1、1第5章 线性系统的频域分析法Frequency-response analysis 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。25.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子35.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和
2、2型系统的低频特性。当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。4静态位置误差常数的确定+-R(s)E(s)C(s)(sG图5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为)1()1)(1()1()1)(1()(2121sTsTsTssTsTsTKsGnm)1()1)(1()()1()1)(1()(2121jTjTjTjjTjTjTKjGnm)(jG在低频段等于pK，即pK
3、jG)(lim0510-1100101-40-30-20-10010203020logK-20dB/dec-40dB/dec图5-22 某一0型系统对数幅值曲线)12.0)(1(15)(sssGcf3_dB=-30.4575749 cf1_dB=23.5218252cf2_dB=9.54242516图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。decdB/20的起始线段/或其延长线，与1的直线的交点具有的幅值为vKlog20静态速度误差常数的确定在1型系统中1,)(jKjGv斜率为证明vvKjKlog20log2011斜率为decdB/20其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于vK设交点上的
4、频率为111jKv1vK的起始线段/或证明7100101102-40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec12328100101102-40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec1232图5-23 某个1型系统对数幅值曲线)1()(TssKsG转角频率为2 斜率为decdB/40与/或其延长线与0分贝线的交点为3 的直线T12，TK23，KKv1由此得到23212331在伯德图上2331loglogloglog3点恰好是2点与1点的中点 9静态加速度误差常数的确定斜率为decdB/40的起始线段/或其1的直线的交点具有的幅值为aKlo
5、g20)(对数坐标dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK图5-24 某2型系统对数幅值曲线延长线，与1,)()(2jKjGaaaKjKlog20)(log2012证明10)(对数坐标dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK图5-24 某2型系统对数幅值曲线斜率为decdB/40的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为a在数值上等于aK的平方根 证明01log20)(log202aajKaaK115.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线)(jG可用幅值)(jG和相角)(的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时
6、，向量)(jG的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的 12-3-2-10123-5-4-3-2-1012Real AxisImag Axis图5-25 极坐标图)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响 采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。135.3.1积分与微分因子11)(jjjG所以jjG1)(的极坐标图是负虚轴。jjG)(的极坐标图是正虚轴。Nyquist DiagramReal A
7、xisImaginary Axis-3-2-10123-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50图5-26 积分因子极坐标图90190jjG)(014Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-1012300.511.522.533.544.55图5-27 微分因子极坐标图0155.3.2一阶因子TjjG11)(01)0(jG 4521)1(TjGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1.5-1-0.500.511.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50图5-28 一阶因子jjG11)(极坐
8、标图TarctgT2)(1101800)(jGT1)(jG16Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-1012300.511.522.533.544.55图5-29 一阶因子jjG1)(极坐标图175.3.3二阶因子0,)()(211)(2nnjjjG01)0(jG1800)(jG)(jG的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0图5-30 二阶因子极坐标图1
9、8对于欠阻尼n时21)(jjGn相角90)(jG的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率n极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率r这时)(jG可以用谐振频率r处的向量幅值，与0处向量幅值之比来确定。当Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0的峰值19过阻尼情况增加到远大于1时，)(jG的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。当20Nyquist DiagramReal A
10、xisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102.01.03.04.0221对于2)()(21)(nnjjjG)2()1(22nnj极坐标图的低频部分为：01)0(jG极坐标图的高频部分为：180)(jGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456图5-31 二阶因子2)()(21nnjj极坐标图22Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456图5-31 二阶因子2)()(21nnjj极坐标图23例5-2 考虑下列二阶传递函数：)
