1、第第3讲函数的奇偶性与周期性讲函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性函数的奇偶性(1)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称f(x)f(x)原点y轴(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件分条件2函数的周期性函数的周期性(1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的任何值时，都有取
2、定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数，那么就称函数f(x)为周期函数，称为周期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在的所有周期中存在一个一个_，那么这个，那么这个_就叫做就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期f(xT)f(x)最小的正数最小的正数最小正数最小正数(2)函数函数yf(x)关于点关于点(a，b)对称对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函数特殊：函数yf(x)关于点关于点(a，0)对称对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数函数yf(x)关于关于(0，0)对
3、称对称f(x)f(x)0(即为奇函即为奇函数数)(3)yf(xa)是偶函数是偶函数函数函数yf(x)关于直线关于直线xa对称对称；yf(xa)是奇函数是奇函数函数函数yf(x)关于点关于点(a，0)对称对称.【解析】【解析】f(x)x21和和f(x)x2cos x为偶函数为偶函数【答案】【答案】22(教材改编教材改编)若奇函数若奇函数f(x)在区间在区间a，b上是减函数，上是减函数，则它在则它在b，a上是上是_函数；若偶函数函数；若偶函数f(x)在区间在区间a，b上是增函数，则它在上是增函数，则它在b，a上是上是_函数函数【解析】【解析】根据奇偶函数图象的对称性可得根据奇偶函数图象的对称性可得
4、【答案】【答案】减减减减 3(教材改编教材改编)已知已知f(x)为奇函数，当为奇函数，当x0时，时，f(x)1，则，则f(2)_4(教材改编教材改编)已知函数已知函数f(x)满足满足f(x3)f(x)，当，当x(0，1时，时，f(x)log4(x23)，则，则f(2017)_【解析】【解析】因为因为f(x3)f(x)，所以，所以f(x)是以是以3为周期的周为周期的周期函数，所以期函数，所以f(2017)f(67231)f(1)log4(123)1.【答案】【答案】1【答案】【答案】28设函数设函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且当当x0时，时，f(x)x24x3，则函数，
5、则函数f(x)的解的解析式为析式为f(x)_【解析】【解析】设设x0，则，则x0，所以，所以f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，由奇函数的定义可知，由奇函数的定义可知f(0)0，所以，所以(3)函数的定义域为函数的定义域为x|x0，关于原点对称，关于原点对称，当当x0时，时，x0，f(x)x22x1f(x)，当当x0，f(x)x22x1f(x)f(x)f(x)，即函数是奇函数即函数是奇函数【反思归纳】【反思归纳】考点二函数的周期性考点二函数的周期性【例【例2】设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x，恒有，恒有f(x2)f(x)，当，当x0，2
6、时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2020)【解析】【解析】(1)证明：证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2)f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)1.又又f(x)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2016)f(2017)f(2018)f(2019)0.f(0)f(1)f(2)f(2020)f(2020)f(0)0.【反思归纳】【反思归纳】考点三函数性质的
7、综合应用考点三函数性质的综合应用角度角度1奇偶性的应用奇偶性的应用【例【例3】(2019三明模拟三明模拟)函数函数yf(x)是是R上的奇函数，上的奇函数，当当x0时，时，f(x)2x，则当，则当x0时，时，f(x)()A2x B2xC2x D2x【解析】【解析】x0时，时，x0，x0时，时，f(x)2x，当当x0时，时，f(x)2x.f(x)是是R上的奇函数，上的奇函数，当当x0时时，f(x)f(x)2x.故选故选C.【答案】【答案】C角度角度2单调性与奇偶性结合单调性与奇偶性结合【例【例4】(1)已知奇函数已知奇函数f(x)在在R上是增函数，上是增函数，g(x)xf(x)若若ag(log25
8、.1)，bg(20.8)，cg(3)，则，则a，b，c的大小关系为的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca(2)函数函数f(x)在在(，)单调递减，且为奇函数若单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足，则满足1f(x2)1的的x的取值范围是的取值范围是()A2，2 B1，1C0，4 D1，3【解析】【解析】(1)f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)f(x)，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，g(x)为偶函数又为偶函数又f(x)在在R上递增，上递增，g(x)在在0，)上递增上递增g(log25.1)g(log25.1)而而20.82log25.13，g(20.8)g(log25.
9、1)g(3)，bac.(2)奇函数奇函数f(x)在在(，)单调递减，且单调递减，且f(1)1，f(1)f(1)1，由，由1f(x2)1，得，得1x21，1x3，故选，故选D.【答案】【答案】(1)C(2)Df(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数是偶函数若若af(6)，bf(11)，cf(2017)，则则a，b，c的大小关系正确的是的大小关系正确的是()Aabc BbacCacb Dcba【解析】【解析】由由得得f(x)在在4，8上单调递增；由上单调递增；由得得f(x8)f(x4)f(x)，故，故f(x)是周期为是周期为8的周期函数，所以的周期函数，所以cf(2017)f(25281)f(1)，bf(11)f(3)；由；由得得f(x)的图象关于直线的图象关于直线x4对称，所以对称，所以bf(3)f(5)，cf(1)f(7)结合结合f(x)在在4，8上单调递增可知，上单调递增可知，f(5)f(6)f(7)，即，即bac.故选故选B.【答案】【答案】B【反思归纳】【反思归纳】课时作业课时作业
