1、7.1 7.1 引言引言 第七章 离散时间系统的时域分析7.3 7.3 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型7.4 7.4 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解7.5 7.5 离散时间离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应系统的单位样值（单位冲激）响应7.2 7.2 离散时间信号离散时间信号序列序列7.6 7.6 卷积（卷积和）卷积（卷积和）7.7 7.7 解卷积（反卷积）解卷积（反卷积）7.1 7.1 引言引言 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：微分方程差分方程数学模型数学模型系统函数系统函数时域分析时域分析变换域分析变换域分
2、析频响特性频响特性拉普拉斯变换傅里叶变换z变换离散时间傅里叶变换)(sH)(jH)(zH)(jeH连续时间系统离散时间系统()()()()()()hpzizsr tr tr tr tr trt()()()zsrte th t()()()()()()hpzizsy ny nyny nynyn()()()zsynx nh n7.2 7.2 离散时间信号离散时间信号序列序列（一）离散时间信号的表示方法（一）离散时间信号的表示方法离散时间信号：离散时间信号：时间变量是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出时间变量是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，在其他时间没有定义。函数值，在其他时间没有定义
3、。()x t)0(x)(Tx)2(TxtTT2T3T4T50()x n)0(x(1)x(2)x(3)xn123450波形图波形图数学表达式数学表达式各种变换域表示各种变换域表示表示方法表示方法 ()()x nnu nZTZT、DTFTDTFT、DFTDFT0 1 2 3 n()nu n123.（1 1）单位样值信号单位样值信号1,0()0,0nnn（二）常用典型序列（二）常用典型序列-2 -1 0 1 2 n()n1（2 2）单位阶跃序列单位阶跃序列1,0()0,0nu nn.-2 -1 0 1 2 3 n1()u n（3 3）单位）单位斜变序列斜变序列()()x nnu n0 1 2 3 n
4、()nu n123.（4 4）单边指数序列单边指数序列()()nx na u n当当 时，序列是发散的；时，序列是发散的；当当 时，序列是收敛的。时，序列是收敛的。当当 时，序列都取正值；时，序列都取正值；当当 时，序列正、负摆动。时，序列正、负摆动。1|a1|a0a 0a（5 5）正弦序列正弦序列0()sin()x nn若若 为有理数，为有理数，是周期的；是周期的；020sin()n若若 是无理数，是无理数，是非周期的。是非周期的。020sin()n)sin()(0ttf00()()sin()sin()x nf nTTnnsfT000称称 为离散域的频率（正弦序列频率）；为离散域的频率（正弦
5、序列频率）；为连续域的正弦频率。为连续域的正弦频率。00sin()10n0n1010（三）序列的运算（三）序列的运算（1 1）对自变量进行的运算：）对自变量进行的运算：移位、反褶与尺度移位、反褶与尺度()()x nx nm序列移位：序列移位：.-2 -1 0 1 2 3 n1()u n.-2 -1 0 1 2 3 n1(1)u n.-3 -2 -1 0 1 2 n1(1)u n序列反褶：序列反褶：()()x nxn.-3 -2 -1 0 1 2 n1()un序列尺度倍乘：序列尺度倍乘：()()x nx an0 1 2 3 4 5 6 n123456()x n(2)xn0 1 2 3 n2460
6、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n()2nx123456压缩时，要按规律去除某些点；压缩时，要按规律去除某些点；扩展时，要补足相应的零值。扩展时，要补足相应的零值。又称为序列的又称为序列的“重排重排”。()()()z nx ny n序列相加（减）序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。()()()z nx ny n序列相乘：序列相乘：两序列同序号的数值逐项对应相乘。两序列同序号的数值逐项对应相乘。（2 2）对因变量进行的运算）对因变量进行的运算序列的差分：序列的差分：相邻两样值相减。相邻两样值相减。()(1)()x n
