1、1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数第三课时第三课时 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用的各种三角函数我们都是用比值比值来表示的，来表示的，或者说是用或者说是用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数正弦、余弦、正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 yOP(x,y)yOP(x,y)MM(1)sin=y=|MP|(2)cos=x=|OM|思考思考1:在单位圆中下列等式是否正确?如何更正?(1)|sin|=|y|=|
2、MP|(2)|cos|=|x|=|OM|思考思考2:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的取值与P点的坐标一致?知识探究（一）：知识探究（一）：ABCAAB=4BA=4CB=2为了简化上述表示，我们将线段的两个为了简化上述表示，我们将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号使得线段具有方向性，带有正负值符号.定义：规定了方向定义：规定了方向(即规定了起点和终点即规定了起点和终点)的线段称为有向线段的线段称为有向线段.（课本（课本P16P16）xyoxyo的终边的终边PMPM()()
3、用有向线段表示终边落在一三象限的角的三角函数值sin=y=MPcos=x=OMsin=y=MPcos=x=OM思考思考3 3：由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三为第一、三象限角时，象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线可分别用有向线段段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP=sinMP=sin，OM=cosOM=cos，那么当角那么当角为第二、四象限角时，你能检为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？验这个表示正确吗？(x,y)P(x,y)PO Ox xy yM MP P(x,y)(x,y)O Ox xy yM M定义定义：设角设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位
4、圆的交点为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有，称有向线段向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的的正弦线正弦线和和余余弦线弦线.P PO Ox xy yM Mxyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边PMPMPMPM()()()()思考思考4：当角当角的终边在坐标轴上时，的终边在坐标轴上时，角角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？O Ox xy yP PP P例例1.用三角函数线证明用三角函数线证明sin+cos1.为锐角为锐角证明：在证明：在OMP中，中，OP=1，OM=cos,MP=sin，因为三角形两边之和因为三角形
5、两边之和大于第三边，所以大于第三边，所以sin+cos1。例例2.比较大小：比较大小：(1)sin1和和sin1.5;(2)cos1和和cos1.5;解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.5M M知识探究（二）：知识探究（二）：A AT T思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y）则）则 是正数，用哪条有向线段表示角是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxyOP(x,y)M思考思考2:能否借助单位圆能否借助单位圆,用
6、有向线段表示其它象限角用有向线段表示其它象限角的正切值的正切值?yOP(x,y)MATATyOP(x,y)MATyOP(x,y)MAT过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T,T,则则AT=tanAT=tan.思考思考3 3：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的几何含义如何？的正切线的几何含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的
7、正切线不存在.二、作法总结二、作法总结(一一)正弦线、余弦线、正切线作法总结：正弦线、余弦线、正切线作法总结：的终边的终边MPOTT/第一步第一步：作出角：作出角的终边的终边，与单位圆交与单位圆交于于点点P P;第二步第二步：过点：过点P P作作x x轴的垂轴的垂线线，设垂足为设垂足为MM，得正弦，得正弦线线MPMP、余弦线、余弦线OMOM;第三步第三步：过点：过点A(1,0)A(1,0)作单位圆作单位圆的切线，它与角的切线，它与角的终边或其的终边或其反向延长线的交点设为反向延长线的交点设为T T，得，得角角的正切线的正切线ATAT.A(1,0)1yx 的终边的终边-1例例3.分别作出分别作出
8、 、的正弦线、的正弦线、余弦线、正切线。余弦线、正切线。324332思考思考.已知已知(0，)，试证，试证sintan.2证明：证明：sin=|MP|,=APtan=|AT|.1122OAOA AT即即sintan.SPOAS扇形扇形AOPSAOT所以所以MPOA/2MPAT例例4.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sin.2tanxOy-1-11121y角的终边PNxOy-1-111TAPP角的终边2变式：变式：写出满足条件写出满足条件 cos 的角的角的集合的集合.2123xOy-1-111PQRS6611323462|k，或322k342kZ
9、kk，61122023-5-221 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正切线正切线ATyx xO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：注意：三角函三角函数线是数线是有向线有向线段段！正弦线正弦线MP余弦线余弦线OM数形结合数形结合:用有向线段表示三角函数值用有向线段表示三角函数值小结小结1.给定任意一个角给定任意一个角，都能在单位圆中作出它，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。的正弦线、余弦线、正切线。2.三角函数线的位置三角函数线的位置：正弦线正弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交
10、点在在y轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段；余弦线余弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点在在x轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段；正切线正切线在过单位圆与在过单位圆与x轴正方向的交点的切轴正方向的交点的切线上，为有向线段线上，为有向线段AT 3.特殊情况：特殊情况：当角的终边在当角的终边在x轴上时，点轴上时，点P与点与点M重合，重合，点点T与点与点A重合，这时正弦线与正切线都变成重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线了一点，数量为零，而余弦线OM=1或或1。当角的终边在当角的终边在y轴上时，正弦线轴上时，正弦线MP=1或或1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切正切线不存在线不存在。xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()2023-5-225OAPMT PMTPMTPMT2023-5-226的的定定义义域域。求求函函数数xxtansin例例3练习练习的的定定义义域域。求求函函数数xxtansin
