1、提分微课(四)角平分线问题第四单元三角形当题中出现角平分线或易得到角平分线(有对称或等腰三角形)时,首先考虑利用角平分线定理求解.若另有平行或垂直等条件,则可考虑构造等腰三角形或对称图形求解.类型一角平分线+边的垂线 双垂直如图T4-1,遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时,一般过该点作另一边的垂线,构造双垂直求解.图T4-11.如图T4-2,在RtABC中,C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3,则点D到AB的距离DE是()A.5B.4C.3D.2图T4-2C2.如图T4-3,在ABC中,AB=10,AC=8,BAC=45,AD是BAC的平分线,DEAB于点E,则DE的长是.图
2、T4-33.如图T4-4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(1)填空:点B的坐标为;AC的长度为.(2)若CD平分ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图T4-4解:(1)(12,9);153.如图T4-4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(2)若CD平分ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图T4-4类型二角平分线+角平分线的垂线 等腰三角形如图T4-5,当题目中有垂直于角平分线的线段PA时,通过延长AP交ON于点
3、B,构造等腰三角形AOB求解.图T4-54.如图T4-6,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC,BDAD,若BD=2,则AE=.图T4-6答案 4解析延长BD,AC交于点F,如图.AD平分BAC,ADBD,ABF=AFB,BD=FD,BF=2BD.ADBD,ACB=90,AEC=BED,EAC=FBC.又AC=BC,ACE BCF,AE=BF=2BD=4.5.如图T4-7,ABC中,BAC=90,SABC=10,AD平分BAC,交BC于点D,BEAD交AD延长线于点E,连接CE,则ACE的面积为.答案 5图T4-7图T4-8类型三见角平分线作对称 全等三角形如图T4-9,若P是MO
4、N平分线上一点,点A是边OM上任意一点,可考虑在边ON上截取OB=OA,连接PB,构造OPB OPA,进而将一些线段和角进行等量代换,这是常用的解题技巧之一.图T4-97.如图T4-10,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点且不与A,B重合,连接DP交对角线AC于E,连接BE.求证:APD=CBE.图T4-10证明:四边形ABCD是菱形,BC=CD,CA平分BCD.BCE=DCE.CE=CE,BCE DCE.CBE=CDE.又ABDC,APD=CDE.APD=CBE.8.如图T4-11,在ABC中,C=2B,AD平分BAC,求证:AB=AC+CD.图T4-11类型四角平分线+平行线 等腰三角
5、形当题中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形.一般地,角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在,可得第三个条件.如图T4-12,OP平分MON,PQON,则OPQ为等腰三角形.图T4-129.如图T4-13,ABCD,AD平分BAC,且C=80,则D的度数为()A.50B.60C.70D.100图T4-13A10.在ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD.若BD平分ABC,则下列结论错误的是()A.BC=2BEB.A=EDAC.BC=2ADD.BDACC11.如图T4-14,AC是正方形ABCD的对角线,DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=.图T4
6、-1412.在 ABCD中,AE平分BAD交边BC于点E,DF平分ADC交边BC于点F,若AD=11,EF=5,则AB=.答案 8或3解析如图,在 ABCD中,BCAD,ADF=CFD.DF平分ADC交BC于点F,ADF=CDF,CFD=CDF,CF=CD.同理可证AB=BE.AB=BE=CF=CD.EF=5,BC=AD=11,BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,AB=8.图如图,在 ABCD中,同可得AB=BE=CF=CD,EF=5,BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,AB=3.故答案为8或3.图13.如图T4-15,在ABC中,AD平分BAC,BDA
7、D,过D作DEAC,交AB于E,若AB=5,则DE=.图T4-1514.如图T4-16,在ABC中,CD平分ACB交AB于D,DEAC交BC于点E,DFBC交AC于点F.求证:四边形DECF是菱形.图T4-16证明:如图,DEAC,DFBC,四边形DECF为平行四边形,2=3.又CD平分ACB交AB于点D,1=2,1=3,DE=EC,四边形DECF为菱形.15.如图T4-17,在ABC中,ABAC,E为BC边的中点,AD为BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.图T4-17类型五角平分线+角平分线 三角形内心图T4-1816.如图T4-19所示,ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将ABC分为三个三角形,则SOAB SOBC SOAC=.图T4-192 3 417.如图T4-20所示,已知ABC的周长是18 cm,BO,CO分别平分ABC和ACB,ODBC于点D,若ABC的面积为45 cm2,则OD=;若BOC=110,则A=.图T4-2017.5 cm40图T4-21答案 C
