AB 的下方，求点 Q 到直线 AB 的距离的最大值； 以上几例为以上几例为几何几何中有关中有关最值计算问题的常用设计思路，同学们只要能寻得问题的源头，便能抵达成功的最值计算问题的常用设计思路，同学们只要能寻得问题的源头，便能抵达成功的 彼岸彼岸 B C P O A A C B O 第 4 题图 第 4 题备用图 （图 8）
