1、第二十八章第二十八章 圆圆28.1 28.1 圆的概念及性质圆的概念及性质1课堂讲解课堂讲解u圆的定义圆的定义 u圆的对称性圆的对称性u与圆有关的概念与圆有关的概念u同圆的半径相等同圆的半径相等2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会怎样？成正方形，会怎样？如图：如图：E、B表示车轮边缘上的两点，它们到轴心表示车轮边缘上的两点，它们到轴心O的距离大小如何？的距离大小如何？OO 这样会导致会导致什么后果？这样会导致会导致什么后果？如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够
2、平如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动？稳地滚动？如图：如图：A、B表示车轮边缘上任意两点，则它们到表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心轴心O的距离：的距离：_.一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用圈套住离他们圈套住离他们2m远的目标，远的目标，有如图两种方案供选择，你的选择是有如图两种方案供选择，你的选择是_，理由：理由：_。1知识点知识点圆的定义圆的定义知知1 1导导 在实际生活中，电动自行车的车轮、皮带传动轮、在实际生活中，电动自行车的车轮、皮带传动轮、茶几面和管道的横截茶几面和管道的横截 面等，都给我们一种圆的形象面等，都给我们
3、一种圆的形象.电动车车轮电动车车轮皮带传动轮皮带传动轮茶几面茶几面管道的横截管道的横截 面面知知1 1导导思考：思考：小惠与小亮合作，按下面的方法画圆小惠与小亮合作，按下面的方法画圆.首先，小惠把绳子的一端固定在首先，小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点操场上的某一点O处，小亮在绳子的另处，小亮在绳子的另一端拴上一小段竹签，然后，小亮将一端拴上一小段竹签，然后，小亮将绳子拉紧，再绕点绳子拉紧，再绕点O转一圈，竹签划出转一圈，竹签划出的痕迹就是圆的痕迹就是圆.观察小惠与小亮画圆的过程，你认为圆上任意一观察小惠与小亮画圆的过程，你认为圆上任意一点到圆心的距离相等吗？点到圆心的距离相等吗？知知1 1
4、导导结论结论 平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆图形，叫做圆(circle)，这个定点叫做圆心，这个定点叫做圆心(center of a circle)，这条定长叫做圆的半径，这条定长叫做圆的半径(radius).如下图，它如下图，它是以点是以点O为圆心，为圆心，OA的长为半径的圆，记作的长为半径的圆，记作“O”，读作读作“圆圆O”.线段线段OA也称为也称为 O的半径的半径.(1)确定一个圆需要两个要素，一是圆心，二是确定一个圆需要两个要素，一是圆心，二是半径圆心定其位置，半径定其大小半径圆心定其位置，半径定其大小 (2)圆是一条封
5、闭的曲线，曲线是圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周圆周”，而，而不不能认为是能认为是“圆面圆面”(3)“圆上的点圆上的点”指圆周上的点指圆周上的点知知1 1讲讲 下列说法中，错误的有下列说法中，错误的有()经过点经过点P的圆有无数个；以点的圆有无数个；以点P为圆心的圆有为圆心的圆有无数个；半径为无数个；半径为3 cm且经过点且经过点P的圆有无数个；的圆有无数个；以点以点P为圆心，为圆心，3 cm为半径的圆有无数个为半径的圆有无数个A1个个 B2个个 C3个个D4个个知知1 1讲讲例例1导引：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只导引：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只 满足一个条件或
6、不满足任何一个条件的圆都有无满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无 数个，由此可知正确；半径确定，但圆心数个，由此可知正确；半径确定，但圆心 不确定，仍有无数个圆；圆心和半径都确定的不确定，仍有无数个圆；圆心和半径都确定的 圆有且只有一个圆有且只有一个(唯一唯一).A 总总 结结知知1 1讲讲 (1)确定圆的条件即圆心和半径，两者缺一确定圆的条件即圆心和半径，两者缺一不可；不可；(2)“点在圆上点在圆上”和和“圆过点圆过点”表示的意义表示的意义都是：这个点在圆周上；都是：这个点在圆周上；(3)圆将平面划分为三圆将平面划分为三部分：圆上、圆内、圆外部分：圆上、圆内、圆外1 下列关于圆的叙述正