11、1(1)(TsssG试画出这个传递函数的极坐标图。解：)1(1)(TjjjGTarctgTTjjjG90)(11)1(1)(2极坐标图的低频部分为：90)0(jG 极坐标图的高频部分为：1800)(jG24Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10图5-32)1(1Tjj极坐标图255.3.4 传递延迟ReIm010TjejG)(TjTjGsincos1)(ReIm0Tj11Tje低频区当T1时，TjeTj1TjTj111当T1两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似 时265.3.5 极坐标图的一般形
12、状ReIm0型系统0型系统1型系统2000)1()1)(1()()1()1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 00型系统：极坐标图的起点0是一个位于正实轴的有限值 极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。11型系统：90的相角是j极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。在总的相角中项产生的0272在总相角中180的相角是由2)(j项产生的2型系统：Re01mn2mn3mn图5-34b高频区域内的极坐标图 如果)(jG的分母多项式阶次)(jG的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点时，)(jG轨迹将与实轴
13、或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当285.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图Nichols ChartOpen-Loop Phase(deg)Open-Loop Gain(dB)-180-135-90-450-50-40-30-20-1001020图5-34 二阶因子对数幅-相图295.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)C(s)R(s)G(s)H(s)图3-35 闭环系统闭环传递函数为)()(1)()()(sGsHsGsRsC为了保证系统稳定，特征方程0)()(1sGsH的全部根，都必须位于左半s平面。)()(sGsH的极点和零点
14、可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。虽然开环传递函数充要条件30奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应)()(jGjH与)()(1sGsH在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 假设开环传递函数)()(sGsH可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的)()(sG
15、sH的极限，或趋于零，或趋于常数。315.5.1 预备知识0)()(1)(sGsHsF可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在)(sF平面上必存在一条封闭曲线与之对应。)(sF平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：32)2)(1(6)()(sssGsH其特征方程为：)2)(1(61)()(1)(sssGsHsF0)2)(1()4.25.1)(4.25.1(ssjsjs函数)(sF在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，)(sF平面上必有一点与之对
16、应21js，则)(sF为：577.0115.1)23)(22(61)21(jjjjF这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在)(sF平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如33-101234-1-0.500.511.52-4-3-2-10100.20.40.60.811.21.41.61.82A B CDA1 B1 C1D1ImRej平面s平面)(sF图5-36 s平面上的图形在 平面上的变换)(sF上半s平面内的直线1,3和2在)(sF平面上的变换 34-3-2-101-2-1.5-1-0.500.511.52-101234-2-1.5-1-0.500.511.52A B
17、 C D E F A B C D E F1 A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 ImRej平面s平面)(sF00当s平面上的图形包围两个)(sF的极点时，)(sF的轨迹将反时针反时针方向包围)(sF平面上原点两次 35-3-2-101-3-2-1012301234-2-1.5-1-0.500.511.52AABFEDCA1B1F1E1D1C1Rej平面s平面)(sFIm当s平面上的图形包围)(sF的两个极点和两个零点，)(sF的轨迹将不包围原点 相应的36ImRej平面s平面)(sF00如果这个曲线只包围一个零点，相应的)(sF的轨迹将顺时针顺时针包围原点一次，封闭曲线既不包
18、围零点又不包围极点，)(sF的轨迹将永远不会包围)(sF平面上的原点 37如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2)，)(sF相应的封闭曲线不包围)(sF上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上的原点。385.5.2影射定理设)(sF为两个s的多项式之比，并设P为)(sF的极点数，Z为)(sF的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，)(sF的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到)(sF平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时)(sF平面上，相应的轨迹顺时针包围)(sF
19、原点的总次数R等于Z-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在39若R为正数，表示)(sF的零点数超过了极点数；)(sF的极点数超过了零点数。)()(sGsH很容易确定)()(1)(sGsHsF的P数。因此，如果，)(sF的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数若R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。)()()()(sAsBsGsH)()()()()(1)(sAsBsAsGsHsF两者的极点数相同405.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个j轴(从到该封闭曲线为奈奎斯
20、特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成)()(1sGsH的所有正实部的极点和零点。)()(1sGsH则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。如果在右半s平面不存在零点，41平面sj0图5-37 s平面内的封闭曲线ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线对原点的包围，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH轨迹对-1+j0点的包围42这一判据可表示为：PRZZ函数)()(1)(sGsHsF在右半s平面内的零点数R对-1+j0点顺时针包围的次数P函数)()(