7、x nx n一阶前向差分：一阶前向差分：一阶后向差分：一阶后向差分：()()(1)x nx nx n()()nkz nx k序列的累加：序列的累加：例例1 1：0 1 2 3 n()()x nnu n123.-1 0 1 2 n()n1.-1 0 1 2 3 n1()u n()(1)()x nx nx n()u n()(1)()u nu nu n()nkk()u n()nku k(1)()nu n()()(1)u nu nu n(1)n()n()()(1)x nx nx n(1)u n任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。()x n 例
8、例2 2：矩形序列矩形序列.-2 -1 0 1 2 N-1 N n1()NRn()NRn()()u nu nN10()Nmnm()()mx mnm()()x nn任意序列任意序列.-2 -1 0 1 2 n()x n.(0)x(1)x(2)x(1)x(2)x 例例3 3：“线性时不变线性时不变”7.3 7.3 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型离散时间系统()x n()y nH1()x n1()y nH2()x n2()y nH是线性的是线性的H1 122()()K x nK x n1122()()K y nK y nH()x n()y nH是时不变的是时不变的H()x nN()y
9、nN（一）离散时间系统的数学模型（一）离散时间系统的数学模型差分方程差分方程仿真框图仿真框图 N N 阶线性常系数后向差分方程阶线性常系数后向差分方程01201()(1)(2)()()(1)()NMa y na y na y na y nNb x nb x nb x nM（1 1）差分方程）差分方程 2 2 阶线性常系数前向差分方程阶线性常系数前向差分方程(2)2(1)2()(1)2()y ny ny nx nx n差分方程的阶数：差分方程的阶数：响应响应 的最大序号与最小序号之差。的最大序号与最小序号之差。()y n(b)加法器加法器离散时间系统的基本运算单元：离散时间系统的基本运算单元：单
10、位延时、相加、倍乘。单位延时、相加、倍乘。(a)单位延时器单位延时器(c)数乘器数乘器（2 2）仿真框图）仿真框图E1()y n(1)y n()x n()y n()()x ny n()x na()ax na()x n()ax n或或a()x n()ax n或或例例1 1：()(1)()y nay nx nE1()x n()y na()()(1)y nx nay n例例2 2：P38P38习题习题7-97-91201()(1)(2)()(1)y nb y nb y na x na x n1aE1()x n()y nE1E10a1b2b1201()(1)(2)()()()(1)q nbq nb q
11、 nx ny na q na q n()x nE1E11b2b1a()y n0a（二）差分方程的建立（二）差分方程的建立()(1)(1)()y ny nay nx n即即()(1)(1)()y na y nx n解：解：用迭代法求解此差分方程用迭代法求解此差分方程()(1)(1)()(0)0,()10000.0028y na y nx nyx na(1)(1 0.0028)(0)(1)1000yyx元(2)(1 0.0028)(1)(2)2002.8yyx元(12)(1 0.0028)(11)(12)12187yyx元例例1 1：如果在每如果在每 个月初向银行存款个月初向银行存款x(n)元，月
12、息为元，月息为a，每月利息不，每月利息不取出，试用差分方程写出第取出，试用差分方程写出第 n 个月初的个月初的本利和本利和y(n)。设。设xn=1000元，元，y(0)=0，求，求y(12)=?3.33%120.28%a 解：解：例例2 2：P14P14例例7-47-4 列写求第列写求第 个结点电压个结点电压 的差分方程。的差分方程。()v nnERRRRRRRR()v N(1)v N(2)v(1)v(0)vRRR(1)v n(2)v n()v n11111()(1)(2)()0v nv nv nRRRRR()3(1)(2)0v nv nv n(0),()0vE v N例例3 3：+-+-RC
