1、1西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析1西北师范大学物理与电子工程学院3第三章第三章傅里叶变换和傅里叶变换和 系统的频域分析系统的频域分析2西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析频域分析频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即
2、分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。制等重要概念。3西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析发展历史发展历史 1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传在研究热传导理论时发表了导理论时发表了“热的分析理论热的
3、分析理论”，提出并证明了将周期函数展，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。一百多年来，傅里叶方法在各个领域获得了成功而广泛的一百多年来，傅里叶方法在各个领域获得了成功而广泛的应用，成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。应用，成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。傅里叶方法并非对解决实际应用中地一切问题都那么有傅里叶方法并非对解决实际应用中地一切问题都那么有效，仍有其一定的局限性，比如对非线性系统和非平稳信号等效，仍有其一定的局限性，比如对非线性系统和非平稳信号等问题的分析就很显不足。问题的分析就很显不足
4、。FFT为傅里叶分析法赋予了新的生命力。为傅里叶分析法赋予了新的生命力。4西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析本章主要内容：本章主要内容：本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当
5、于里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。5西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析本章学习目标：本章学习目标：掌握信号的傅里叶级数分析法和傅里叶变换分掌握信号的傅里叶级数分析法和傅里叶变换分析法，能对常用信号进行频域分析析法，能对常用信号进行频域分析 熟悉信号的时域特性和频域特性间的对应关系熟悉信号的时域特性和频域特性间的对应关系 理解信号频谱的意义并掌握常用信号的频谱理解信号频谱的意义并掌握常用信号的频谱 掌
6、握系统的频域分析法掌握系统的频域分析法 理解并应用抽样信号和抽样定理理解并应用抽样信号和抽样定理6西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国年生于法国 1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示”1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 1822年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论”一书中一书中7西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表
7、示为谐波关系的正弦信周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要傅里叶的第一个主要论点论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点8西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.1 正交函数的概念正交函数的概念 一、一、正交函数集正交函数集 从高等数学中我们知道，在区间(t1,t2)定义的两个函数f1(t)、f2(t)，若二者的乘积在区间(t1,t2)的积分等于零时，即当 0d)()(2121ttftftt(1)时，称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正
8、交。9西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析在区间(t1,t2)的两个复变函数f1(t)、f2(t)若满足 0d)()(d)()(21212*1*21ttftfttftftttt(2)则称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正交。其中，f*(t)是f(t)的共轭函数。设有n个函数f1(t),f2(t),fn(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1,t2)内满足如下的正交特性)()(0d)()(21jikjittftfittji(3)则称此函数集为正交函数集。10西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析如果是复变函数集fn(t)(n=1,2,)
9、在区间(t1,t2)满足)()(0d)()(21*jikjittftfittji(4)则称此复变函数集是正交函数集。如果在正交函数集f1(t),f2(t),fn(t)之外，不存在函数y(t)满足等式)d)(0(212tttty0d)()(21ttittytf(i=1,2,n)则称此函数集为完备正交函数集。11西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析二、三角函数集二、三角函数集考察函数集1,cos0t,cos20t,cosn 0t,sin0t,sin20t,sinn0t,在区间(t0,t0+T)上的特性，发现它是完备的正交函数集。这是因为 02T0dcossin)0(2)(0
10、dsinsin)(2)(0dcoscos000000000000ttmtnnmTnmttmtnnmTnmttmtnTttTttTtt(对于所有的m和n)(5)(6)(7)12西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析三、复指数函数集三、复指数函数集函数集ejn0t(n=0,1,2,)在区间(t0,t0+T)上也是完备的正交函数集。它在区间(t0,t0+T)满足 02T)()(0ded)e(e0000)j(*jjnmTnmttTtttnmtnTtttm(8)13西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.2 傅傅 里里 叶叶 级级 数数 任意一个周期为T的周
11、期信号f(t)，若满足下列狄里赫利条件：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；(2)在一个周期内只有有限个极大值或极小值。则f(t)可以展开为：一、一、三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数 14西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析011112121110111()cossincos2sin2cossin(cossin)nnnnnf taatbtatbtanwtbnwtaantbnt(1)12T 其中：15西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析0001()tTtaf t dtT0012()costTntaf tntdtT0012()si
12、ntTntbf tntdtT直流系数余弦分量幅度正弦分量幅度0022TTtTT0其中n=1,2,t通常为或16西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析将式(1)中同频率正弦项和余弦项合并，有 011()cos()nnnf tccnt011().sin()nnnf tddnt或（2）（3）17西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析各参数间的关系为：各参数间的关系为：000acd22nnnncdabnnnbatgnnnabtgcossinnnnnnacdsincosnnnnnbcd 18西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析(1).(
