1、 一、一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法 二、二、高阶偏导数高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在点点)2,1(处处的的偏偏导导数数解
2、解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1,0(xx，求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy|)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在例
3、例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数），求证：为常数），求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT ).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf、偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0,00,),(222222yxyxy
4、xxyyxf,依定义知在依定义知在)0,0(处，处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图几何意义几何意义:),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为
5、为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中
6、原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：例例 6 6 设设byeuaxcos，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相
7、等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 6 6 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程.02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu .0 若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思
8、考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0,0(处处连连续续,但但 )0,0()0,0(yxff 不存在不存在.例如例如,一一、填填空空题题:1 1、设设yxztanln,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、设设,arctanxyz 则
9、则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;22yz_ _ _ _ _ _ _ _;yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)(,则则 yzu2_.二、二、求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数:1 1、yxyz)1(；2 2、zyxu)arctan(.三、三、曲线曲线 4422yyxz,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少?四、四、设设xyz ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz ,求求yxz 23和和23yxz .六、六、验证验证:
10、1 1、)11(yxez ,满足满足zyzyxzx222 ；2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222.七、设七、设 0,00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff,.一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2 2、)1(2 yxyexy,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz .二、二、1 1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、三、4.四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx.五、五、223231,0yyxzyxz .七、七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.