13、()x t()y tt()()x tu t10t()(1)()tRCy teu t10.()x nT10tT.()y nT10tT()()()dRCy ty tx tdt若抽样间隔若抽样间隔 足够小，则足够小，则T(1)()()t nTdy nTy nTy tdtT差分方程？差分方程？(1)()()()RCy nTy nTy nTx nTT即即(1)(1)()()TTy nTy nTx nTRCRC计算机解微分方计算机解微分方程：转变为差分程：转变为差分方程迭代计算。方程迭代计算。迭代法：迭代法：7.4 7.4 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解 时域经典法：时域经典法：()()
14、()hpy ny nyn()()()zizsy nynyn 零输入响应零输入响应+零状态响应：零状态响应：ZTZT法法：（一）差分方程的算子表示法（一）差分方程的算子表示法增序算子增序算子E()(1)Ey ny n减序算子减序算子1E1()(1)y ny nE概念清楚，但只能给出数值解，不容易给出通式。概念清楚，但只能给出数值解，不容易给出通式。1201()(1)(2)()()(1)()NMy na y na y na y nNb x nb x nb x nM12102(1)()()()NMNMaaabby nbx nEEEEE1211201()()NNNMMNMNMEa Ea Eab Eb
15、Eby nx nEE()1011212()()()N MMMMNNNNEb Eb Eby nx nEa Ea Ea()()()y nH E x n()H E：离散时间系统的传输算子：离散时间系统的传输算子（二）（二）()()()hpy ny nyn1.1.齐次解齐次解 的求解的求解()hy n()hy n满足齐次差分方程满足齐次差分方程12()(1)(2)()0Ny na y na y na y nN（1 1）一阶齐次差分方程）一阶齐次差分方程1()(1)0y na y n1()(1)y na y n 已知已知(0)y1(1)()(0)ya y 211(2)(1)()(0)ya yay 1()
16、()(0)ny nay()()ny nC特征方程特征方程10a特征根特征根1a 迭代法迭代法12()(1)(2)()0Ny na y na y na y nN（2 2）N N 阶齐次差分方程阶齐次差分方程1212()0NNNNNEa Ea Eay nE特征方程特征方程12120NNNNaaa特征根特征根12,N12()()()()0NNEEEy nE12()0NEEEy nEEE122(1)()0NNaaay nEEE1()0Eay nE1()(1)0y na y n()()ny nC()0Ey nE1(1)()0ay nE1()0Eay nE12()0NEEEy nEEE1()(1)0y n
17、a y n()()ny nC()0Ey nE1122()()()()nnnNNy nCCC11()0Ey nE111()()ny nC222()()ny nC()()nNNNynC分解为分解为N N 个一个一阶齐次阶齐次方程方程22()0Ey nE()0NNEynE总结：总结：12()(1)(2)()0Ny na y na y na y nN特征方程特征方程12120NNNNaaa特征根特征根12,N1122()()()()nnnNNy nCCC二重根二重根12()()ny nC nCP17 P17 例例7-67-6：费班纳西数列费班纳西数列()(1)(2)0y ny ny n给定给定 ，求，
18、求 。(1)(2)1yy()y n特征方程特征方程210 121515()()()22nny nCC115115()()2255nn解：解：121515,22特征根特征根012222340)1()1(221234()()()nny nC nCCjCjP19 P19 例例7-87-8：()2(1)2(2)2(3)(4)0y ny ny ny ny n给定给定 ，求，求 。(1)1,(2)0,(3)1,(5)1yyyy()y n解：解：特征方程特征方程12341,jj 特征根特征根12341234123412341203151CCjCjCCCCCCCjCjCCCjCjC12340112CCCC1(
19、)1()()2nny njj 22112nnjjee 1 cos()2n 2.2.特解特解 的求解的求解()pynnC(常数常数)D(常数常数)10DnDnD01()nD nD(不是系统的特征根不是系统的特征根)n(是系统的特征根（非重根）是系统的特征根（非重根）)n激励激励()x n特解特解()pyn设特解设特解()py n 代入差分方程代入差分方程P20 P20 例例7-97-9：()2(1)()(1)y ny nx nx n给定激励函数给定激励函数 ，且已知，且已知 ，求，求 。(1)1y ()y n2()x nn解：解：()(2)nhy nC22012012222(1)(1)(1)D