13、2).(3)式表明任何周期信号,只要满足狄里赫利条件,都可分解为直流和各次谐波分量之和。其中：第一项c0是常数项，它是f(t)在一周期内的平均值，表示周期信号所具有的直流分量;式中第二项c1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与周期信号的角频率相同，c1是基波振幅，1是基波初相角;式中第三项c2cos(21t+2)称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，c2是二次谐波振幅，2是二次谐波初相角。依此类推，还有三次、四次、谐波。一般而言，ck cos(k1t+k)称为k次谐波，ck是k次谐波振幅，k是其初相角。19西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析二、二、指数
14、形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数由欧拉公式111111cos2sin2jntjntjntjnteenteentj可以将三角形式的傅里叶级数表示成在运算上更为方便的指数形式：20西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析tjnnenFtf1)()(1指数形式的傅里叶级数的系数nFnF)(10101()tTjntntFf t edtT21西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0(aF引入了负频率0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn所以：22西北师范大学
15、物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析两种傅氏级数的系数间的关系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc4222223西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系对整周期对称：如偶函数和奇函数周期信号的对称关系对半周期对称：如奇谐函数和偶谐函数前者决定展开式中只含余弦项或正弦项，后者决定级数展开式中只含奇次谐波项或偶次谐波项。1.偶函数余弦级数若f(t)是时间t 的偶函数:f(t)=f(-t)即偶函数的波形对称于纵坐标轴，如图
16、24西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析.0t2T2T()f t 展开系数为：21020004cos1,2,2nTnTbaf tntdtnTaf t dtT这表明偶函数的傅里叶级数展开式中而只含有直流和余弦这表明偶函数的傅里叶级数展开式中而只含有直流和余弦分量，不含正弦分量。分量，不含正弦分量。25西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析2.奇函数奇函数正弦级数正弦级数若 是时间t 的奇函数，即奇函数的波形对称于坐标原点，如图 f t f tft.0t2T2T()f t.26西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 21000,1
17、4sin0,1,nTnanbf tntdtnT展开系数为：这表明奇函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦分量。这表明奇函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦分量。27西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.奇谐函数奇谐函数半波像对称函数半波像对称函数 若函数波形沿时间轴平移半个周期并上下反转后得出的波形与原波形重合。即：图图36 奇谐奇谐函数的例子函数的例子 2Tftft.0t2T2T()f t.其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。28西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析4.偶谐函数
18、偶谐函数半周期重叠函数半周期重叠函数 若 波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重合，即满足：f t 2Tftft其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。29西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析关于对称性有关问题的讨论关于对称性有关问题的讨论一个函数奇偶对称性不仅与函数的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关.0t2T2T()f t1.0t2T2T()f t1时间坐标原点对函数对称性的影响时间坐标原点对函数对称性的影响30西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析如何理解一个信号在不同
19、的观察参考点的情况下傅里如何理解一个信号在不同的观察参考点的情况下傅里叶系数有如此多的变化？叶系数有如此多的变化？例：其所包含的频率并没有改变，信号在时间上位置的移动引起了信号各谐波初始相位的变化。信号在纵轴的平移，可以理解为是迭加上直流分量的结果。11cossin()2ktkt31西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析例子：例子：.0t2T2T()ft2E2E.0t2T2T()f tE()()f tft00,1,2kak21cos为奇数0为偶数kEkEbkkkk111211()sinsin3sin23EEf tttk tk将横轴下移2E后所得到的结果 32西北师范大学物
20、理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量33西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量34西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析四、傅里叶谱四、傅里叶谱 表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，此图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。35西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 基于三角型级数
21、三角型级数所画出信号的振幅谱和相位谱，其特点是单边谱单边谱（w均为正数）。11n)(n11nnC36西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析基于指数型的傅里叶谱是一个双边谱双边谱。nnFnF1111n1n1n00037西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析【例1】试画出如图所示的周期锯齿脉冲信号的频谱图。图 1 周期锯齿脉冲信号 2E2T2Ef(t)T02TTt38西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析【解】f(t)是奇函数，所以a0=0,ak=0。1020200200202002220)1(2cos24dcoscos4dsin4
