1、几 何 语 言文字叙述对边平行对边相等对角相等 AD=BC，AB=DC.四边形ABCD是平行四边形，A=C，B=D.四边形ABCD是平行四边形，ABCD一、平行四边形的性质要点梳理要点梳理对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD.四边形ABCD是平行四边形，ADBC ，ABDC.平行四边形是中心对称图形.几 何 语 言文字叙述两组对边相等一组对边平行且相等 四边形ABCD是平行四边形.AD=BC，AB=DC,四边形ABCD是平行四边形.AB=DC，ABDC,ABCD二、平行四边形的判定对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形.OA=OC，OB=OD,两组对边分别平行
2、（定义）四边形ABCD是平行四边形.ADBC ，ABDC,平行线之间的距离处处相等1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三、三角形的中位线用符号语言表示DE是ABC的中位线DEBC,四、多边形的内角和与外角和多边形的内角和等于（n-2)180 多边形的外角和等于 360 正多边形每个内角的度数是正多边形每个外角的度数是(2)180,nn360.n考点一 平行四边形的性质考点讲练考点讲练例1 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A1=2 BBAD=BCD CAB=CD DAC=
3、BC【解析】A.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，1=2，故A正确；B.四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD，故B正确；C.四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，故C正确；D方法总结 主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等.针对训练1.如图，已知 ABCD中，AE平分BAD，CF平分BCD，分别交BC、AD于E、F求证：AF=EC证明：四边形ABCD是平行四边形，B=D，AD=BC，AB=CD，BAD=BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等）AE平分BAD，CF平分BCD，EAB=BAD，FCD=BCD，EAB=FCD，在ABE和CDF中 BD
4、ABCD EABFCD ABECDF，BE=DFAD=BC AF=EC1212例2 如图，在 ABCD中，ODA=90，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）A4cm B5cm C6cm D8cm【解析】四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cmOA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，ODA=90，AD=4cm121222OA-OD A方法总结 主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.【解析】在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，AO=CO=12cm，BO=19c
5、m，AD=BC=28cm，BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=51(cm)针对训练2.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则BOC的周长是（）A45cm B59cm C62cm D90cm B考点二 平行四边形的判定例3 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）AOA=OC，OB=OD BBAD=BCD，ABCD CADBC，AD=BC DAB=CD，AO=CO D 平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角
6、分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.方法总结针对训练3.如图，点D、C在BF上，ACDE，A=E，BD=CF，（1）求证：AB=EF（1）证明：ACDE，ACD=EDF，BD=CF，BD+DC=CF+DC，即BC=DF，又A=E，ABCEFD（AAS），AB=EF；（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，理由如下：由（1）知ABCEFD，B=F，ABEF，又AB=EF，四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）考点三 平行四边形性质和判定的
7、综合应用例4 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF求证：四边形AECF是平行四边形证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等）AFEC，BE=DF，AF=EC，四边形AECF是平行四边形 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.方法总结针对训练4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由证明：平行四边形AECF，OA=OC，OE
8、=OF，（平行四边形的对角线互相平分）E、F分别是BO、OD的中点，2OE=2OF，即OB=OC，OA=OC，四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)考点四 三角形的中位线例5 已知：AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证：.证明：过点D作DHBF,交AC于点H.AD是ABC的中线 D是BC的中点 CHHF CF E是AD的中点，EFDH AFFH.AF FCFCAF21ABCDEFH1212针对训练5.若三角形的三条中位线之比为 6:5:4,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为;解析:设三角形的三条中位线之长分别为
9、6x,5x,4x，则三角形的三条边长之长分别为12x,10 x,8x，依题意有 12x10 x8x60，解得 x2.所以，最长边12x24（cm）.24 cm考点五 多边形的内角和与外角和例6:已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.14解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180,解得 x=36.边数n=36036=10.6.一个正多边形的每一个内角都等于120，则其边数是 .6【解析】因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60.所以边数是6.归纳拓展 在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外
10、角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.针对训练平平 行行 四四 边边 形形性质性质对边平行且相等对边平行且相等对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补对角线互相平分对角线互相平分判别判别两组对边分别平行的两组对边分别平行的两组对边分别相等的两组对边分别相等的一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的对角线互相平分的对角线互相平分的四四 边边 形形平平 行行 四四 边边 形形课堂小结课堂小结三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.多边形的内角和与外角和内角和计算 公 式（n-2)180(n 3的整数）的整数）外 角 和多
