1、德阳市高中 2017 级“二诊”考试 数 学 试 卷(文史类) 说明: 1. 本试卷分第卷和第卷,第卷 12 页,第卷 34 页. 考生作答时,须将答案答在答题 卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后,将答题卡交回. 2. 本试卷满分 150 分,120 分钟完卷. 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知复数 z = 2 1 + i,其中 i 为虚数单位,则 z= A. 5B. 3C. 2D. 2 2. 函数y =4 - x2的定义域为A,集合B = xlog2
2、(x + 1) 1, 则 A B = A. x1 5 C. (x,y) ,y + 2 x - 1 3D. (x,y) ,y + 2 x - 1 5 9. 平行四边形 ABCD 中,已知 AB = 4,AD = 3,点 E、F 分别满足AE = 2ED ,DF =FC ,且 AF BE =- 6,则向量AD 在AB 上的投影为 A. 2B. - 2C. 3 2 D. - 3 2 10. 已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A = 60,b = 3,AD 为 BC 边上的中线,若 AD = 7 2 ,则 ABC 的面积为 A. 25 3 4 B. 15 3 4 C. 1
3、5 4 D. 35 3 4 11. 已知实数 a 0,a 1,函数 f(x) = ax,x 0) 的离心率为 5 5 ,右焦点为抛物线 y2= 4x 的焦点 F. (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2)O 为坐标原点,过 O 作两条射线,分别交椭圆于 M、N 两点,若 OM、ON 斜率之积为 - 4 5 , 求证:MON 的面积为定值. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x) = eax- x(a R,e 为自然对数的底数). (1) 若 f(x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2) 若 f(x) 有两个零点 x1、x2,且 x1 e2. 请考生在 22、23 二题中任
4、选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多做,则按所做第 一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 已知点 A 为圆 C:(x - 1) 2 + y 2 = 1 上的动点,O 为坐标原点,过 P(0,4) 作直线 OA 的垂线 (当 A、O 重合时,直线 OA 约定为 y 轴),垂足为 M,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系. (1) 求点 M 的轨迹的极坐标方程; (2) 直线l的极坐标方程为sin + 3 () = 4,连接OA并延长交l于B,求 OA OB 的最大值.
5、23. 选修 4 - 5:不等式选讲(本题满分 10 分) 已知函数 f(x) =x + 1. (1) 求不等式 f(x) 4 -2x - 3的解集; (2) 若正数 m、n 满足 m + 2n = mn,求证:f(m) + f( - 2n) 8. )页4共(页4第 )类史文(诊二学数 德阳市高中 2017 级“二诊”试题 数学参考答案与评分标准 (文史类) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号123456789101112 答案DACACABDCBDD 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. - 5 14. 2 5 15. 1 4 16. (12, +). 三、解答题
6、 17. 解:(1) 21a1 + 2 2a 2 + 2 3a 3 + + 2nan= (n - 1)2 n+1 + 2 当 n = 1 时,21a1 = 2 a1 = 1 2 分 当 n2时,21a1 + 2 2a 2 + 2 3a 3 + + 2n-1an-1= (n - 2)2 n + 2 - 得:2nan= n2n an = n 适合 a1= 1,故 an = n. 6 分 (2) 1 anan+2 = 1 n(n + 2) = 1 2 1 n - 1 n + 2 () 8 分 Sn= 1 2 1 1 - 1 3 () + 1 2 - 1 4 () + 1 3 - 1 5 () + +
7、 1 n - 1 n + 2 () = 1 2 1 + 1 2 - 1 n + 1 - 1 n + 2 () = n(3n + 5) 4(n + 1)(n + 2). 12 分 18. (1) 证明:设 AB 中点为 N,连接 MN、DN ABD 为等边三角形 DN AB DC = CB,DCB = 120 )页7共( 页1第案答)类史文(学数级7102高 CBD = 30 ABC = 60 + 30 = 90 即 CB AB DN AB DN BC BC 平面 PBC,DN 平面 PBC DN 平面 PBC2 分 MN 为 PAB 的中位线 MN PB PB 平面 PBC,MN 平面 PBC