7、确的是下列关于圆的叙述正确的是()A圆是一个面圆是一个面 B圆是一条封闭曲线圆是一条封闭曲线 C圆是由圆心唯一确定的圆是由圆心唯一确定的 D圆是到定点距离等于或小于定长的点的集合圆是到定点距离等于或小于定长的点的集合知知1 1练练 2 下列关于圆的叙述中正确的是下列关于圆的叙述中正确的是()A圆是由圆心唯一确定的圆是由圆心唯一确定的 B圆是一条封闭的曲线圆是一条封闭的曲线 C平面内到定点的距离小于或等于定长的所平面内到定点的距离小于或等于定长的所 有点组成圆有点组成圆 D圆内任意一点到圆心的距离都相等圆内任意一点到圆心的距离都相等3 平面内已知点平面内已知点P，以，以P为圆心，为圆心，3 cm
8、为半径作圆，为半径作圆，这样的圆可以作这样的圆可以作()A1个个 B2个个 C3个个 D无数个无数个知知1 1练练 2知识点知识点圆的对称性圆的对称性知知2 2导导 圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心称中心.1圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的 对称轴对称轴 (1)圆的对称轴有无数条；圆的对称轴有无数条；(2)不能说不能说“圆的对称轴是直径圆的对称轴是直径”，而应该说，而应该说“圆圆的的 对称轴是直径所在的直线对
9、称轴是直径所在的直线”或说成或说成“圆的对称圆的对称轴轴 是经过圆心的直线是经过圆心的直线”2圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心不仅圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心不仅 如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图 形都与原图形重合，即圆还具备旋转不变性形都与原图形重合，即圆还具备旋转不变性知知2 2讲讲 知知2 2讲讲例例2 如图所示，在如图所示，在 O中，将中，将AOB绕圆心绕圆心O顺时针顺时针 旋转旋转150，得到，得到COD，指出图中相，指出图中相 等的量等的量导引：题中涉及的量有：弧、角、线段，按导引：题中涉及的量有：弧、角、线段，按 圆
10、的旋转不变性这一规律找相等的量圆的旋转不变性这一规律找相等的量解：相等的弧有：解：相等的弧有：相等的角有：相等的角有：AOBCOD，AOC BOD，ABCD；相等的线段有：相等的线段有：ABCD，OAOBOCOD.,;ABCD ACBD BDADAC CDADAB 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，而且绕圆圆既是轴对称图形又是中心对称图形，而且绕圆心旋转任何一个角度都能与原图形重合，即圆具有旋心旋转任何一个角度都能与原图形重合，即圆具有旋转不变性转不变性总总 结结知知2 2讲讲 1 下列图形中，对称轴条数最多的是下列图形中，对称轴条数最多的是()A线段线段 B正方形正方形 C正三角形正三角形
11、D圆圆知知2 2练练 知知2 2练练2【中考中考徐州徐州】下列图案中，是轴对称图形但不下列图案中，是轴对称图形但不3 是中心对称图形的是是中心对称图形的是()3【中考中考凉山州凉山州】在线段、平行四边形、矩形、等在线段、平行四边形、矩形、等4 腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又形又 是中心对称图形的有是中心对称图形的有()5 A2个个 B3个个 C4个个 D5个个 3知识点知识点与圆有关的概念与圆有关的概念知知3 3导导 实际上，圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合实际上，圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.为进一步认识圆的有关性质，我们先了解关于圆
12、的为进一步认识圆的有关性质，我们先了解关于圆的一些概念一些概念.圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦(chord).过圆心的弦叫做这个圆的直径过圆心的弦叫做这个圆的直径(diameter).圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧(circular arc)，简，简称弧称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆样的一条弧叫做半圆(semicircle).知知3 3导导 大于半圆的弧叫做优弧大于半圆的弧叫做优弧(major arc)，小于半圆，小于半圆的弧叫做劣弧的弧叫做