22、dsin)(2kTTTTTkkETkTTkEttktktTkEttktTEttktfTb39西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析所以，周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为 tkkEttttEtfkk0110000sin)1(14sin413sin312sin21sin)(可以看出，周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，且各次谐波的幅度以速度衰减。若以频率为横坐标，各次谐波的幅度为纵坐标，可画出表示谐波振幅大小的图，称之为振幅频率图，简称幅频图。若纵坐标表示各次谐波的相位，则称之为相位频率图，简称相频图。周期锯齿脉冲信号的振幅频谱图和相位频谱图分别如图2和图3所示。k140西北
23、师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析图 2 周期锯齿脉冲信号的振幅频谱图 Ak02030400E2E3E41西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析图 3 周期锯齿脉冲信号的相位频谱图 00203040k2242西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析【例2】设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为，脉冲幅度为E，周期为T，如图4所示。求该信号傅里叶级数的三角形式和指数形式。图 4 周期矩形脉冲信号 T02Ttf(t)E243西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析【解】求出复傅里叶系数 kA2Sa22sin2sin
24、2e1de1de)(10000022j022j22j000kTEkkTEkkTEjkTEtETttfTAtkTtkTTtkk所以，周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数的指数形式是 ktktkkkTEkTEtf00j0j0e2Sae2Sa)(44西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析若把f(t)写成三角函数形式的傅里叶级数，则根据函数奇偶性有 TEtETttfTatkTEtkkTEtkkTEttkTEttktfTabTTTkkd2d)(22Sa22sin14sin14dcos4dcos)(4020200000200020020045西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变
25、换和系统的频域分析所以 tkkTETEtkaatfkkk010010cos2Sa2cos)(从上式可知，直流分量为，k次谐波的幅度为。若上述周期矩形脉冲信号的周期T=4，其频谱图、幅频图和相频图分别如图5(a)、(b)和(c)所示。TETE22Sa20kTE46西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析图 5 周期矩形脉冲信号的振幅频谱和相位频谱|Ak|TE002030 2 4(a)(b)AkTE002030 2 447西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析图 5 周期矩形脉冲信号的振幅频谱和相位频谱 k002030 2 4TE002030 2 4 2k
26、A(c)(d)48西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析由图5可以看出周期矩形脉冲信号每一个分量的幅度和相位的相对关系，还可以看出以下特点：(1)周期性矩形脉冲信号的频谱和周期信号一样，都是离散谱。谱线只会出现在0、0、20等离散频率上，两谱线的间隔是，所以脉冲周期愈大，相邻谱线的间隔愈小。(2)各谱线的幅度按包络线的规律变化。例如，当k=1时，基波幅度为；当k=2时，二次谐波幅度为；而当k=4m(m=1,2,3,:)(T=4)时，相应谱线幅度为零。T200T200)4(4sin2TE)4(4sin2TE49西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析(3
27、)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，即可分解为无限多个频率分量。各分量的幅度随频率的增加而减小，信号能量主要集中在第一个零点以内。实际上，通信领域中在允许一定失真的条件下，往往只传送频率范围内的低频信号。常把这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。22050西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析通过以上对不同波形周期信号例题的频域分析可以看出，周期信号的频谱具有以下特点：(1)谱线只在基波频率的整数倍处出现，具有非周期性的离散频谱，即线谱。(2)各次谐波的振幅总的变化趋势是随着谐波次数的增加而逐渐衰减。(3)各谐波振幅的衰减速度与波形有关，其规律可以通过对信号函数进行求导
28、，直至出现冲激函数时，所需微分的次数来表示。例如矩形周期信号微分一次出现冲激，而三角形周期信号微分二次出现冲激，则前者振幅与k成反比，后者与k2成反比，依此类推。综上所述，周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三大特点。51西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.3 典型周期信号的傅里叶级数 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号52西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析一、周期矩形脉冲信号一、周期矩形脉冲信号22)2
29、(0)2()(1ttEtf53西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析ntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn1()2nwSa54西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn55西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析周期矩形的频谱变化规律：112T212若不变，在改变T时的情况56西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析若增大周期T,则(1)离散谱线间隔 将变小,即谱线变密;
30、(2)各谱线的幅度将变小,包络线变化缓慢,即振幅收敛速度变慢;(3)由于 不变,故零分量频率位置不变,信号有效频谱宽度亦不变.112wT57西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析2 若T不变，在改变的情况2158西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析若T不变,减小,则:(1)谱线间隔不变 ;(2)第一零分量频率 增大,即频宽增大,同时出现零分量频率的次数减小;(3)各次谐波的振幅减小.若 增大,则反之.112wT2w59西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 频谱分析表明 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲离散频谱，谱线间隔为基
31、波频率，脉冲周期越大，谱线越密。周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。正比，与周期成反比。各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。包络线变化。过零点为：过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：)(1TnSam22B60西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析二、周期锯齿脉冲信号二、周期锯齿脉冲信号2E2T2Ef(t)T02TTt1111111111()sinsin2sin3sin42341(1)sinnnEf tttttEntn61西北师范大学物理与电子工程学院