21、sGsH如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须0Z或PR，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半s平面内的极点数如果函数)()(sGsH在右半s平面内无任何极点，则RZ 因此，为了保证系统稳定，)()(jHjG的轨迹必须不包围-1+j0点。435.5.6)()(sHsG含有位于j上极点和/或零点的特殊情况平面sj0j0j j j1ABC平面GHReIm,FEDFEDABC00变量s沿着j轴从 j运动到0j，从0j到0j，变量s沿着半径为1）的半圆运动，再沿着正j轴从0j运动到j（)1()()(TssKsHsG44对于包含因子,3,2,1
22、s的开环传递函数)()(sGsH，当变量s沿半径为(1)的半圆运动时，)()(sGsH的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：)1()()(2TssKsHsGjes jeseKsHsGj22)()(lim当s平面上的9090时，)()(sGsH的相角18018045平面sj0j0j j j1ABC平面GHReImFED001在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围01j点两次。所以函数)()(1sGsH在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。46如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含)()(1sGsH和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特
23、轨迹运动时，不)()(1sGsH通过的任何极点或零点，则在)()(sGsH平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围01j点PZR次（负R值表示反时针包围01j点）。5.6稳定性分析的Z个零点a)不包围-1+j0如果这时)()(sGsH在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。点。如果反时针方向包围的次数，等于)()(sGsH在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。点。系统是不稳定的。c)顺时针包围-1+j0b)反时针包围-1+j047例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：)1)(1()()(21sTsTKsGsH)()(jGjH的轨迹如图5-41所示。)
24、()(sGsH在右半s平面内没有任何极点，并且)()(jGjH的轨迹不包围01j，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。48Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6图5-41 例5-3中的)()(jGjH极坐标图 49例5-4 设系统具有下列开环传递函数：)1)(1()()(21sTsTsKsGsH试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。平面GHReIm001000ZRP平面GHReIm001220ZRPjjjj00小K值时是稳定的 大
25、K值时是不稳定的 50例5-5 设开环传递函数为：)1()1()()(122sTssTKsGsH该系统的闭环稳定性取决于1T和2T相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。ReIm00121TT 平面GH平面GHReIm00121TT 点矢量穿过01)()(jjHjG 21TT)()(sGsH的轨迹不包围01j系统是稳定的21TT)()(sGsH的轨迹通过01j点，这表明闭环极点位于轴上j51平面GHReIm00121TT 21TT)()(sGsH的轨迹顺时针方向包围01j点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。52例5-6 设一个闭环系统具有下列)1()(
26、)(TssKsHsG试确定该闭环系统的稳定性。平面GHReIm100开环传递函数：)()(sGsH在右半s平面内有一个极点(Ts1)，因此1P。图5-44中的奈奎斯特图表明，)()(sGsH轨迹顺时针方向包围01j点一次，因此，1R。因为2PRZ。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。53)1()()(TjjKjHjG)1(Tj)1(TjjK)1(Tj)(1(2TjK)(1()1(2TjTjK2)(1)1(TjTjKarctg90 00,00,2)(1)1(TjTjKarctg90)1(Tj54例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。1,)1
27、()3()()(KsssKsHsG平面GHReIm001图5-45 例5-7中的)()(jGjH极坐标图)()(sGsH在右半s平面内有一个极点(1s)，因此1P。开环系统是不稳定的。图5-45表明)()(sGsH轨迹逆时针方向包围01j点一次，因此，1R因为0PRZ，这说明)()(1sGsH没有零点位于右半s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。555.7.2相位裕度和增益裕度ReIm01平面G大时K小时K图5-46)1()1)(1()()1()1)(1()(2121jTjTjTjjTjTjTKjGnmmn 的极坐标图对于大的K值，系统
28、是不稳定的。当增益减小到一定值时，)(jG的轨迹通过01j点。对于小的K值，系统是稳定的。)(jG的轨迹对01j点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。56相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c1)()()(cccjHjGjA定义相角裕度为)()(180ccjHjG相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。57增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h设系统的穿越频率(Phase cross-over fre
29、quency)12()()()(kjHjGxxx，,1,0 k定义幅值裕度为)()(1xxjHjGh幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将变为临界稳定状态。)()(log20 xxjHjGh58ReImh1PlaneGPositive Gain MarginPositive Phase Margin-11ReImh1PlaneGNegative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System)(jG)(jG59LogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase MarginStable SystemUnstable System0dB902701800dB60谢谢！结束
