1、第三章力矩与平面力偶系第三章力矩与平面力偶系 第一节力对点的矩与合力矩定理第一节力对点的矩与合力矩定理 第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩 第三节平面力偶系的合成与平衡条件第三节平面力偶系的合成与平衡条件第一节力对点的矩与合力矩定理第一节力对点的矩与合力矩定理 一、力对点的矩一、力对点的矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑轮、绞盘等机力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑轮、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为例来加以说明。如例来加以说明。如图图3-1所示，在扳手的所示，在扳手的A点施加一力点施加一力F，将，将
2、使扳手和螺母一起绕螺栓中心口转动，也就是说，力有使物使扳手和螺母一起绕螺栓中心口转动，也就是说，力有使物体体(扳手扳手)产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力不仅与力F的大小有关，而且还与的大小有关，而且还与O点到力作用线的垂直距离点到力作用线的垂直距离d有关。当有关。当d保持不变时，力保持不变时，力F越大，转动越快。当力越大，转动越快。当力F不变时，不变时，d值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用方向就会发生改变，因此，我们用F与与d的乘积
3、和适当的正负的乘积和适当的正负号来表示力号来表示力F使物体绕。点转动的效应。使物体绕。点转动的效应。一般情况下，物体受力一般情况下，物体受力F作用作用(图图3-2)，力，力F使物体绕平面上使物体绕平面上任意点。的转动效果，可用力任意点。的转动效果，可用力F对对O点的力矩来度量。所以，点的力矩来度量。所以，可将力对点的矩定义为可将力对点的矩定义为:下一页 返回第一节力对点的矩与合力矩定理第一节力对点的矩与合力矩定理力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量，力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量，已是一个代已是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂之积，其正负可作如下数量，其绝对值等于力的大小与力臂
4、之积，其正负可作如下规定规定:力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。力力F对对O点的矩点的矩(简称力矩简称力矩)，以符号，以符号mo(F)表示，即表示，即:(3-1)O点称为转动中心，简称矩心。矩心点称为转动中心，简称矩心。矩心O到力作用线的垂直距到力作用线的垂直距离离d称为力臂。称为力臂。由图由图3-2可以看出，力对点的矩还可以用以矩心为顶点，以可以看出，力对点的矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即:(3-2)在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，
5、力矩可视在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。为代数量。显然，力矩在下列两种情况下等于零显然，力矩在下列两种情况下等于零:力等于零力等于零;力臂力臂等于零，就是力的作用线通过矩心。等于零，就是力的作用线通过矩心。面积OABFmo 2)(dFFmo)(上一页 下一页 返回第一节力对点的矩与合力矩定理第一节力对点的矩与合力矩定理力矩的单位是牛顿力矩的单位是牛顿米米(N.m)或千牛顿或千牛顿米米(kN.m)。二、合力矩定理图二、合力矩定理图 由前面的内容可知，平面汇交力系的作用效应可以用它的由前面的内容可知，平面汇交力系的作用效应可以用它的合力来代替。作用效应包括移动效应和转
6、动效应，而力使物合力来代替。作用效应包括移动效应和转动效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对点的矩来度量，由此可得体绕某点的转动效应由力对点的矩来度量，由此可得:平面汇平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于该力系中的各分力对交力系的合力对平面内任一点的矩等于该力系中的各分力对同一点之矩的代数和。这就是平面汇交力系的合力矩定理。同一点之矩的代数和。这就是平面汇交力系的合力矩定理。证明证明:设物体设物体O点作用有平面汇交力系点作用有平面汇交力系F1、F2，其合力为，其合力为F。在力系的作用面内取一点在力系的作用面内取一点A，点，点A到到F1、F2、合力、合力F三力作用三力作用线的垂直距离分别为线
7、的垂直距离分别为d1、d2和和d，以，以OA为为x轴，建立直角坐标轴，建立直角坐标系，如系，如图图3-3所示，所示，F1、F2、合力、合力F与与x轴的夹角分别轴的夹角分别为为 ，则，则:、212222211111sin)(sin)(sin)(OAFdFFmOAFdFFmOAFFdFmAAA上一页 下一页 返回第一节力对点的矩与合力矩定理第一节力对点的矩与合力矩定理因因即即等式两边同时乘以长度等式两边同时乘以长度OA得得:所以有所以有上式表明上式表明:汇交于某点的两个分力对汇交于某点的两个分力对A点的力矩的代数和等于点的力矩的代数和等于其合力对其合力对A点的力矩。上述证明可推广到点的力矩。上述证
8、明可推广到n个力组成的平面汇个力组成的平面汇交力系，即交力系，即:(3-3)上式就是平面汇交力系的合力矩定理的表达式。利用合力矩上式就是平面汇交力系的合力矩定理的表达式。利用合力矩定理可以简化力矩的计算。定理可以简化力矩的计算。yyyFFF212211sinsinsinFFF)()()(21FmFmFmAAA2211sinsinsinOAFOAFOAF)()()()()(21iAnAAAAFmFmFmFmFm上一页 返回第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩的概念一、力偶与力偶矩的概念在日常生活和生产实践中，经常会碰到大小相等、方向相反在日常生活和生产实践中，经常会碰到大小相等、
