保险精算-第2章-生命表课件.ppt

1、Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience1 1 1保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算Actuarial ScienceActuarial ScienceActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience2 2 2保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算3引例人

2、的寿命 X连续型随机变量 Pr(100)x)1Pr(xXxXx)(XE寿命的分布函数与概率密度4()f x()(),0F xPr Xx x0)0(F()(),0f xFxx()()xF xf t dt约定寿命的分布函数与概率密度1(100)Pr x1(100)Fdxxf100)(100)Pr x(1)Pr xXxXx)(XE(1)()Pr xXxXxPr Xx(1)()1()Pr XxPr XxPr Xx(1)()1()F xF xF xxdxxf0)(Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScie

3、nceScienceScienceScienceScience6 6 6保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算7生存函数(Survival Function)()(),0s xPr Xxx()1()s xF x(100)s(0)1s约定(100)Pr x(1)Pr xXxXx)(XE(1)()1()F xF xF x()(1)()s xs xs x0()xs x dx 8生存函数(Survival Function)(0)1s性质：1、lim()0 xs x2、单调递减的函数 3、一个右连续的函数 Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Act

4、uarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience9 9 9保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算10余命(Future Lifetime)T)(x()T xXx简记分布函数)(tFT)Pr(tT)Pr(xXtxX)Pr(xXtxXx)(1)()(xFxFtxF)()()(xstxsxs密度函数)(tfT)(tFT)()(xstxs011国际通用精算符号年内死亡的概率将在tx)()Pr T xtxtqxtpxtq1()Pr T xt年时仍生存的概率将在txx)(12国际通用精算符号说明：0 x(0)TX0()xps

5、x1txqxq1()1Pr T xxpxp1()1Pr T x1、2、13国际通用精算符号岁之间死亡的概率岁到在年后生存utxtxtx,)(xutqxutq()Pr tT xtu xtxutqq xutxtpp说明：xutqxtq 1u简记14国际通用精算符号()Pr T xt)(tFTtxpxtq1)()(xstxsxutqxutxtpp)()()(xsutxstxs)()()()()(txsutxstxsxstxstxuxtqptxq)()()(xstxsxsActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Scienc

6、eScienceScienceScienceScienceScience151515保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算16取整余命(Curtate Future Lifetime)()(xTxK非负整数集上的离散型随机变量()Pr K xk()1)Pr kT xk()1)Pr kT xkxkqkxxkqp)()1()(xskxskxsActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience171717保险精算保险精算保险精算保险精算保

7、险精算保险精算18死力(Force of Mortality)在到达x岁的人当中，在此一瞬间里死亡的人所占的比率，就称之为死力（也称瞬间死亡率或死亡密度）x)(1)()(lim0 xsxxxsxsx)()(xsxs19死力(Force of Mortality)(lnxsx00ln()xxydys ydyxyxdyys00)(lnxydyexs0)()()s xts x()()s xts x000 x tx ttyyx sxxydydydsdyeeee()()()()txx ts xts xtps xs xt()TfttxpActuarial Actuarial Actuarial Actua

8、rial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience202020保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算生存函数、死力的解析式211、de Moivre假设 xxxs0,1)(xx12、Gompertz假设()exp(1),0,1,0lnxBs xcBcxcxxBc生存函数、死力的解析式223、Makeham假设()exp(1),0,1,0lnxBs xAxcBAB cxc xxBCA4、Weibull假设 1()exp(),0,0,01nkxs xknxnnxkx23de Moivre假设特征分析xxx

9、s0,1)()()1()(xsxsxsxxx1)11(1de Moivre假设：xq1xxkq)()1()(xskxskxsxkxkx1)11(11x24de Moivre假设特征分析0)(dxxsx0 xdx)(XE20()xf x dxActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience252525保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算xqxlxdxe026生命表x年龄年龄死亡率死亡率生存人数生存人数死亡人数死亡人数平均余命平均余

10、命0121071081090.012600.000930.000650.348700.354530.3598810000098740986487851331260926427181273.8873.8273.892.292.242.20 xqxlxd0 xex美国美国1979198119791981年国民生命表年国民生命表27生存人数x该组新生婴儿群体中能生存到 岁的总人数xL0100000l()s xxE LX01(1,2,.,)0jjxjlI当第 个新生婴儿生存到 岁时其他0()1()0(1()(),(1,2,.,)jE Is xs xs xjl 01lxjjLI00011()()()()