11、边形的外角和等于360特别注意：与边数无关。正 多边 形内角=，外角=(2)180nn360n谢谢！导入新课讲授新课当堂练习课堂小结情境引入1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）学习目标学习目标法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.导入新课导入新课情景引入思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？问题1 三角形内角和是多少度？三角形内角和 是180.都是360.问题3 猜想任意四边
12、形的内角和是多少度？讲授新课讲授新课多边形的内角和一猜想：四边形ABCD的内角和是360.问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？猜想与证明方法1：如图，连接AC,四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为1802=360.ABCDABCDE方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：ABE,ADE,CDE,CBE.所以四边形ABCD内角和为：1804-(
13、AEB+AED+CED+CEB)=1804-360=360.ABCDEABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180 3 180=360.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：四边形的内角和为360.例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形ABCD中，A+C=180.A+B+C+D=(42)180=360，BD=360（AC）=360 180=180.ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
14、组对角互补.典例精析【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求证：DCF为直角三角形证明：在四边形ABCD中，A与C互补，ABC+ADC=180，BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90，BEDF，EBF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF为直角三角形运用了整体思想ACDEBABCDEF问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180 3=540.内角和为180 4=720.n 边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数0n-3 1
15、231234 n-2（n-2）1801180=1802180=360 3180=5404180=720由特殊到一般 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)180.例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）180=360+720，解得n=8，这个多边形的每个内角都相等，（8-2）180=1080，它每一个内角的度数为10808=135例3 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EA
16、B，BP平分ABC，求P的度数解析：根据五边形的内角和等于540，由C,D,E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求得P的度数可运用了整体思想解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-C-D-E=230.AP平分EAB,PAB EAB，同理可得ABP ABC，P+PAB+PBA=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB+ABC)=180 230=6512121212多边形的外角和二小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多
17、边形的外角.如图，A的外角是1.EBCD123 45A 多边形所有外角的和叫做这个多边形的外角和.概念学习如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123 45A互补5180=900EBCD123 45A五边形外角和=360=5个平角五边形内角和=5180(52)180结论：五边形的外角和等于360.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和n边形外角和n边形的外角和等于360.(n2)180=360=n个平角-n边
18、形内角和=n180 AnA2A3A4123 4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是(2)180,nn 360.n练一练：(1)若一个正多边形的内角是120,那么这是正_边形.(2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形.六正八 正多边 形边数内角34568n60 90 120(2)180nn练一练完成下面的表格：108 135 例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.它的内角和等于(n2)180，多
19、边形外角和等于360，(n2)180=2 360.解得 n=6.这个多边形的边数为6.例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x,外角为2x,根据题意得 7x+2x=180，解得 x=20.即每个内角是140，每个外角是40.360 40=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？解法二：设这个多边形的边数为n,根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.18027,3602n【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数解：设该正多边形的内角是x，外角是y，则得到一个方程组 解得而任何多
20、边形的外角和是360，则该正多边形的边数为360120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条60,180,yxxy60,120.xy例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数解：由题意得AB=AE,所以AEB=(180-A)=36，所以BED=AED-AEB=108-36=72.52180=1085AAED，12当堂练习当堂练习1.判断(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 ()2.一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的每一个内角等于_1203.如图
21、所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米1504.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800 B.540 C.720 D.810 D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（）A.360 B.540 C.720 D.900 C6.一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：180018010，原多边形边数为10212.一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，新多边形的边数可能是11，12，13，新多边形的内角和可能是1620，1800，1980.能力提升：如图，求1234567的度数.解：如图，3489，12345671289567五边形的内角和540.89课堂小结课堂小结多边形的内角和内角和计算 公 式(n-2)180(n 3的整数）外角和多边形的外角和等于360特别注意：与边数无关.正多边形内角=，外角=(2)180nn 360n谢谢！