20、nDnDD nD nDnn01202319DDD21()(2)39ny nCn121(1)1239yC89C821()(2)939ny nn2012D nDnD（三）（三）()()()zizsy nynyn零输入响应：零输入响应：是指仅由系统的起始状态是指仅由系统的起始状态 所产生的响应。所产生的响应。(1),(2),()yyyN()x n若激励信号若激励信号 从从 时刻开始接入系统，则：时刻开始接入系统，则：0n()x n零状态响应：零状态响应：是指仅由激励是指仅由激励 所产生的响应。所产生的响应。(1)(2)0zszsyy1.1.零输入响应零输入响应 的求解的求解()ziyn例：例：()3
21、(1)2(2)()y ny ny nx n1(1)0,(2),2yy()()()x nx n u n，求，求 。()ziyn解：解：()3(1)2(2)0ziziziynynyn1(1)0,(2)2yy是齐次解的一部分是齐次解的一部分()ziyn0232特征方程特征方程2,121特征根特征根12121(1)0211(2)42yCCyCC()(1)2(2),2nnziynn 12()(1)(2)nnziynCC设设1212CC 2.2.零状态响应零状态响应 的求解的求解()zsyn()()()zszshzspynynyn 卷积和法卷积和法()()zsynH x n()()mHx mnm()()m
22、x m Hnm()()mH x mnm()()mx m h nm()()x nh n记记 零状态响应零状态响应()()h nHn例例1：()3(1)2(2)()y ny ny nx n()2()nx nu n，求，求 。()zsyn解：解：()3(1)2(2)()zszszsynynynx n(1)(2)0zszsyy（1 1）12()(1)(2)nnzshynCC（2 2）设设()2nzspynD12232222nnnnDDD13D121()(1)(2)23nnnzsynCC（3 3）(0)3(1)2(2)(0)1zszszsyyyx(1)3(0)2(1)(1)1zszszsyyyx （4
23、4）12121(0)132(1)213zszsyCCyCC 12131CC 11()(1)(2)2 ()33nnnzsynu n 解：解：例例2：()4(1)4(2)()y ny ny nx n()2()nx nu n，求，求 。()y n(0)0,(1)1,yy 04422（二重根）（二重根）12()()(2)nhynC nC()2npynD设设nnnnDDD2242422114D121()()(2)24nny nC nC(0)1,(1)-2zszsyy()y n是全响应是全响应(0)-1,(1)1ziziyy()ziyn若求若求 ：2121(0)041(1)2212yCyCC 11()()
24、(2)2,044nny nnn12114CC P25例例7-11：试导出住房贷款等额本息还款法月还款额的计算公式试导出住房贷款等额本息还款法月还款额的计算公式(1)(1)1NNIIRPI：总贷款额，：总贷款额，P：贷款月利率，：贷款月利率，I：还款期限（月）：还款期限（月）N解：解：设第设第 个月末欠款为个月末欠款为 ，则，则n()y n()(1)(1),1y ny nIy nR n(0)yP()(1)(1)(0)y nI y nRyP()(1)(1)(0)y nI y nRyP()(1)nhynCI()pynD设设(1)DI DR RDI()(1)nRy nCII(0)RyCPIRCPI()
25、()(1)nRRy nPIII()()(1)NRRy NPIII0(1)(1)1NNIIRPI，2008年年9月月16日（公积金）日（公积金）50P 万5.13%120.4275%I 360N，（月）例：例：2724R（元）2724R（元）总还款额：总还款额：2724 360=980640（元）利息支出：利息支出：480640（元）等额本息还款法：等额本息还款法：1389500000*0.4275%=1389+2137.5=3526.5（元）等额本金还款法：等额本金还款法：第一个月还款额：第一个月还款额：每月本金还款额：每月本金还款额：500000=1389360（元）1389500000-1