13、劣弧(minorarc).如图，点如图，点A，B，C，D在在 O上上.线段线段AB为为 O的一条弦，的一条弦，AC为为 O的直径的直径.直直径径AC所分的两个半圆分别为半圆所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆和半圆ABC.以以AB为端点的弧有两条，其中劣弧用为端点的弧有两条，其中劣弧用 来表示，来表示，读作读作“弧弧AB”，优弧用，优弧用 来表示，读作来表示，读作“弧弧ADB”.能够完全重合的两个圆叫做等圆能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合能够完全重合的两条弧叫做等弧的两条弧叫做等弧.ABADB知知3 3讲讲例例3 易错题易错题 以下命题：半圆是弧，但弧不一定是半圆；以下命题：半圆是弧
14、，但弧不一定是半圆；过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；弦是直径；直径是圆中最长的弦；直径不是弦；弦是直径；直径是圆中最长的弦；直径不是弦；优弧大于劣弧；优弧大于劣弧；以以O为圆心可以画无数个圆为圆心可以画无数个圆.正确的个数为正确的个数为()A1 B2 C3 D4导引：半圆是弧的一种，弧可以分为劣弧、半圆、优弧三种，故导引：半圆是弧的一种，弧可以分为劣弧、半圆、优弧三种，故 正确；过圆上任意一点可以作无数条弦，故错误；直径正确；过圆上任意一点可以作无数条弦，故错误；直径 是过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径，故错误；圆有无是过圆心的特殊弦，但
15、弦不一定是直径，故错误；圆有无 数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确；数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确；直径是圆中最长的弦，故错误；在同圆或等圆中，优弧直径是圆中最长的弦，故错误；在同圆或等圆中，优弧 大于劣弧，故错误；以一个点为圆心，若不指明半径，大于劣弧，故错误；以一个点为圆心，若不指明半径，可画出无数个大小不等的同心圆，故正确可画出无数个大小不等的同心圆，故正确.C 在圆的有关概念中有两个误区：一是在圆的有关概念中有两个误区：一是“半圆半圆”和和“弧弧”这两个概念之间的误区，半圆属于弧；二是这两个概念之间的误区，半圆属于弧；二是“弦弦”和和“直径直径”
16、之间的误区，直径是最长的弦之间的误区，直径是最长的弦总总 结结知知3 3讲讲 知知3 3练练1 如图所示如图所示，已知，已知 O上有上有A，B，C三个点，以其三个点，以其中两个点为端点的弧共有中两个点为端点的弧共有_条，弦共有条，弦共有_条条 知知3 3练练2 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()弦是直径；半圆是弧；过圆心的线段是直弦是直径；半圆是弧；过圆心的线段是直 径；半圆是最长的弧；直径是圆中最长的弦径；半圆是最长的弧；直径是圆中最长的弦 A B C D3 下列说法中，错误的是下列说法中，错误的是()A直径相等的两个圆是等圆直径相等的两个圆是等圆 B长度相等的两条弧是等弧长度相等
17、的两条弧是等弧 C圆中最长的弦是直径圆中最长的弦是直径 D一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等 4知识点知识点同圆的半径相等同圆的半径相等知知4 4讲讲 (1)圆上各点到定点圆上各点到定点(圆心圆心O)的距离都等于定长的距离都等于定长(半径半径r)，即同圆的半径相等，即同圆的半径相等 (2)到定点到定点O的距离等于定长的距离等于定长r的点都在同一个的点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上.知知4 4讲讲例例4 如图所示，如图所示，BD，CE是是ABC的高求证：的高求证：E，B，C，D四点在同一个圆上四点在
18、同一个圆上导引：要证导引：要证E，B，C，D四点在同一个四点在同一个 圆上，即需找出一个点，使这个圆上，即需找出一个点，使这个 点到点到E，B，C，D的距离相等，联想的距离相等，联想BC的中点的中点 F到到B，C的距离相等，因此连接的距离相等，因此连接DF，EF，需，需 证证DFEF BC，利用直角三角形的性质，利用直角三角形的性质 易证易证 12知知4 4讲讲证明：如图所示，取证明：如图所示，取BC的中点的中点F，连接，连接DF，EF.BD，CE是是ABC的高，的高，BCD和和BCE都是直角三角形都是直角三角形 DF，EF分别为分别为RtBCD和和RtBCE斜边上斜边上 的中线，的中线，DF
19、EF BCBFCF.E，B，C，D四点在以四点在以F点为圆心，点为圆心，BC为为 半径的圆上半径的圆上 1212知知4 4练练1已知，如图，已知，如图，OA，OB为为 O的半径，的半径，C，D分别分别2 为为OA，OB的中点求证：的中点求证：ADBC.知知4 4练练2【中考中考毕节毕节】如图，点如图，点A，B，C在在 O上，上，A3 36，C28，则，则B()4 A100 B72 C64 D36 第二十八章第二十八章 圆圆28.2 28.2 过三点的圆过三点的圆1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u确定圆的条件确定圆的条件 u三角形的外接圆三