9、方向相反而不共线的两个平行力所组成的力系而不共线的两个平行力所组成的力系;这种力系只能使物体产这种力系只能使物体产生转动。例如，用两个手指拧开瓶盖，如生转动。例如，用两个手指拧开瓶盖，如图图3-4(a)所示，用所示，用两只手转动汽车方向盘，如两只手转动汽车方向盘，如图图3-4(b)所示，钳工用丝锥攻螺所示，钳工用丝锥攻螺纹，如纹，如图图3-4(c)所示。所示。在力学中，把这种大小相等、方向相反、作用线不重合的在力学中，把这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶，用符号两个平行力称为力偶，用符号(F,F)表示。力偶的两个力作表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离用线间的垂直距离d称
10、为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。称为力偶作用面。通过以上的例子可知力偶使物体转动的效应由两个因素来决通过以上的例子可知力偶使物体转动的效应由两个因素来决定定:(1)力偶和力偶臂的乘积力偶和力偶臂的乘积F.d;(2)力偶在作用面内的转向。力偶中一个力的大小和力偶臂力偶在作用面内的转向。力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积的乘积F.d，加上表示转向的正负号称为力偶矩，通常用，加上表示转向的正负号称为力偶矩，通常用m (F,F)表示。简写为表示。简写为m。下一页 返回第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩(3-4)式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定式
11、中正负号表示力偶矩的转向。通常规定:若力偶使物体作若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位和力矩的单位相同，是牛顿力偶矩的单位和力矩的单位相同，是牛顿米米(N.m)或千牛或千牛顿顿米米(kN.m)。作用在某平面的力偶使物体转动的效应是由力。作用在某平面的力偶使物体转动的效应是由力偶矩来衡量的。偶矩来衡量的。二、力偶的基本性质二、力偶的基本性质 力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，包括以下儿个方力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，包括以下儿个方面。面。(1)力偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力力偶无合力，力偶不能与一个
12、力等效，也不能用一个力来代替。来代替。由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，如果求它们在任一轴如果求它们在任一轴x上的投影，如上的投影，如图图3-5所示。设力与轴所示。设力与轴x的的夹角为夹角为 ，由，由图图3-5可得可得:(3-5)dFm0coscosFFX上一页 下一页 返回第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩这说明，力偶在任一轴上的投影等于零。这说明，力偶在任一轴上的投影等于零。由于力偶在轴上的投影为零，所以力偶对物体只能产生转由于力偶在轴上的投影为零，所以力偶对物体只能产生转动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转
13、动动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转动两种效应。两种效应。力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。平衡，力偶只能与力偶平衡。(2)力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。无关。如如图图3-6所示，一力偶所示，一力偶(F,F)作用于某物体上，其力偶臂为作用于某物体上，其力偶臂为d,在力偶的作用面内取任一点在力偶的作用面内取任
14、一点O为矩心，用为矩心，用d1表示表示O点到点到F的的垂直距离，力偶垂直距离，力偶(F,F)对对O点的力矩为点的力矩为:可见力偶对作用面内任一点的矩与矩心可见力偶对作用面内任一点的矩与矩心O的位置无关。的位置无关。mdFdFddFFmFmFFmOOO11)()()(),(上一页 下一页 返回第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩(3)力偶具有等效性。作用于物体某平面的力偶使物体转动的力偶具有等效性。作用于物体某平面的力偶使物体转动的效应是由力偶矩来衡量的。所以，在保持力偶矩的大小和力效应是由力偶矩来衡量的。所以，在保持力偶矩的大小和力偶的转向不变的情况下，可将力偶在其作用面内任意移动、偶的转向不
15、变的情况下，可将力偶在其作用面内任意移动、转动，也可改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长度，并不转动，也可改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长度，并不改变力偶的作用效果。作用在同一平面内的两个力偶，如果改变力偶的作用效果。作用在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩的大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶为等效力偶矩的大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶为等效力偶。如力偶。如图图3-7所示。所示。由力偶的等效定理可引出下面两个推论。由力偶的等效定理可引出下面两个推论。推论一推论一:力偶可以在其作用面内任意移动，不会改变它对刚体力偶可以在其作用面内任意移动，不会改变它对刚体的作用效果，即力偶对刚体的作用
