1、 排列组合分堆 分配问题2 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照一定的按照一定的顺序顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的个元素的一个排列一个排列.1.排列的概念：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全全 相同，且元素的排列顺序也完全相同相同，且元素的排列顺序也完全相同.复习引入复习引入nmNmn,*!(1)(2)(1)()!mnnAn nnn mn m 2.排列数公式：34.组合数性质:mn mnnCC11 mmmnnnCCC3.组合数公式:(1)(2)(1)!m
2、mnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm复习引入复习引入 分堆分配问题分堆分配问题5abcd例 把a,b,c,d分成平均两组,有_多少种分法？bdadbccdabbcad三种三种6这个问题也可以这样思考这个问题也可以这样思考把把a,b,c,d平均分成有标号的第一组，第二组平均分成有标号的第一组，第二组从四个元素中选两个元素放到第一组，剩下的两个从四个元素中选两个元素放到第一组，剩下的两个元素放到第二组，故共有元素放到第二组，故共有 种分法，又因种分法，又因为两个小组没有区别，故分组有为两个小组没有区别，故分组有 种种.62224CC3222224ACC7例 把a,b,c,d,e,
3、f分成平均三组,有_多少种分法？这个问题可以这样思考这个问题可以这样思考把把a,b,c,d,e,f平均分成有标号的第一组，第二组平均分成有标号的第一组，第二组,第三组第三组从六个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的四从六个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的四个元素选两个放到第二组，剩下的两个放到第三组个元素选两个放到第二组，剩下的两个放到第三组故共有故共有 种分法，又因为三个小组没种分法，又因为三个小组没有区别，故分组有有区别，故分组有 种种.90222426CCC1533222426ACCC8因此要将因此要将n个不同的元素平均分成个不同的元素平均分成m组，组，每组每组r个元素，个元素，n=
4、mr,共有共有 种分组方法种分组方法.mmrrrrnrnACCC9例 把把a,b,c,da,b,c,d分成三组分成三组,一组两个，另两组各一个一组两个，另两组各一个 有有 _多少种分法？多少种分法？abcdacadbbdcbcadbdcdacab六10例例 把把a,b,c,da,b,c,d分成三组分成三组,一组两个，令两组各一个一组两个，令两组各一个有有_多少种分法？多少种分法？这个问题可以这样思考把把a,b,c,d分成有标号的第一组，第二组分成有标号的第一组，第二组,第三组第三组从四个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的两从四个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的两个元素选一个放到第二组，剩
5、下的一个放到第三组个元素选一个放到第二组，剩下的一个放到第三组故共有故共有 种分法，又因为后两个小组种分法，又因为后两个小组没有区别，故分组有没有区别，故分组有 种种.12111224CCC622111224ACCC11上述问题属于将部分元素平均分成上述问题属于将部分元素平均分成m组，此时组，此时的方法是将选取出每一个组的组合数的的方法是将选取出每一个组的组合数的 乘积乘积除以除以m的阶乘，意思是有几个小组的个数相同，的阶乘，意思是有几个小组的个数相同，就除以几的阶乘就除以几的阶乘.局部平均分组12例1.12本不同的书（1）按4 4 4平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2 2 2 6分成
6、四堆有多少种不同的分法？C102C82A33C122C66(2)C84C44A33C12412!4!8!8!4!4!13!(1)57751.平均分平均分堆问题堆问题若干个不同的元素“等分为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!13例2.6本不同的书按2 2 2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？解：先分再排法先分再排法.分成的堆数看成元素的个数分成的堆数看成元素的个数.均分的三堆看成是三个元素在三个位置上作排列均分的三堆看成是三个元素在三个位置上作排列C42C22A33C62A331.平均分堆问题若干个不同的元素若干个不同的元素“等分等分”为为 个堆个堆,要将选取要将选取出
7、每一个堆的组合数的乘积除以出每一个堆的组合数的乘积除以m!90222426CCC14例3.12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E 五个人有多少种不同的分法？解解：先分再排法：先分再排法.1.平均分平均分堆问题堆问题若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部“等分等分”有有 个均等个均等堆堆,要将选取出每一个要将选取出每一个堆堆的组合数的乘积除以的组合数的乘积除以m!332222242639312AACCCCC3322332222242639312AAAACCCCC15练习1.12本不同的书平均分成四堆堆有多少 种不同分法？44333639312ACCCC1.平均分平均分堆问题堆问题若