11、llxjjjjE LEIE Ils xxl28死亡人数xnD0lxxn个零岁新生婴儿在 岁与岁之间死亡的概率nxd 0()()()nxxx nEDl s xs xnllxd1xxll人数29平均余命x岁的人未来还能生存的平均年数0 xe00()()()Ts xttft dttds x()E T x30生命表各函数间的关系11.xxx kppp 11(1)(1).(1)xxx kqqq 1111(1)(1).(1)kxxxx kpqqq kxmx kpq1111(1)(1).(1)(1(1)(1).(1)xxx kx kx kx k mqqqqqq kxpkxqxk mq31生命表各函数间的关系

12、()()s xks x00()()l s xkl s xx kxll()()()s xs xks x000()()()xx kxl s xl s xklll s xlkxxdlkxmx kpqx kx kx k mx kx k mxx kxllllllll mx kxdlkxpkxqxk mq应用实例 例 根据美国19791981年国民生命表计算30岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活过80岁；（2）在5年之内死亡；（3）在60岁死亡。解325030p8030ll431800.4475796477530q303530lll96477958080.00693964773030q6030dl11

13、450.011879647733取整平均余命000()()()()xTs xteE T xtft dttds x 00()xxls xpl()xeE K x34取整平均余命xe0()kk Pr K xk10 x kx kkxllkl 0kxx kkkpq1x kkxll101()x kx kkxklll 1223341(2()3()xxxxxxxlllllll12341(.)xxxxxlllll0 x kkxdkl35随机生存群体与确定生存群体随机生存群体:某一群体中，在各个年龄的生存人数和各年龄间的死亡人数都是随机变量，称之为。确定生存群体：由于群体各年的生存人数是确定的，这样的群体称之为。

14、36随机生存群体与确定生存群体211001(1)(1)(1)llqlqq110011(1)(1)(1).(1)xxxxllqlqqq0l0q100(1)llq1q到到1 1岁仍生存的人数岁仍生存的人数到到2 2岁仍生存的人数岁仍生存的人数到到x x岁仍生存的人数岁仍生存的人数2q37随机生存群体与确定生存群体211001llplpp110011.xxxxllplppp0l0p100llp1p到到1 1岁仍生存的人数岁仍生存的人数到到2 2岁仍生存的人数岁仍生存的人数到到x x岁仍生存的人数岁仍生存的人数2p38随机生存群体与确定生存群体211001()lldldd11xxxlld0l0d100

15、lld1d到到1 1岁仍生存的人数岁仍生存的人数到到2 2岁仍生存的人数岁仍生存的人数到到x x岁仍生存的人数岁仍生存的人数2d0011(.)xlddd应用实例 例 已知某生存群体55岁的生存人数为89509人，往后5年的死亡率分别为0.006、0.007、0.009、0.012、0.015。求该群体60岁时的生存人数。解3955555659(1)(1).(1)lqqq89509(1 0.006)(1 0.007).(1 0.015)8520660lActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienc

16、eScienceScienceScienceScience404040保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience414141保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算42线性插值)()()(xstxsxs()(1)()(1)()s xt s xt s xs x()(1)()ts xs xs x()(1)()(1),01s xtts xt s xt xtqxt q 43线性插值1xt

17、 q ()()()s xts xtys xt()/()()/()()/()s xts xs xtys xs xts x txp1txq txyqtxtyxtxppp01,01,1tyyt (1)(1()1xxxt ptypt p 1xxy qt q 44线性插值txyx tpq(1)1xxxy qt qt q xytqxy q)()(xstxs(1)()(1)()ts xt s xs x()(1)()s xs xs x)(tfTxq年龄内均匀分布假设UDD假设应用实例 例 设某人在3个月前满75岁，根据美国19791981国民生命表所列生命表在年龄内均匀分布假设下求其在5年内死亡的概率。解45

18、575.25q0.7575.25q0.7575.25476pq0.7575.254760.2580ppq575.250.7575.250.7575.254760.7575.25 476 0.2580qqpqppq应用实例解4675808075760.75(1)(1 0.25)1 0.25qlqql0.75 0.0450743180(1)(1 0.25 0.06882)1 0.25 0.04507542390.75566575.25p0.7575.254760.2580ppp0.7575.254760.2580(1)(1)qpq575.25575.251qp 0.24434Actuarial A

19、ctuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience474747保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算48几何插值1()()(1),01tts xts xs xt 1()(1)()tts xs xs x(1)()()ts xs xtxp)()(xstxs()txp49几何插值()/()()/()()/()s xts xs xtys xs xts x()()()ttyxxtxppp1()txp txq1txp()()()s xts xtys xt txyq0

