1、第2828讲概率考点一考点二考点三考点四考点一考点一事件的分类事件的分类 考点一考点二考点三考点四考点二考点二列举法求等可能事件的概率列举法求等可能事件的概率(高频)1.概率一般地,表示一个随机事件A发生可能性大小的数,称为这个事件发生的概率,记为P(A).2.公式一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且这些结果发生的可能性相等,其中使事件A发生的结果有m(mn)种,那么P(事件A的概率)=.3.当事件中包含两个因素时,可用列表法列举所有的结果;当事件中涉及两个或两个以上因素时,采用树状图法列举所有的结果.考点一考点二考点三考点四考点三考点三利用频率估计概率利用频率估计概率在大量重复试
2、验中,事件A出现的频率稳定在一个常数 附近,我们可以估计事件A发生的概率约为 .考点一考点二考点三考点四考点四考点四概率的应用概率的应用对于游戏规则是否公平问题,需要计算游戏双方获胜的概率,通过比较概率的大小进行判断,若概率相等,则游戏规则公平,否则就不公平.命题点1命题点2命题点3命题点1事件的判定1.(2011安徽,5,4分)从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列推断正确的是(B )A.事件M是不可能事件B.事件M是必然事件命题点4命题点1命题点2命题点3命题点2概率的计算2.(2016安徽,21,12分)一袋中装有形状大小都相同的四个小
3、球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.命题点4命题点1命题点2命题点3解(1)用列表分析所有可能的结果:所得的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88,共16个数;6分(2)算术平方根大于4且小于7的共6个,分别为17,18,41,44,47,48,则所求概率 .12分命题点4
4、命题点1命题点2命题点33.(2014安徽,21,12分)如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1,(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.命题点4命题点1命题点2命题点3解(1)共有三种等可能的情况,(2)画树状图如右:所有等可能的情况有9种,其中这三根绳子能连接成一根长绳的情况有6种,8分命题点4命题点1命题点2命题点34.(2013安徽,8,4分)如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯
5、泡同时发光的概率为(B )命题点4命题点1命题点2命题点3解析 画树状图得:共有6种等可能的结果,能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K1,K3与K3,K1,能让两盏灯泡同时发光的概率为 .故选B.命题点4命题点1命题点2命题点35.(2012安徽,8,4分)给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率为(B )解析 第1个打电话给甲、乙、丙(因为次序是任意的)的可能性是相同的,所以第一个打电话给甲的概率是 .故选B.命题点4命题点1命题点2命题点3命题点3概率的应用6.(2015安徽,19,10分)A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给
6、B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.命题点4命题点1命题点2命题点3解(1)画树状图如右:两次传球后,一共有4种等可能的情况出现,而出现球恰在B手中的情况有1种,所以P(球恰在B手中)=;5分(2)画树状图如右:三次传球后,一共有8种等可能的情况出现,而出现球恰在A手中的情况有2种,所以P(球恰在A手中)=.10分命题点4命题点1命题点2命题点3命题点4命题点命题点4 概率与统计综合概率与统计综合7.(2017安徽,21,12分)甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射
7、靶10次,每次射靶的成绩如下:甲:9,10,8,5,7,8,10,8,8,7;乙:5,7,8,7,8,9,7,9,10,10;丙:7,6,8,5,4,7,6,3,9,5.(1)根据以上数据完成下表:(2)依据表中数据分析,哪位运动员的成绩最稳定,并简要说明理由;(3)比赛时三人依次出场,顺序由抽签方式决定,求甲、乙相邻出场的概率.命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)中位数:6,方差:2;4分(2)因为运动员甲的方差最小,故甲的成绩最稳定;8分(3)出场顺序有如下6种:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,其中甲乙相邻出场的有:甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲四种,考法1考法2考法
8、3考法4考法考法1事件的判断事件的判断例1(2017甘肃天水)下列说法正确的是()A.不可能事件发生的概率为0B.随机事件发生的概率为C.概率很小的事件不可能发生D.投掷一枚质地均匀的硬币1 000次正面朝上的次数一定是500次答案:A解析:A选项,不可能事件也就是一定条件下不可能发生的事件,其发生概率为0;B选项,随机事件发生的概率在0到1之间,其值不一定为某个固定值;C选项概率很小的事件,只要概率不为0就有可能发生;D选项投掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为0.5,指进行大量投掷实验,正面朝上的频率会比较接近于0.5,但并不是说投掷1 000次正面朝上的次数一定等于500次,故A正确,
9、B,C,D错误.考法1考法2考法3考法4对应训练1.(2016湖北武汉)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球,其中4个黑球、2个白球,从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是(A )A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球C.摸出的是2个白球、1个黑球D.摸出的是2个黑球、1个白球解析 袋子中白球的个数只有2个,所以“摸出的是3个白球”是不可能事件.故选A.考法1考法2考法3考法42.(2016山东德州)下列说法正确的是(C )A.为了审核书稿中的错别字,选择抽样调查B.为了了解春节联欢晚会的收视率,选择全面调查C.“射击运动员射击一次,命中靶心”是随机事件D.“经过有交
10、通信号的路口遇到红灯”是必然事件考法1考法2考法3考法43.(2017辽宁沈阳)下列事件中,是必然事件的是(A)A.将油滴入水中,油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯C.如果a2=b2,那么a=bD.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上解析:根据“必然事件的定义:在一定的条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生,这样的事件叫必然发生的事件,简称必然事件”,A选项是一客观事实,一定发生,答案选A.考法1考法2考法3考法4考法考法2概率的计算概率的计算例2(2017江苏盐城)为了弘扬祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加.其中,有一道必答题是:从如