8、 MN 平面 PBC4 分 MN、DN 为平面 DMN 内二相交直线 平面 DMN 平面 PBC DM 平面 DMN DM 平面 PBC.6 分 (2) 解:设 BD 中点为 O,连接 AO、CO ABD 为等边三角形,BCD 是等腰三角形,且顶角 BCD = 120 AO BD,CO BD A、C、O 共线 PC BD,BD CO,PC CO = C,PC,CO 平面 PCO BD 平面 PCO.7 分 PO 平面 PCO BD PO 平面 PBD 平面 ABCD,交线为 BD,PO 平面 PBD PO 平面 ABCD.8 分 AB = 2 3 AO = 3 PD PB,O 为 BD 中点
9、PO = 1 2 BD =3 10 分 VP-BDM= 1 2 VP-ABD= 1 2 1 3 SABDPO = 1 6 1 2 AO BD PO = 3 2 . 12 分 19. 解:(1) 由(0. 01 + 0. 015 + a + 0. 03 + 0. 01) 10 = 1 得: a = 0. 035.4 分 (2) 当 x 210 时,Y = 210 5 = 10505 分 )页7共( 页2第案答)类史文(学数级7102高 当 x m2 x1 + x 2 =- 10km 4 + 5k2,x 1x2 = 5m2- 20 4 + 5k2 6 分 )页7共( 页3第案答)类史文(学数级71
10、02高 kOMkON=- 4 5 y1 x1 y 2 x2 =- 4 5 5y1y2+ 4x1x2 = 0 7 分 即(5k2+ 4)x1x2+ 5mk(x1 + x 2) + 5m 2 = 0 (5k2+ 4)5m 2 - 20 4 + 5k2 + 5mk- 10km 4 + 5k2 () + 5m2= 0 整理得:2m2= 5k2 + 4 9 分 代入 得:m 0 MN=1 + k2(x1 + x 2) 2 - 4x1x2 =1 + k2- 10km 4 + 5k2 () 2 - 4 5m2- 20 4 + 5k2 () = 4 51 + k 2 5k2+ 4 - m2 4 + 5k2 1
11、0 分 O 到 MN 的距离 d = m 1 + k2 11 分 SMON= 1 2 MNd = 2 5m5k2+ 4 - m2 4 + 5k2 = 2 5m2m2 - m 2 2m2 =5 综上:SMON=5 为定值.12 分 21. 解:(1) f(x) 有两个零点 关于 x 的方程 eax= x 有两个相异实根 由 eax 0,知 x 0 f(x) 有两个零点 a = lnx x 有两个相异实根.2 分 令 G(x) = lnx x ,则 G(x) = 1 - lnx x2 由 G(x) 0 得:0 0 当 x + 时,G(x) 0 4 分 f(x) 有两个零点时,实数 a 的取值范围为
12、 0, 1 e () .5 分 (2) 由题意得 e ax1 = x 1 e ax2 = x 2 x1 0,x2 0 ax1= lnx1 ax2= lnx2 a(x1 + x 2) = lnx1 + lnx2 a(x2 - x 1) = lnx2 - lnx1 x1 e2,只需证 lnx1+ lnx2 2 由 知:lnx1+ lnx2= a(x1 + x 2 ) = lnx2- lnx1 x2 - x 1 (x1 + x 2 ) = x2 x1 + 1 x2 x1 - 1 ln x2 x1 0 1 只需证 t + 1 t - 1 ()lnt 2 7 分 t 1 t + 1 t - 1 0 只需
13、证:lnt 2(t - 1) t + 1 8 分 令 F(t) = lnt - 2(t - 1) t + 1 (t 1)9 分 F(t) = 1 t - 4 (t + 1) 2 = (t - 1) 2 t(t + 1) 2 010 分 F(t) 在(1, +) 递增 )页7共( 页5第案答)类史文(学数级7102高 F(t) F(1) = 0 lnt 2(t - 1) t + 1 11 分 即 lnx1+ lnx2 2,即 x1x2 e2.12 分 22. 解:(1) 设 M 的极坐标为(,),在 OPM 中,有 = 4sin 点 M 的轨迹的极坐标方程为 = 4sin.4 分 (2) 设射线
14、 OA: = , - 2 , 2 () ,圆 C 的极坐标方程为 = 2cos 由 = 2cos = 得:OA = 1 = 2cos 5 分 由 sin + 3 () = 4 = 得:OB = 2 = 4 sin + 3 () 6 分 OA OB = 2cos 4 sin + 3 () = 1 2 cossin + 3 () = 1 2 cos sincos 3 + cossin 3 () = 1 4 sincos + 3 4 cos2 = 1 8 sin2 + 3 8 (cos2 + 1) = 1 4 sin 2 + 3 () + 3 8 8 分 - 2 , 2 () - 2 3 0,m + 2n = mn m + 2n = 1 2 (m2n) 1 2 (m + 2n) 2 4 m + 2n 87 分 当且仅当 m = 2n m + 2n = mn ,即 m = 4 n = 2 时取等号 f(m) + f( - 2n) =m + 1+- 2n + 1 m + 2n 89 分 当且仅当 - 2n + 1 0 即 n 1 2 时取等号 f(m) + f( - 2n) 8.10 分 )页7共( 页7第案答)类史文(学数级7102高