20、1,01,1tyyt 1()yxp 50几何插值()()()()s xts xts xts x(ln()txs xtp(1)ln()ln(1)txts xts xp )()(xstxs)(tfT(1)ln()()txs xps x ln()txxpp x t()()s xts xt lnxp 年龄内常数死力假设CFM假设应用实例解510.750.2580758076(1)(1)lqql0.75545575.25p0.7575.254760.2580ppp0.7575.254760.2580(1)(1)qpq575.25575.251qp 0.24455Actuarial Actuarial A

21、ctuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience525252保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算53调和插值11()()(1)tts xts xs xxtxxxppptqxtxxxtqqptq()xyx txxyqqpty q2()()xxTxxp qftptq01,01,1tyyt Balducci假设应用实例解548080757680801(1 0.75)()10.25lqqlqq0.75524575.25p0.7575.254760.2580ppp0.7575.2

22、54760.2580(1)(1)qpq575.25575.251qp 0.24476各年龄内寿命分布55年龄内假设均匀分布常数死力Balducci死力1(1)xxqt qlnxp1xxqtqActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience565656保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算57平均余命的计算00()()xs xtetdts x 0()txtpdt 00txtxt pp dt 0txp dt10ktxkkp dttks

23、100k sxkp ds100kxsx kkppds58平均余命的计算100(1)kxsx kkpqds100(1)kxx kkps qds UDD假设01(1)2kxx kkpq01(1)2x kx kkxx kldll0()2x kx kkxxldll0012x kx kkkxxldll1112x kxkxxllll 12xeActuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience595959保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算60

24、生命表（Mortality Table）是根据观察到的死亡记录所构造的在每一整数年龄死亡和生存概率的列表,给出了某一整数年龄的一群个体在未来死亡与生存人数的变化情况。Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience616161保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算生命表类型62计算死亡率的资料来源 国民生命表：根据全国范围内的人口统计资料构造出来的，反映的是一个特定时期内全国人口的寿命分布情况。经验生命表：根据许多家人寿保险公司对

25、被保险人的统计资料构造出来的，反映的是这些寿险公司的综合经验和它们的被保险人的寿命分布情况。（年金生命表和寿险生命表）生命表类型63性别男性生命表女性生命表混合生命表其他分类标准:是否吸烟、是否喝酒Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience646464保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算选择-终极表65xq1xx已知一个人活到了 岁，这个人在前死亡的概率x在 岁经过选择的人往后各年的死亡率,0,1,2,.xjqj选择-终极

26、表66 特征1：相同年龄的死亡率会随着选择时间的推移而增大 xk 0 x kj kxjqq 特征2：随着选择时间的推移，差别越来越小r x kr kxrqq x rq选择期 选择-终极表67选择表终极表70717273747576777879.0175.0191.0209.0228.0249.0273.0298.0326.0357.0391.0249.0272.0297.0324.0354.0387.0424.0464.0508.0556.0313.0342.0374.0409.0447.0489.0535.0586.0641.0702.0388.0424.0463.0507.0554.060

27、7.0664.0727.0796.0871.0474.0518.0566.0620.0678.0742.0812.0889.0973.1065.0545.0596.0652.0714.0781.0855.0936.1024.1121.122775767778798081828384 x xq 1xq 2xq 3xq 4xq5xq5x选择-终极表68473 3p73 373 473 573 6pppp73 373 47879ppp p 例 根据本节的部分选择终极表，求3年前购买人寿保险，现年76岁的被保人活到80岁的概率。73 373 47879(1)(1)(1)(1)qqqq(1 0.0507

28、)(1 0.0620)(1 0.0714)(1 0.0781)0.7623解Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial Actuarial ScienceScienceScienceScienceScienceScience696969保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算保险精算70计算死亡率 理论：对各个年龄的人分别进行统计，将1年中死亡的人数除以年初观察的人数即得各年龄的死亡率。实践：连续观察若干年 大数定律 统计调整 修匀死亡率曲线71年龄年龄死亡率死亡率606162636465660.01580.01530.01720.01800.02310.02240.026060 61 62 63 64 65 66 附加安全幅度72 经过修匀的死亡率曲线虽然清除了异常波动,但并没有清除正常的随机波动。这种正常的随机波动亦需要加以防范，连续几年不利偏差可能使公司在财务上陷入困境。附加安全幅度：年金生命表中的死亡率应在修匀后的死亡率上减去一个百分比。寿险生命表中的死亡率应在修匀后的死亡率上加上一个百分比。设置极限年龄73设置极限年龄 之后，在生命表上最后一年有：11q11dl常见的极限年龄为 或 。10P0l100110由此可得 和 。74谢谢谢谢！