16、效果与力偶在作用面内的的作用效果，即力偶对刚体的作用效果与力偶在作用面内的位置无关。位置无关。例如例如图图3-8(a)所示作用在方向盘上的两个力偶所示作用在方向盘上的两个力偶(P1,P1)与与(P2,P2)，只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，即使作用，只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，即使作用位置不同，转动效应也是相同的。位置不同，转动效应也是相同的。上一页 下一页 返回第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩推论二推论二:在保持力偶矩不变的情况下，可以随意地同时改变力在保持力偶矩不变的情况下，可以随意地同时改变力偶中力的大小以及力偶臂的长短，而不会影响力偶对刚体的偶中力的大小以及力偶臂的长短
17、，而不会影响力偶对刚体的作用效果。作用效果。如图如图3-8(b)所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的(F1,F1)或或(F2,F2)，虽然，虽然d1和和d2不相等，但只要调整力的大小，使力偶不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩矩F1d1=F2d2，则两力偶的作用效果是相同的。，则两力偶的作用效果是相同的。由以上分析可知，力偶对于物体的转动效应完全取决于力由以上分析可知，力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面，即力偶的三要素。偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面，即力偶的三要素。上一页 下一页 返回第二节力偶与力偶矩第二节力偶与力偶矩按照以
18、上推论，只要给定力偶矩的大小及符号，力偶的作用按照以上推论，只要给定力偶矩的大小及符号，力偶的作用效果就确定了，至于力偶中力的大小、力臂的长短如何，都效果就确定了，至于力偶中力的大小、力臂的长短如何，都是无关紧要的。根据以上推论就可以在保持力偶矩不变的条是无关紧要的。根据以上推论就可以在保持力偶矩不变的条件下，把一个力偶等效地变换成另一个力偶。例如在件下，把一个力偶等效地变换成另一个力偶。例如在图图3-9中中所进行的变换就是等效变换。所进行的变换就是等效变换。因此，可以这样表示力偶因此，可以这样表示力偶:用一圆弧箭头表示力偶的转向，箭用一圆弧箭头表示力偶的转向，箭头旁边标出力偶矩的值即可。头旁
19、边标出力偶矩的值即可。上述的力偶等效变换是进行力偶系简化的手段。上述的力偶等效变换是进行力偶系简化的手段。上一页 返回第三节平面力偶系的合成与平衡条第三节平面力偶系的合成与平衡条件件 一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成 作用在物体上同一平面内的两个或两个以上的力偶，称为作用在物体上同一平面内的两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。平面力偶系。平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行。平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行。设有两个力偶作用在物体的同一平面内，其力偶矩分别为设有两个力偶作用在物体的同一平面内，其力偶矩分别为m1、m2，如，如图图3-10所示。根据力偶的等效性，将两个力偶等
20、所示。根据力偶的等效性，将两个力偶等效变换，使它们成为具有相同力偶臂效变换，使它们成为具有相同力偶臂d的两个力偶的两个力偶(F1,F1)、(F2,F2)，则，则m1=F1d,m2=-F2d。将变换后的各力偶在作用面。将变换后的各力偶在作用面内移动和转动，使它们的力偶臂都与内移动和转动，使它们的力偶臂都与A召重合。设召重合。设F1F2，则，则F和和F的大小为的大小为:F=F=F1-F2 F和和F组成一个合力偶组成一个合力偶(F,F)，这个力偶与原来的两个力偶，这个力偶与原来的两个力偶等效，称为原平面力偶系的合力偶，其力偶矩为等效，称为原平面力偶系的合力偶，其力偶矩为:212121)(mmdFdF
21、dFFdFM下一页 返回第三节平面力偶系的合成与平衡条第三节平面力偶系的合成与平衡条件件上述结论可以推广到任意多个力偶合成的情形，即上述结论可以推广到任意多个力偶合成的情形，即:平面力偶平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。可写为矩的代数和。可写为:(3-6)二、平面力偶系的平衡条件二、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系可合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，平面力偶系可合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中各力偶对物体的转动效应互相抵消，物体处于平则力偶系中各力偶对物体的转动效应互相抵消，物体处于平衡状态衡状态;反之，若物体在平面力偶系的作用下处于平衡状态，反之，若物体在平面力偶系的作用下处于平衡状态，则原平面力偶系的合力偶矩必为零。所以，平面力偶系平衡则原平面力偶系的合力偶矩必为零。所以，平面力偶系平衡的充分必要条件是的充分必要条件是:力偶系中各力偶矩的代数和为零，即力偶系中各力偶矩的代数和为零，即:(3-7)上式为平面力偶系的平衡方程。上式为平面力偶系的平衡方程。mmmmMn21mM上一页 返回图图3-1返回图图3-2返回图图3-3返回图图3-4返回图图3-5返回图图3-6返回图图3-7返回图图3-8返回图图3-9返回图图3-10返回
