1、 初中数学勾股定理与分类讨论思想在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理勾股定理a ab bc ca a2 2+b+b2 2c c2 2典例精解类型一：直角边、斜边不明求长度例例1 1：如果三条线段的长分别为：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,3cm,xcm,5cm,这三条线段这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么恰好能组成一个直角三角形，那么x x等于等于_._.解解:(1):(1)当以当以3cm,xcm3cm,xcm为直角边，为直角边，5cm5cm为斜边时，为斜边时，可得可得5 52 23 32 2+x+x2
2、 2，(2)(2)当以当以3cm,5cm3cm,5cm为直角边，为直角边，xcmxcm为斜边时，为斜边时，可得可得3 32 2+5+52 2x x2 2，解得解得x x4 4；解得解得x x ；4 4或或变 式 题已知一个直角三角形的两边长为已知一个直角三角形的两边长为6cm6cm和和8cm8cm，则这个直角三，则这个直角三角形的周长为角形的周长为_._.(1)(1)当当6cm,8cm6cm,8cm两边为直角边时，两边为直角边时，可得可得x x2 26 62 2+8+82 2，(2)(2)当当6cm,xcm6cm,xcm为直角边，为直角边，8cm8cm为斜边时，为斜边时，可得可得6 62 2+
3、x+x2 28 82 2，解得解得x x10,10,解得解得x x ,24cm24cm或或(14+)cm(14+)cm解解:设第三边长为设第三边长为xcmxcm，则三角形周长为则三角形周长为6+8+106+8+102424；则三角形周长为则三角形周长为6+8+6+8+14+.14+.典例精解类型二：动点位置不明求长度例例2 2：在：在RtRtABCABC中，中，A=90A=90，有一个锐角为，有一个锐角为6060，BC=6BC=6，若点若点P P在直线在直线ACAC上（不与上（不与A A、C C重合），且重合），且ABP=30ABP=30，则，则CPCP的长为的长为_._.62 34 3或或解
4、解:(1):(1)如图如图1 1，当，当C=60C=60，ABC=30ABC=30，与，与ABP=30ABP=30矛盾；矛盾；PACB图1(2)(2)如图如图2 2，当，当C=60C=60，ABC=30ABC=30，ABP=30ABP=30，CBP=60CBP=60，PBCPBC是等边三角形，是等边三角形，CP=BC=6CP=BC=6；图2PCAB(3)(3)如图如图3 3，当，当ABC=60ABC=60，C=30C=30，ABP=30ABP=30，CBP=60CBP=60-3030=30=30，PC=PBPC=PB，BC=6BC=6，AB=3AB=3，PC=PB=PC=PB=；222 3PA
5、AB图3CPAB(4)(4)如图如图4 4，当，当ABC=60ABC=60，C=30C=30，ABP=30ABP=30，CBP=60CBP=60+3030=90=90，PC=PC=；224 3BCPBCPAB图3典例精解类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度例例3 3：在等腰三角形：在等腰三角形ABCABC中，已知其中两边长为中，已知其中两边长为6cm6cm和和8cm8cm，则等腰三角形则等腰三角形ABCABC中高的长为：中高的长为：_cm._cm.解解:(1):(1)当当6cm6cm为腰为腰,8cm,8cm为底时，如图为底时，如图1 1所示，所示，可得可得6 62 24 42 2+AD+AD2
6、 2，(2)(2)当以当以8cm8cm为腰，为腰，6cm6cm为底时，如图为底时，如图2 2所示，所示，可得可得8 82 23 32 2+AD+AD2 2，解得解得ADAD ；解得解得ADAD ；或或变 式 题在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，已知其中两边长为中，已知其中两边长为4cm4cm和和6cm6cm，ADAD为为ABCABC底边上的高，则底边上的高，则ADCADC的周长为的周长为_cm._cm.解解:(1):(1)当当4cm4cm为腰为腰,6cm,6cm为底时，如图为底时，如图1 1所示，所示，可得可得4 42 23 32 2+AD+AD2 2，(2)(2)当以当以6cm6cm为
7、腰，为腰，4cm4cm为底时，如图为底时，如图2 2所示，所示，可得可得6 62 22 22 2+AD+AD2 2，解得解得ADAD ；解得解得ADAD ；或或则则ADCADC周长周长4+3+4+3+7+7+；则则ADCADC周长周长6+2+6+2+10+10+；典例精解类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度例例4 4：在：在ABCABC中，中，ABAB15cm15cm，ACAC13cm13cm，高，高ADAD12cm12cm，则则BCBC_._.解解:(1):(1)当当ADAD在在ABCABC内部时，内部时，如图如图1 1所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD
8、2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,B BC CD DA A图图1 1计算可得，计算可得，BDBD9 9，CDCD5,5,可得可得BCBCBD+BD+CDCD9+59+514cm;14cm;典例精解A AB BC CD D图图2 2例例4 4：在：在ABCABC中，中，ABAB15cm15cm，ACAC13cm13cm，高，高ADAD12cm12cm，则则BCBC_._.解解:(2):(2)当当ADAD在在ABCABC外部时，外部时，如图如图2 2所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,计算可得，计
9、算可得，BDBD9 9，CDCD5,5,可得可得BCBCBD-BD-CDCD9-59-54cm;4cm;类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度14cm14cm或或4cm4cm变 式 题ABCABC中，中，ABAB10cm10cm，ACAC17cm17cm，BCBC边上的高线边上的高线ADAD8cm8cm，求求ABCABC的的周长周长.B BC CD DA A图图1 1解解:(1):(1)当当ADAD在在ABCABC内部时，内部时，如图如图1 1所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,计算可得，计算可得，BDB
10、D6 6，CDCD15,15,可得可得BCBCBD+BD+CDCD6+156+1521cm;21cm;则则ABCABC的周长的周长AB+AC+BCAB+AC+BC10+17+2110+17+2148cm;48cm;变 式 题ABCABC中，中，ABAB10cm10cm，ACAC17cm17cm，BCBC边上的高线边上的高线ADAD8cm8cm，求求ABCABC的周长？的周长？解解:(2):(2)当当ADAD在在ABCABC外部时，外部时，如图如图2 2所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,计算可得，计算可得，BDBD6 6，CDCD15,15,可得可得BCBCCD-BCD-BD D15-615-69cm;9cm;则则ABCABC的周长的周长AB+AC+BCAB+AC+BC10+17+910+17+936cm;36cm;A AB BC CD D图图2 2课堂小结勾股定理与分类讨论思想勾股定理与分类讨论思想直角边、斜边不明求长度直角边、斜边不明求长度动点位置不明求长度动点位置不明求长度腰不明，与勾股定理结合求长度腰不明，与勾股定理结合求长度三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度