32、3 傅里叶变换和系统的频域分析 三、周期三角脉冲信号三、周期三角脉冲信号.0t2T2T()f t1111222411()coscos3cos5235EEf tttt62西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 四、周期半波余弦信号四、周期半波余弦信号11144()coscos2cos42315EEf tttt14T14TE1T63西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 五、周期全波余弦信号五、周期全波余弦信号12T12TE1T111112124111()cos2cos4cos631535241(1)cos241nnEEf ttttEEntn64西北师范
33、大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析ntjnneFtf1)(1112121()TjntTnFft ed tT傅立叶级数傅立叶级数的系数T1 信号的周期基波频率1傅立叶级数小结傅立叶级数小结65西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号1TdT02111n频率也变成连续变量3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱一、傅里叶变换一、傅里叶变换66西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察)(1nF11)(nF)(1nF2212T167西北师范大学物理
34、与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析1.从周期信号从周期信号FS推导推导非周期的的FT11()()jn tnf tF ne12112111()()TTjn tF nf t edtT11121122()()TjntTF nf t edt()()j tFf t edt68西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析2.傅立叶的逆变换傅立叶的逆变换11()()jntnf tF ne1111()()jntnF nf te111()()2jn tnFendnnT)(01111n)()(1FnF1()()2j tf tFed69西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频
35、域分析 用符号 表示 的傅里叶变换，而 的傅里叶逆变换用符号 表示，即 FTft FFTf t 1f tFTF f t 1FTF f t70西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.从物理意义来讨论从物理意义来讨论FT (a)F()是一个是一个密度函数密度函数的概念的概念 (b)F()是一个是一个连续谱连续谱 (c)F()包含了包含了从零到无限高频从零到无限高频的所有频率的所有频率分量分量 (d)各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波不成谐波关系关系71西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析傅立叶一般为复数变换FT一般为复函数)()()(jeFFd
36、eFdeFtftjtj)(2121)()()(若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数dtFtf)(cos()()(2172西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析4.傅立叶变换存在的充分条件傅立叶变换存在的充分条件dttf)(73西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析幅频相频)0(0)0()(ttetft)0(1)()(jdtetfFtj221)(F)()(arctg二、典型信号的频谱函数二、典型信号的频谱函数1.单边指数信号74西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 f(t)t0)(F1213)(002275西北师范大学
37、物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析)()(tetft222)(F0)()(F0 f(t)0t12 2.偶双边指数信号76西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 3.奇双边指数信号 000ttetf tet 222Fj 22022,02F f(t)()F10t0 t-1177西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析)0(1)0(1)sgn()(ttttf00()limsgn()0ttaetf ttet 22022()sgnlimajFFTtja2()F)0()0()(224.符号函数78西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频
38、域分析Sgn(t)+1-1)(F)(220a79西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 5.单位直流信号 0220221lim1002lim0222tf ttf teF wdF 且01()f tt80西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析()()1j tFt edt10)(Ft)(t0 0010tttt且 6.单位冲激信号单位冲激信号81西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析dettj21)(12()()jtdtjeddt()dFTtjdt即nnnjtdtdFT)()()2()()nnnndFT tjd 1)(tFT同理可得同理
39、可得 7.冲激偶信号82西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析1122()sgn()u tt 11()sgn()221()FT u tFTFTtj )(F u(t)0t0 8.单位阶跃信号83西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析22()()0()EtGtt22sin()()FE0()02()()02SaSa/22/2()()jtFEedtESa 9.矩形脉冲信号84西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析t0)(F2622EE4 f t85西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析86西北师范大学物理与电子工程
40、学院3 傅里叶变换和系统的频域分析1t 00思考：试求-的傅氏变换。思考2：试求cos的傅氏变换。87西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析0000100000112121222j tjtjtjtjtFTedeeee 解：88西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析0000000002:1cos2cossinjtjtteettj 解由欧拉公式知：类似地：89西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 1.线性性质线性性质 若 1122()(),()()FT f tFFT ftF则 1212()(