11、图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该题时,对第2个字是选“重”还是选“穷”难以抉择.若随机选择其中一个,则小明回答正确的概率是;(2)小丽回答该题时,对第2个字是选“重”还是选“穷”、第4个字是选“富”还是选“复”都难以抉择.若分别随机选择,请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.考法1考法2考法3考法4(2)用表格列出所有可能出现的结果:用树状图列出所有可能出现的结果:由表格(树状图)知,一共有4种可能出现的结果,它们是等可能的,其中正确回答只有1种.考法1考法2考法3考法4方法总结本题小明回答正确的概率是“一步概率”,直接求解;小丽回答
12、正确的概率是“两步概率”,先利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果,然后再求解.对于三步或三步以上的概率计算,考虑树状图法.考法1考法2考法3考法4对应训练4.(2017湖南株洲)三名初三学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就座,恰好有两名同学没有坐回原位的概率是(D)解析:利用列举法可知,三人全部坐法有6种,其中恰好有两名同学没坐回原位的情况有3种,因此恰好有两名同学没有坐回原位的概率是 .故选D.考法1考法2考法3考法45.(2017湖南娄底)在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 .解析:闭合开关S1,S2,灯泡L1发光;闭合开关S1,S
13、3,灯泡L1不发光;闭合开关S3,S2,灯泡L1不发光.所以随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 .考法1考法2考法3考法46.(2017江西)端午节那天,小贤回家看到桌上有一盘粽子,其中有豆沙粽、肉粽各1个,蜜枣粽2个,这些粽子除馅外无其他差别.(1)小贤随机地从盘中取出一个粽子,取出的是肉粽的概率是多少?(2)小贤随机地从盘中取出两个粽子,试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率.考法1考法2考法3考法4考法考法3用频率估计概率用频率估计概率例3(2016北京)林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在
14、移植过程中的一组统计数据:估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为.考法1考法2考法3考法4答案 0.881解析 用频率估计概率,试验的次数越多,估计越准确,所以移植幼树棵数越多,估算成活的概率越准确,因此0.881可作为估计值.方法总结本题考查了用频率估计概率.注意:只有在大量的重复试验中,某事件发生的频率逐渐稳定在某个数字附近,才把这个数字作为该事件的概率的近似值.考法1考法2考法3考法4对应训练7.(2017辽宁锦州)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的球共有20个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小明通过大量摸球实验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在10%和30%,则口袋中
15、白色球的个数很可能是12个.解析:白色球的个数是:20(1-10%-30%)=2060%=12.考法1考法2考法3考法48.(2017贵州黔东南州)黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客,某果农今年的蓝莓得到了丰收,为了了解自家蓝莓的质量,随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测,发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7,该果农今年的蓝莓总产量约为800 kg,由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是560 kg.解析:由题意可得,该果农今年的“优质蓝莓”产量约是:8000.7=560 kg.考法1考法2考法3考法49.(2017内蒙古呼和浩特)我国魏
16、晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率.随着时代发展,现在人们依据频率估计概率这一原理,常用随机模拟的方法对圆周率进行估计.用计算机随机产生m个有序数对(x,y)(x,y是实数,且0 x1,0y1),它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部.如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个,则据此可估计的值为 .(用含m,n的式子表示)解析:根据题意,点的分布如图所示:考法1考法2考法3考法4考法考法4概率的应用概率的应用例4(2017湖南怀化)“端午节”是我国流传了上千年的传统节日,全国各地举行了丰富多彩的纪念活动,为了继承传统,减缓学生考前的心理压力,某班学生组
17、织了一次拔河比赛,裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置,规则是:石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头,手势相同则再决胜负.(1)用列表或画树状图法,列出甲、乙两队手势可能出现的情况;(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗?请说明理由.考法1考法2考法3考法4解:(1)用列表法得出所有可能的结果如下:用树状图得出所有可能的结果如下:考法1考法2考法3考法4(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的.P(甲获胜)=P(乙获胜),裁判员这种做法对甲、乙双方是公平的.方法总结本题考查了用列表或画树状图的方法求事件概率.值得注意的是:在列表或画树状图时,要注意是“放回”还是“不放回”问题,
18、不放回时列表要去掉对角线.通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件的结果数目m,然后利用概率公式求事件的概率.考法1考法2考法3考法4对应训练10.(2017山东青岛)小华和小军做摸球游戏:A袋装有编号为1,2,3的三个小球,B袋装有编号为4,5,6的三个小球,两袋中的所有小球除编号外都相同.从两个袋子中分别随机摸出一个小球,若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数,则小华胜,否则小军胜,这个游戏对双方公平吗?请说明理由.考法1考法2考法3考法411.(2017江苏扬州)车辆经过润扬大桥收费站时,4个收费通道A,B,C,D中,可随机选择其中的一个通过.(1)一辆车经过此收费站时,选择A通道通过的概率是;(2)求两辆车经过此收费站时,选择不同通道通过的概率.解:(1)0.25.