20、角形的外接圆 问题问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？问题问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？什么？问题问题3：如果店里师傅仅仅知道圆：如果店里师傅仅仅知道圆的半径，他可以画出多少个这样的圆？的半径，他可以画出多少个这样的圆？
21、为什么？为什么？1知识点知识点确定圆的条件确定圆的条件 知知1 1导导1.如图如图，平面上有两点，平面上有两点A，B，过点，过点A，B的圆有多少的圆有多少 个个?这些圆的圆心到点这些圆的圆心到点A，B的距离具有怎样的关系？的距离具有怎样的关系？圆心是否在线段的垂圆心是否在线段的垂 直平分线上？直平分线上？知知1 1导导2.如图，平面上三点如图，平面上三点A，B，C不在一条直线上不在一条直线上.过点过点 A，B，C的圆是否存在？如果存在，这样的圆有的圆是否存在？如果存在，这样的圆有 多少个？你能确定经过多少个？你能确定经过A，B，C三点的圆的圆心三点的圆的圆心 及半径吗？说出你的想法并和同学进行
22、交流及半径吗？说出你的想法并和同学进行交流.知知1 1导导讨论讨论 当点当点A，B，C在同一条直线上时，过这三点的圆在同一条直线上时，过这三点的圆是否存在？是否存在？我们发现：过两点我们发现：过两点A，B的圆也有无数个，这些的圆也有无数个，这些圆的圆心都在线段圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.过不在同一条过不在同一条直线上三点直线上三点A，B，C的圆有且只有一个，的圆有且只有一个，这个圆的这个圆的圆心为线段圆心为线段AB，BC的垂直平分线的交点的垂直平分线的交点.过在同一条过在同一条直线上三直线上三 点的圆不存在点的圆不存在.结论结论不在同一条直线上的三点确定一个圆不在同一条直
23、线上的三点确定一个圆.(1)经过平面内一点可以作无数个圆；圆心可以经过平面内一点可以作无数个圆；圆心可以是这一点之外任何点是这一点之外任何点 (2)经过平面内两点可以作无数个圆；圆心在连经过平面内两点可以作无数个圆；圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上接这两点的线段的垂直平分线上 (3)经过平面内不在同一直线上的三点，可以作经过平面内不在同一直线上的三点，可以作一个圆，并且只能作一个圆；圆心为连接其中任意一个圆，并且只能作一个圆；圆心为连接其中任意两点的线段的垂直平分线的交点两点的线段的垂直平分线的交点知知1 1讲讲 下列关于确定一个圆的说法正确的是下列关于确定一个圆的说法正确的是_已知圆心一
24、定能确定一个圆；以已知线段作为已知圆心一定能确定一个圆；以已知线段作为半径一定能确定一个圆；以已知线段作为直径一半径一定能确定一个圆；以已知线段作为直径一定能确定一个圆；经过不在同一直线上的三个点定能确定一个圆；经过不在同一直线上的三个点一定能确定一个圆；经过菱形的四个顶点一定能一定能确定一个圆；经过菱形的四个顶点一定能确定一个圆确定一个圆知知1 1讲讲例例1导引：导引：“确定确定”的含义是的含义是“有且只有有且只有”，而且确定一个，而且确定一个圆需圆需 要两个条件：圆心和半径缺少半径的长度；要两个条件：圆心和半径缺少半径的长度；缺少圆心的位置；显然错所以答案为缺少圆心的位置；显然错所以答案为
25、.总总 结结知知1 1讲讲 过平面内任意四点不一定能作出一个圆过过平面内任意四点不一定能作出一个圆过四点作圆，应先过不在同一直线上的三点作圆，四点作圆，应先过不在同一直线上的三点作圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，即过这四点可以作一个圆；否则不能在圆上，即过这四点可以作一个圆；否则不能1 下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A两个点确定一个圆两个点确定一个圆 B三个点确定一个圆三个点确定一个圆 C四个点确定一个圆四个点确定一个圆 D不共线的三个点确定一个圆不共线的三个点确定一个圆知知1 1练练 2当点当点A，B，C满足下列条件时
26、，总能确定一个满足下列条件时，总能确定一个3 圆的是圆的是()4 AAB1，BC45 BAB1，BC2，AC16 CAB 1，BC2 2，AC 37 DAB3，BC7，AC5知知1 1练练 333知知1 1讲讲例例2 用尺规作过三角形三个顶点的圆用尺规作过三角形三个顶点的圆.已知：如图，已知：如图，ABC.求作：求作：O，使它过三点，使它过三点A，B，C.作法：如图作法：如图.(1)分别作线段分别作线段AB和和BC的垂直平分线的垂直平分线l1和和l2.设设l1与与l2相交于点相交于点O.(2)以点以点O为圆心，为圆心，OA为半径画圆为半径画圆.O即为所求即为所求.本题运用分类讨论思想解答，三点