8、干个不同的元素若干个不同的元素“等分等分”为为 个堆个堆,要将要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!16练习练习2.2.1010本不同的书本不同的书（1 1）按）按22242224分成四分成四堆有多少种不同的分法？堆有多少种不同的分法？（2 2）按）按22242224分给甲、分给甲、乙、丙、丁四个人有多少乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法？种不同的分法？22241086433C C C C(1)A1.平均分堆问题平均分堆问题若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部“等分等分”有有 个均等个均等堆堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以要将选取出每一个堆的组合数
9、的乘积除以m!33334426282102AACCCC17例例4 4.（1 1）6 6本不同的书按本不同的书按123123分成三堆有多少分成三堆有多少种不同的分法？种不同的分法？（2 2）按）按123123分给甲、乙、分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的丙三个人有多少种不同的分法？分法？123653(1)C C C2.非均分堆问题非均分堆问题非均分堆问题只要按比例分完再用乘法原理作积非均分堆问题只要按比例分完再用乘法原理作积.602332516CCC18例5.有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，（1）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲
10、得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本各有多少种不同的分法？(3)(4)(5)C52C33C61A33C52C33C61C21C11C64C21C11C64(2)C42C22C62(1)2.非均分堆问题2!3!19练习3.12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，各有多少 种不同的分法？（1）一人三本，一人四本，一人五本；（2）甲三本，乙四本，丙五本；（3）甲两本，乙、丙各五本；（4）一人两本，另两人各五本C94C55C123(1)(2)(3)(4)A33C94C55C123C105C55C122C105C55C1222.非均分堆问题非均分堆问题要明确堆的顺序时，必须先分堆
11、后再把堆数当要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列作元素个数作全排列.非均分堆问题只要按比非均分堆问题只要按比例分完再用乘法原理作积例分完再用乘法原理作积.2!3!解:分两大步:(1)先分堆先分堆:“2，1，1，1”(2)再分配：2111532133CCCCA211145321433CCCCAA 240.练习1 将5本不同的书全部分给4人,每人至少1本,不同的分配方案共有_种.练习练习2.7名志愿者中安排名志愿者中安排6人在周六、周人在周六、周日两天参加社会公益活动，若每天安排日两天参加社会公益活动，若每天安排3人人，则 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法？，则 有
12、 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法？33274222.C CAA解：练习练习3.将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队,有多少分法？有多少分法？544138422C C CA练习练习4.4.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2 2名，则不名，则不同的安排方案种数为同的安排方案种数为_ 2226422290AC C A练习练习52021年某校获得校长实名推荐制的资格，该校高年某校获得校长实名推荐制的资格，该校高三
13、奥赛班有三奥赛班有5名同学获得甲、乙、丙三名同学获得甲、乙、丙三 所高校的推荐资格，所高校的推荐资格，且每人限推荐一所高且每人限推荐一所高 校若这三所高校中每个学校都至校若这三所高校中每个学校都至少有少有1名名 同学获得推荐，那么这同学获得推荐，那么这5名同学不同的推荐名同学不同的推荐 方案共有方案共有 ()A144种种 B150种种C196种种 D256种种B练习7.三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？411222123362164265332323C C CC C C(C C C)A630AA+多个分给少个时，采用先分组再分配的策略.26要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列作元素个数作全排列.若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部“等分等分”有有 个均等个均等堆堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!若干个不同的元素若干个不同的元素“等分等分”为为 个堆个堆,要将要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积法原理作积.小结：小结：谢 谢！