41、)()()FT af tbftaFbF90西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析2.对称性对称性()()FT f tF则 ()2()FT F tf若若91西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析证明:因为 j-j1()()ed21()()ed2ttf tFftF将变量和t互换，得-j t()ed2()F ttf所以 ()2()FT F tf92西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 特别地当f(t)为偶函数时，有FTF(t)=2f(),即若f(t)的频谱为F()，那么，信号F(t)的频谱即为2f()。93西北师范大学物理与电子工程
42、学院3 傅里叶变换和系统的频域分析)(tf)(F2222)(tf)(Fc2c22c2ctt12c1000094西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析)(2)(t111)(tf)(F)(F95西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析3.折叠性折叠性 FTf tF若 *Ff tFTftFFf t为实函数则为虚函数96西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析4.尺度变换特性尺度变换特性若则)()(FtfFT)(1)(aFaatfFT97西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析10()()1()xajaaFT f at
43、atxf x edxFaa10()()1()xajaFT f at atxf x edxaFaa98西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析时域中的时域中的压缩压缩（扩展）（扩展）等于等于频域中的频域中的扩展扩展（压缩）（压缩）f(t/2)0t)2(2F20)2(tf04/4/t)2(21F244压缩压缩扩展扩展11099西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析5.时移性质时移性质 若 ()()FT f tF则 0j0()e()tFT f ttF100西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 时移性质说明，如果信号在时间域中延迟了时间
44、t1，其振幅频谱保持不变，相位频谱移动-t1。具体说明如下：若 121()(),()()FFT f tFFT f tt则 11111jjj()j()2111()e()e()ee()tttFFFF 而 2j()22|()|()|eFF101西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析比较上两式，可得 21211|()|()()()FFt 102西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性atjeaFatatfFT0)(1)(0)(1)(1/)()(10)()(000)(0/)(000aFeadxexfeaatxtdxex
45、fatatxadtetatftatfFTatjtjatjatxjtja若a 0,则有绝对值103西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析6.频移性质频移性质 若 则 0j0()e()tFT f tF0-j0()e()tFT f tF FTf tF104西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析证明:0000jj-j-j(-)0()e()eed()ed()ttttFT f tf ttf ttF 同理，可证 0j0()e()tFT f tF105西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析频谱搬移技术)(21cos000tjtjeet)()(2
46、1cos)(000FFttfFT)(21sin000tjtjeejt)()(21sin)(000FFjttfFT106西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析)(21cos000tjtjeet)(tftje021)(tftje021)(210F)(210F)()(2100FF 载波频率 0107西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析cos)(0ttfFT)()(2100FF)(tfFTcos0tFT 卷积卷积000012121另一种方法108西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅 指数衰减振荡 三
47、角调幅ttf0cos)(ttG0cos)(teat0costt0cos21求它们的频谱=？（略）109西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 7.时域微分性时域微分性 注意注意:时域微分性质要求信号时域微分性质要求信号 满足满足,否否则不能用则不能用.若则 f t)()(FtfFT)()(FjdttdfFT)()()(FjdttfdFTnnn f t dt 110西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析证明:j1()()ed2tf tF则 jjd()1 d1()ed()edd2 d2ttf tFFtt所以d()j()df tFFt111西北师范大学物理
48、与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析8.频域微分性频域微分性 nnnnFTf tFdFFT tf tjdd FFT t f tjd 若则112西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 .f ttu tF例：求的 2111FT u tjdFT tu tjdjj 解：113西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析9.时域积分性时域积分性若如果则)()(FtfFT0)0(F)()0()()(FjFdfFTt114西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析证明证明:*1*0ttf tu tfu tdfdFTf tu tFjFFFTfdj
49、 115西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 111ttf tu tFTtu tdFT u tj 例：根据和积分性求的频谱函数。解：又116西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 .例：求下图所示信号f t 的频谱函数F f t2201能否用时域微分性能否用时域微分性?117西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 222112212sin22sin0222sin0212jjtttttFTteejftfx dxSaf tfx dxSajSaj /解：f且f118西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析10.频
50、域积分性频域积分性 110FTf tFftf tFTF x dxtj若1则j119西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 sin,tf tFt例：已知求。12sin112211sin11111jtjtteejjjtjxxdxtjuu 解：120西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析11.时域卷积定理时域卷积定理若则11()(),FT f tF)()(22FtfFT)().()(*)(2121FFtftfFT121西北师范大学物理与电子工程学院3 傅里叶变换和系统的频域分析 121212122121*j tj tjjFTftftfftdedtffted