27、在和不在同一本题运用分类讨论思想解答，三点在和不在同一条直线上，所得结果不同当三点在同一条直线上时，条直线上，所得结果不同当三点在同一条直线上时，任意连两条线段，并作它们的垂直平分线，这两条垂任意连两条线段，并作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线是平行的，两直线没有交点，即无法确定圆直平分线是平行的，两直线没有交点，即无法确定圆心和半径，所以此时无法作圆心和半径，所以此时无法作圆结结 论论知知1 1讲讲 1 如图，已知直线如图，已知直线a和直线外的两点和直线外的两点A，B，经过，经过A，B作一圆，使它的圆心在直线作一圆，使它的圆心在直线a上上知知1 1练练 知知1 1练练2 如图，点如图，点A
28、，B，C在同一条直线上，点在同一条直线上，点D在直在直3 线线AB外，过这四点中的任意三个点，能画外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是圆的个数是()4 A1 B2 C3 D4 2知识点知识点三角形的外接圆三角形的外接圆知知2 2导导 我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆接圆(circumcircle)，外接圆的圆心叫做三角形的外心外接圆的圆心叫做三角形的外心(circumcenter).(1)三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在锐角三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在锐角三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边三角形的内
29、部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点处，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部的中点处，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部 (2)三角形外接圆的作法三角形外接圆的作法：作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可的距离为半径作圆即可 注意：一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无注意：一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形数个内接三角形.知知2 2讲讲 知知2 2讲讲例例3 已知已知ABC中，中，ABC135，则，则 这个三角形的外心在
30、这个三角形的外心在()A三角形的内部三角形的内部 B三角形的外部三角形的外部 C三角形的边上三角形的边上 D无法确定无法确定导引：根据三角形的内角和定理可知三个角的度数分别导引：根据三角形的内角和定理可知三个角的度数分别 是是20、60和和100，所以这个三角形是钝角三，所以这个三角形是钝角三 角形，外心在三角形的外部角形，外心在三角形的外部.B 要确定三角形的外心的位置，我们首先要确定三要确定三角形的外心的位置，我们首先要确定三角形的形状，由三角形的内角和等于角形的形状，由三角形的内角和等于180，可以求得，可以求得C100，故此三角形的外心在三角形的外部，故此三角形的外心在三角形的外部结结
31、 论论知知2 2讲讲 知知2 2练练1 如图所示，如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，分别表示三个村庄，AB1 000米，米，BC600米，米，AC800米，为了丰富群众生米，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在的位置应在()A边边AB的中点处的中点处 B边边BC的中点处的中点处 C边边AC的中点处的中点处 DC的平分线与边的平分线与边AB的交点处的交点处 知知2 2练练2 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()A三点确定一个圆三点确定一个圆 B圆有且只