26、389*0.4275%=1389+2131.6=3520.6（）（元）第二个月还款额：第二个月还款额：贷贷50万，万，30年还清，年利率年还清，年利率5.13%提前还贷：提前还贷：当前剩余本金当前剩余本金()()x nn()()zsynh n7.5 7.5 离散时间离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应系统的单位样值（单位冲激）响应离散时离散时间系统间系统单位样值响应：单位样值响应：（一）（一）的求解的求解()h n解：解：1()(1)()3h nh nn1(0)(1)(0)13hh1()(1)()3y ny nx n例例1 1：，求，求 。()h n(1)0h 11(1)(0)(1)33hh
27、211(2)(1)()33hh1()()3nh n()u n()n112n10在在 内，内，是个零输入响应。是个零输入响应。()h n0n 解：解：()5(1)6(2)()3(2)h nh nh nnn，求，求 。()5(1)6(2)()3(2)y ny ny nx nx n例例2 2：P23P23例例7-147-14()h n(1)(2)0hh在在 内，内，是个零输入响应。是个零输入响应。()h n2n()3(2)nn112n10334(0)5(1)6(2)11hhh(1)5(0)6(1)05hhh(2)5(1)6(0)316hhh()5(1)6(2)0(1)5,(2)16h nh nh n
28、hh(0)1h0652123212()32nnh nCC12212CC 1111(1)325(2)9416hCChCC1()()(232)(1)2nnh nnu n（二）（二）表征系统特性表征系统特性()h n1.1.因果性因果性()()()h nh n u n离散离散LTI 系统是系统是因果系统因果系统2.2.稳定性稳定性()Mnh n离散离散LTI 系统是系统是稳定系统稳定系统因果稳定因果稳定系统是我们主要的研究对象，其系统是我们主要的研究对象，其 是是单边的单边的而且是而且是衰减的衰减的。()h n7.6 7.6 卷积（卷积和）卷积（卷积和）1212()()()()()mf nf nfn
29、f m fnm（一）卷积和的定义及图解法计算（一）卷积和的定义及图解法计算12()()mf nm f m1()f nn3211202()fnn11023例：例：求求 。12()()()f nf nfn1()f mm3211202()fmm1201312(0)()()mff m fm312(1)()(1)mff m fm5(2)f 6(3)f 6(4)f 3(5)f 1()0f n 其他12()()()3,5,6,6,3,1f nf nfn1()f nn3211202()fnn11023()f nn351120366354左边界为左边界之和，右边界为右边界之和。左边界为左边界之和，右边界为右边界
30、之和。1 1 1 12 2 2 23 3 3 33 5 6 6 3 11 1 1 1 3 2 12():fn1():fn有限长序列卷积和的另一种求法：有限长序列卷积和的另一种求法：对位相乘求和法对位相乘求和法（二）常用序列的卷积和（二）常用序列的卷积和11121212()()()nnnnu nu nu n()()()x nnx n()()(1)()nnnu nu nnu n11()()()1nnu nu nu n()()(1)()u nu nnu n12()()()f nf nf n 若若 1122()()f n nf n n12()f n nn则则 1()mu m0m2()n mu nmmn
31、12()()nnu nu n120()nmn mmu n 1202()()nnmmu n1122121()()1nnu n112121()nnu n111212()nnu n（三）用卷积和求零状态响应（三）用卷积和求零状态响应P32P32例例7 7-15-15：某系统的单位样值响应某系统的单位样值响应()(),(01)nh na u na若激励信号为若激励信号为 ，求零状态响应，求零状态响应 。()()()x nu nu nN()zsyn解：解：()()()()nzsyna u nu nu nN11()1nau na()h nnn()x nn()zsyn11()1n Nau n Na 7.7 7.7 解卷积（反卷积）解卷积（反卷积）因果因果LTI系统系统()()()h nh n u n因果激励信号因果激励信号()()()zsynh nx n则零状态响应则零状态响应()()()x nx n u n0()()nmh m x nm(1)(0)(1)(1)(0)yhxhx(2)(0)(2)(1)(1)(2)(0)yhxhxhx(0)(0)(0)yhx(0)h(1)h(2)(0)(2)(1)(1)/(0)yhxhxx10()()()()/(0)nmh ny nh m x nmx(0)/(0)yx(1)(0)(1)/(0)yhxx(2)h解卷积也可用变换域方法进行解卷积也可用变换域方法进行
