1、1.4 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质映映射射函函数数函数表示法函数表示法函数的性质函数的性质函数概念函数概念值域值域对应关系对应关系定义域定义域解析式法解析式法图像法图像法列表法列表法对称性对称性奇偶性奇偶性单调性单调性周期性周期性知识结构：知识结构：基基本本初初等等函函数数一次函数（正比例）一次函数（正比例）反比例函数反比例函数二次函数二次函数幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数知识结构：知识结构：指数运算指数运算对数运算对数运算函数与方程函数与方程函数的应用函数的应用三角函数如何作图
2、象？三角函数如何作图象？数形结合数形结合 跟三角函数值有直接对应关系的是？三角函数线三角函数线 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正切线正切线ATyx xO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！正弦线正弦线MP余弦线余弦线OM途径：用三角函数线来画三角函数图象y=sinx的图象：y=sinx x0,2O1 O yx33234352-11y=sinx xR终边相同角的三角函数值相等 即：sin(x+2k)=sinx,kZ )()2(xfkxf描图：用光滑曲线描图：用光滑曲线 将这些正弦线的将这些正弦
3、线的终点终点连结起来连结起来利用图象平移利用图象平移ABx6yo-12345-2-3-41正弦曲线正弦曲线)()2(xfkxfx6yo-12345-2-3-41余弦函数余弦函数的图象的图象 正弦函数正弦函数的图象的图象 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),x R2余弦曲线正弦曲线形状完全一样只形状完全一样只是位置不同是位置不同知识的迁知识的迁移和转化移和转化yxo1-122322如何在精确度要求不太高时在精确度要求不太高时作出正弦函数的图象？(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五点画图法五点法五点法(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(
4、0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)例例1 画出函数画出函数y=1+sinx，x 0,2 的简图：的简图：x sinx 1+sinx2 23 0 2 010-10 1 2 1 0 1 o1yx22322-12y=1+sinx，x 0,2 步骤：步骤：1.列表列表2.描点描点3.连
5、线连线例例2 画出函数画出函数y=-cosx，x 0,2 的简图：的简图：x cosx-cosx2 23 0 2 10-101 -1 0 1 0 -1 yxo1-122322y=-cosx，x 0,2 函数都有什么性质？函数都有什么性质？l周期性l奇偶性l单调性一一.正弦、余弦函数的周期性正弦、余弦函数的周期性x6yo-12345-2-3-41得的。一定规律不断重复地取函数值是按照余弦正弦)(得，由 cos)2cos(sin)2sin(xkxxkx一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数
6、。非零常数T就叫做这个函数的周期。y1.周期函数的定义x6yo-12345-2-3-412.那么正弦、余弦函数的周期是什么？那么正弦、余弦函数的周期是什么？)0k,Zk(k2 且且x6yo-12345-2-3-412，4，6，-2，-4，-6x6o-12345-2-3-41yx3.最小正周期最小正周期对于周期函数f(x)，如果在它所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数就叫做函数f(x)的最小正周期。正弦(余弦)函数的最小正周期是：2注意：注意：利用定义确定周期时利用定义确定周期时 f(x+T)=f(x)是对是对 x 而言，即是而言，即是 x 的改变量的改变量例 求下列函数的周期RxxyR
7、xxyRxxy ),621sin(2 )3(,2sin )2(,cos3 )1(二二.正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性lsin(-x)=-sinx 正弦函数是奇函数lcos(-x)=cosx 余弦函数是偶函数x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41yx三三.正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为 ，其值从-1增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 减区间为 ，其值从 1减至-12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 余弦函数的单调
8、性 y=cosx (x R)增区间为 其值从-1增至1 +2k,2k,k Z 减区间为 ，其值从 1减至-12k,2k +,k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 例1：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。RxxyRxxy，）（2sin321cos)1(解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值。（1）使函数y=cosx+1，xR取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx，xR取得最大值的的集合（2）使函数y=cosx+1，xR取得最小值的x的集合，就是使函数y=cosx，xR取得最小值的的
9、集合Zkkxx,2|Zkkxx,)12(|函数y=cosx+1，xR的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0（2）令z=2x，使函数y=-3sinz，zR取得最大值的z的集合是kxkzxzkkzz4222,22|得由因此使函数y=-3sin2x，xR取得最大值的x的集合是zkkxx,4|同理，使函数y=-3sin2x，xR取得最小值的x的集合是zkkxx,4|函数y=-3sin2x，xR的最大值是3，最小值是-3例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin()与sin()18 10 (2)cos()与 cos()523 417 解：解：218102 又 y=sinx 在 上是增函数2,2 sin()sin()18 10 解：解：5340cos cos 4 53 即：cos cos 053 4 又 y=cosx 在 上是减函数,0 cos()=cos =cos 523 523 53 417 cos()=cos =cos 417 4 从而 cos()cos()523 417 例3 求函数 的单调递增区间。2,2),321sin(xxy解：令 ，函数 的单调递增区间是321xzzysin22,22kk由 得kxk2232122zkkxk,43435设,43435|2,2zkkxkxBA所以3,35BA 故此函数的单调递增区间是3,35