32、有一个内接三角形圆有且只有一个内接三角形 C三角形的外心到三角形三边的距离相等三角形的外心到三角形三边的距离相等 D三角形有且只有一个外接圆三角形有且只有一个外接圆3 下列说法中，真命题的个数是下列说法中，真命题的个数是()任何三角形有且只有一个外接圆；任何三角形有且只有一个外接圆；任何圆有且只任何圆有且只 有一个内接三角形；三角形的外心不一定在三角形有一个内接三角形；三角形的外心不一定在三角形 内；三角形的外心到三角形三边的距离相等；经内；三角形的外心到三角形三边的距离相等；经 过三点确定一个圆过三点确定一个圆 A1 B2 C3 D4 1.三角形外心的性质：三角形的外心是它的外接圆的圆三角形
33、外心的性质：三角形的外心是它的外接圆的圆 心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形 各个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形的各个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形的 内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形 的外心在三角形的外部的外心在三角形的外部2.三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形 却有无数个，这些三角形的外心重合却有无数个，这些三角形的外心重合第二十八章第二十八章 圆圆28.3 28.3 圆心角和圆周角圆心角和圆周角
34、第第1 1课时课时 圆心角、弦、圆心角、弦、弧的关系弧的关系1课堂讲解课堂讲解u圆心角及它所对弧的度数关系圆心角及它所对弧的度数关系u圆心角定理圆心角定理u圆心角定理的推论圆心角定理的推论2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点圆心角及它所对弧的度数的关系圆心角及它所对弧的度数的关系知知1 1导导 顶点在圆心的角叫做圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle).如图，如图，(1)和和(4)所示的所示的AOB为为 O的圆心角，的圆心角，(2)和和(3)所示的所示的APB不是不是 O的圆心角的圆心角.圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧圆
35、的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧.相等的两个相等的两个圆心角所对应的圆心角所对应的 两条弦之间以及两条弧之间具有怎样的关两条弦之间以及两条弧之间具有怎样的关系呢？系呢？定义：顶点在圆心的角叫做圆心角一个角是圆心角，定义：顶点在圆心的角叫做圆心角一个角是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征必须具备顶点在圆心这一特征要点精析：圆心角的条件：要点精析：圆心角的条件：(1)顶点在圆心；顶点在圆心；(2)两边和圆相交两边和圆相交 拓展：拓展：(1)1的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做1的弧这样，的弧这样，n的圆心角所对的弧就是的圆心角所对的弧就是n的弧的弧(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致
36、圆心角的度数与它所对的弧的度数是一致(或相等或相等)的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数注意这的，即圆心角的度数等于它所对弧的度数注意这 里仅指度数相等里仅指度数相等.知知1 1讲讲 中考中考菏泽菏泽如图，在如图，在RtABC中，中，A25，以点以点C为圆心，为圆心，BC为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点D，交，交AC于点于点E，则，则 的度数为的度数为_知知1 1讲讲例例1导引：连接导引：连接CD，A25，B65，CBCD，BCDB65，BCD50，的度数为的度数为5050 BDBD结结 论论知知1 1讲讲 根据弧的度数与该弧所对的圆心角的度数相根据弧的度数与该弧所对的圆心角的度数相等，在
37、求弧的度数时，一般将其转化为求该弧所等，在求弧的度数时，一般将其转化为求该弧所对的圆心角的度数，体现了数学中的转化思想对的圆心角的度数，体现了数学中的转化思想1中考中考丽水丽水如图，圆心角如图，圆心角AOB20，将，将2 旋转旋转n得到得到 ，则，则 的度数是的度数是_.知知1 1练练 ABCDCD2下面四个图形中的角，是圆心角的是下面四个图形中的角，是圆心角的是()3如图，如图，AB为为 O的弦，的弦，A40，则所对的圆，则所对的圆4 心角等于心角等于()5 A40 6 B80 7 C1008 D120知知1 1练练 2知识点知识点圆心角定理圆心角定理知知2 2导导 如图如图，在，在 O中，
38、中，AOB=COD.(1)猜想弦猜想弦AB，CD以及以及 之间各具有怎样之间各具有怎样 的关系的关系.(2)请用图形的旋转说明你的猜想请用图形的旋转说明你的猜想.事实上，设事实上，设AOC=，将，将AOB顺时针旋转顺时针旋转，则则AO与与CO重合，重合，BO与与DO重合重合.从而从而AB与与CD重合，重合，重合重合.所以所以AB=CD，,AB CD.=AB CD结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相 等，所对的弧也相等等，所对的弧也相等.ABCD与与知知2 2讲讲例例2 如图所示，如图所示，AB和和CD是两条直径，弦是两条直径，弦CEAB，求证
39、：弧求证：弧AD=弧弧AE.分析：要证明弧分析：要证明弧AD=弧弧AE，需证明，需证明 AOD=AOE，由已知，由已知CE AB，所以，所以AOD=OCE，AOE=OEC，又因为，又因为OC=OE，可以知道可以知道OCE=OEC.证明：连接证明：连接OE.OC=OE，OCE=OEC.CEAB，AOD=OCE，AOE=OEC，AOD=AOE，弧弧AD=弧弧AE.本题的解题关键是灵活运用圆心角、弧、弦本题的解题关键是灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，推出角相等，有角相等得弧相等间的关系，推出角相等，有角相等得弧相等.总总 结结知知2 2讲讲1 如图，在如图，在 O中，中，.求证：求证：AC=BD.知
40、知2 2练练 ABCD 知知2 2练练2 下列命题是真命题的是下列命题是真命题的是()A相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等 B相等的圆心角所对的弦相等相等的圆心角所对的弦相等 C在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D顶点在圆内的角是圆心角顶点在圆内的角是圆心角如图，如图，AB是是 O的直径，若的直径，若COADOB 60，则与线段，则与线段AO长度相等的线段有长度相等的线段有()A3条条 B4条条 C5条条 D6条条 3知识点知识点圆心角定理的推论圆心角定理的推论知知3 3导导 在同圆或等圆中，若两条弧在同圆或等圆中，若两条弧(或弦或弦)相等，则
41、它们相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦所对的圆心角是否相等，所对的弦(或弧或弧)是否相等？是否相等？试说明理由试说明理由.在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等相等，其他两组量就分别相等.结结 论论知知3 3导导知知3 3讲讲例例3 已知：如图，已知：如图，AB为为 O的直径，点的直径，点M，N分别在分别在AO，BO上，上，CMAB，DNAB，分别交，分别交 O于点于点C，D，且，且 求证：求证：CM=DN.证明：如图，连接证明：如
42、图，连接OC，OD.在在RtCMO和和RtDNO中，中，CMAB，DNAB，CMO=DNO=90.又又OC=OD，MOC=NOD，RtCMO RtDNO.CM=DN.ADBC,ADBCACCDCDBD即即.ACBDAOCBOD .在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就能推出另两组量相等线段有和差，弧也有相等，就能推出另两组量相等线段有和差，弧也有和差和差总总 结结知知3 3讲讲 知知3 3练练1 如图所示，在如图所示，在 O中，中，则在，则在ABCD；ACBD；AOCBOD；中，中，正确的个数是正确的个数是()A1 B2 C3 D4 ABC
43、D ACBD 知知3 3练练2在在 O中，中，M，N分别为弦分别为弦AB，CD的中点，如果的中点，如果3 OMON，那么在结论：，那么在结论：ABCD；4 AOBCOD中，正确的是中，正确的是()5 A B C D6【中考中考兰州兰州】如图，在如图，在 O中，点中，点C是是 的中点，的中点，7 A50，则，则BOC()8 A409 B4510 C5011 D60 ;ABCD AB 同一圆中证明两弦相等的同一圆中证明两弦相等的“四种方法四种方法”：(1)若两弦位于两个不同的三角形中，证明两弦所若两弦位于两个不同的三角形中，证明两弦所在的三角形全等在的三角形全等 (2)若两弦位于同一个三角形中，根
44、据等角对等边若两弦位于同一个三角形中，根据等角对等边证明两弦相等证明两弦相等 (3)在同一圆中证明两弦所对的弧相等在同一圆中证明两弦所对的弧相等(同一类弧同一类弧)(4)证明两弦所对的圆心角相等证明两弦所对的圆心角相等第二十八章第二十八章 圆圆28.3 28.3 圆心角和圆周角圆心角和圆周角第第2 2课时课时 圆周角与圆心角、圆周角与圆心角、弧的关系弧的关系1课堂讲解课堂讲解u圆周角的定义圆周角的定义u圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系u同弧或等弧与所对圆周角的关系同弧或等弧与所对圆周角的关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点圆周角的定义
45、圆周角的定义知知1 1导导 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.如图，图如图，图(1)中中APB是圆周角，图是圆周角，图(2)和图和图(3)中中 AQB不是圆周角，图不是圆周角，图(4)中的中的ASB是圆周角，而是圆周角，而ASC不是圆周角不是圆周角.如图所示，如图所示，BAC是圆周角的是是圆周角的是()知知1 1讲讲例例1导引：顶点导引：顶点A必须在圆上，故排除必须在圆上，故排除D；AB,AC 必须分必须分 别与圆相交，别与圆相交，B，C都不符合，故排除都不符合，故排除B，C.A 总总 结结知知1 1讲讲 本题运用定义法和排除法，判断一个角是不本
46、题运用定义法和排除法，判断一个角是不是圆周角，必须抓住圆周角定义中的两个特征：是圆周角，必须抓住圆周角定义中的两个特征：(1)角的顶点在圆周上；角的顶点在圆周上；(2)角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交1 【中考中考柳州柳州】下列四个图中，下列四个图中，x为圆周角的为圆周角的是是()知知1 1练练 2知识点知识点圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系知知2 2导导 如图，如图，AOB和和APB分别是分别是 所对所对的圆心角和圆周角的圆心角和圆周角.(1)当点当点P在圆上按顺时针方向移动时在圆上按顺时针方向移动时(点点P与点与点B不重合不重合)，按照圆心，按照圆心O和圆周角的位置和圆周角的位
47、置关系，可以分为几种不同的情形？说出你的判断并画关系，可以分为几种不同的情形？说出你的判断并画出相应的图形出相应的图形.(2)当圆心当圆心O落在落在APB的一条边上时，的一条边上时，AOB与与APB具有怎样的大小关系？说明理由具有怎样的大小关系？说明理由.(3)当圆心当圆心O在的内部和外部时，在的内部和外部时，(2)中的结论还成中的结论还成立吗？和同学进行交流立吗？和同学进行交流.AB知知2 2导导 通过探究，我们发现，当圆心通过探究，我们发现，当圆心O在在ARB的一的一条边上时，如图条边上时，如图，APB=AOB.OP=OA，OPA=OAP.又又AOB=OP A+OAP，AOB=2APB，即
48、，即APB=AOB.1212知知2 2导导 对于圆心对于圆心O在在APB内部的情形，如图，连接内部的情形，如图，连接PO并延长交并延长交 O于点于点D，PD过圆心过圆心O，APD=AOD，BPD=BOD.APD+BPD=AOD+BOD.APB=AOB.1212121212知知2 2导导如图，对于圆心如图，对于圆心O在圆周角在圆周角APB外部外部的情形，证明的情形，证明APB=AOB.12做一做做一做结论结论圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半.知知2 2讲讲例例2 如图如图，点，点 A，B，C 均在均在 O 上，上，OAB=46.求求AC
49、B的度数的度数.解：如图，连接解：如图，连接OB.OA=OB，OAB=OBA.OAB=46，AOB=1802OAB =180246=88.ACB=AOB=44.12 在同一个圆中，根据相等的弧所对的圆心角相等在同一个圆中，根据相等的弧所对的圆心角相等和圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一和圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可知，若两条弧相等，则其中一条弧所对的圆心角半可知，若两条弧相等，则其中一条弧所对的圆心角等于另一条弧所对的圆周角的等于另一条弧所对的圆周角的2倍倍总总 结结知知2 2讲讲 1 中考中考河池河池如图，在如图，在 O中，直径中，直径ABCD，垂，垂足为足为E
50、，BOD48，则，则BAC的大小是的大小是()A60 B48 C30 D24知知2 2练练 知知2 2练练2【中考中考张家界张家界】将量角器按如图所示的方式放置将量角器按如图所示的方式放置3 在三角形纸板上，使顶点在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点在半圆上，点A，B的读数分别为的读数分别为100，150，则，则ACB_4【中考中考绍兴绍兴】如图，如图，BD是是 O的直径，点的直径，点A，C在在5 O上，上，AOB60，则，则BDC的的度数是度数是()6 A60 B45 C35 D30 （第（第2题）题）（第（第3题）题）ABBC 3知识点知识点同弧或等弧与所对圆周角的关系同弧或等弧与所对圆周
