1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，点P在O的直径AB的延长线上，PC为O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交O于点E(1)如图1，求证：DAC=PAC；(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在O上，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3【解析】【分析】（1）连接OC，求出OCAD，求出OCPC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出
2、DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出FHO=EHO=45，根据矩形的性质得出EHDG，求出OM=AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tanMBO，tanP=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=k=5求出k=，根据勾股定理求出a，即可求出答案【详解】（1）证明：连接OC，PC为O的切线，OCPC，ADPC，OCAD，OCA=DAC，OC=OA，PAC=OCA，DAC=PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，FGAD，FGD+D=180，D=90，FGD=90，
3、AB为O的直径，BEA=90，BED=90，D=HGD=BED=90，四边形HGDE是矩形，DE=GH，DG=HE，GHE=90，HEF=FEA=BEA=45，HFE=90HEF=45，HEF=HFE，FH=EH，FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，EH=HF，OE=OF，HO=HO，FHOEHO，FHO=EHO=45，四边形GHED是矩形，EHDG，OMH=OCP=90，HOM=90OHM=9045=45，HOM=OHM，HM=MO，OMBE，BM=ME，OM=AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，HGC=GCM=GHE=90
4、，四边形GHMC是矩形，GC=HM=a，DC=DGGC=2a，DG=HE，GC=HM，ME=CD=2a，BM=2a，在RtBOM中，tanMBO=，EHDP，P=MBO，tanP=，设OC=k，则PC=2k，在RtPOC中，OP=k=5，解得：k=，OE=OC=，在RtOME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，a=1，HE=3a=3，在RtHFE中，HEF=45，EF=HE=3【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键2如图，在锐角ABC中，AC是最短边以AC为直径的O，交BC于D，过O作OEBC，交OD于E，连接AD、
5、AE、CE（1）求证：ACE=DCE；（2）若B=45，BAE=15，求EAO的度数；（3）若AC=4，求CF的长【答案】（1）证明见解析，（2）60；（3） 【解析】【分析】（1）易证OEC=OCE，OEC=ECD，从而可知OCE=ECD，即ACE=DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证AGC=B+BAG=60，由于OEBC，所以AEO=AGC=60，所以EAO=AEO=60；（3）易证，由于，所以=，由圆周角定理可知AEC=FDC=90，从而可证明CDFCEA，利用三角形相似的性质即可求出答案【详解】（1）OC=OE，OEC=OCEOEBC，OEC=ECD，OCE=ECD，即ACE=DC
6、E；（2）延长AE交BC于点GAGC是ABG的外角，AGC=B+BAG=60OEBC，AEO=AGC=60OA=OE，EAO=AEO=60（3）O是AC中点，=AC是直径，AEC=FDC=90ACE=FCD，CDFCEA，=，CF=CA=【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识3如图，AB为O的直径，点D为AB下方O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA（1）求证：ABD=2BDC；（2）过点C作CHAB于H，交AD于E，求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若OH=5，
7、AD=24，求线段DE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接AD，如图1，设BDC=，ADC=，根据圆周角定理得到CAB=BDC=，由AB为O直径，得到ADB=90，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到ACE=ADC，等量代换得到ACE=CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到COB=2CAB，等量代换得到COB=ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB=26，由相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）连接AD如图1，设BDC=，ADC=，则CAB=BDC=，点C为弧ABD中点，=，ADC
8、=DAC=，DAB=，AB为O直径，ADB=90，+=90，=90，ABD=90DAB=90（），ABD=2，ABD=2BDC；（2）CHAB，ACE+CAB=ADC+BDC=90，CAB=CDB，ACE=ADC，CAE=ADC，ACE=CAE，AE=CE；（3）如图2，连接OC，COB=2CAB，ABD=2BDC，BDC=CAB，COB=ABD，OHC=ADB=90，OCHABD，OH=5，BD=10，AB=26，AO=13，AH=18，AHEADB，即=，AE=，DE=【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键4如图在ABC中，
9、C=90，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t（s）（0t20） （1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S试求S关于t的函数表达式；以点C为圆心，t为半径作C，当C与GH所在的直线相切时，求此时S的值【答案】（1）t=2s或10s；（2）S=；100cm2【解析】试题
10、分析：（1）如图1中，当0t5时，由题意AE=EH=EF，即102t=3t，t=2；如图2中，当5t20时，AE=HE，2t10=10（2t10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0t2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2b、如图4中，当2t5时，重叠部分是五边形EFGMNc、如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMNd、如图6中，当10t20时，重叠部分是正方形EFGH分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问题试题解析：解：（1）如图1中，当0t5时，由题意得：AE=EH=EF，即102t=3t，t=2如图2中，当5t20时，AE=HE，2t1
11、0=10（2t10）+t，t=10综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上（2）如图3中，当0t2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2t5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2（5t10）2=t2+50t50如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20t）2（303t）2=t2+50t50如图6中，当10t20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20t）2=t240t+400综上所述：S=如图7中，当0t5时，t+3t=15，解得：t=，此时S=100cm2，当5t20时，t+20t=15，解得：t=10，此时S=100综上所述：当
12、C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题5已知O中，弦AB=AC，点P是BAC所对弧上一动点，连接PA，PB（1）如图，把ABP绕点A逆时针旋转到ACQ，连接PC，求证：ACP+ACQ=180；（2）如图，若BAC=60，试探究PA、PB、PC之间的关系（3）若BAC=120时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC
13、理由见解析；（3）若BAC=120时，（2）中的结论不成立， PA=PB+PC 【解析】试题分析：（1）如图，连接PC根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边PCE和全等三角形BECAPC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AGPC于点G利用全等三角形ABPAQP（SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到APC中来求即可试题解析：（1）如图，连接PCAC
14、Q是由ABP绕点A逆时针旋转得到的，ABP=ACQ由图知，点A、B、P、C四点共圆，ACP+ABP=180（圆内接四边形的对角互补），ACP+ACQ=180（等量代换）；（2）PA=PB+PC理由如下：如图，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE弦AB=弦AC，BAC=60，ABC是等边三角形（有一内角为60的等腰三角形是等边三角形）A、B、P、C四点共圆，BAC+BPC=180（圆内接四边形的对角互补），BPC+EPC=180，BAC=CPE=60，PE=PC，PCE是等边三角形，CE=PC，E=ECP=EPC=60；又BCE=60+BCP，ACP=60+BCP，BCE=ACP（等量
15、代换）,在BEC和APC中， ，BECAPC（SAS），BE=PA，PA=BE=PB+PC；（3）若BAC=120时，（2）中的结论不成立， PA=PB+PC理由如下：如图，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AGPC于点GBAC=120，BAC+BPC=180，BPC=60弦AB=弦AC，APB=APQ=30在ABP和AQP中， ，ABPAQP（SAS），AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的对应边相等），AQ=AC（等量代换）在等腰AQC中，QG=CG在RtAPG中，APG=30，则AP=2AG，PG=AG,PB+PC=PGQG+PG+CG=PGQG+PG+QG=2PG=2AG，PA
16、=2AG，即PA=PB+PC【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等.6已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2 =0的两根（k为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O的直径长为常数k；（3）求tanFPA的值【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tanFPA=2 .【解析】试题分析：（1）由PB切O于点B，根据弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，
17、可证得PBDPAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：O的直径长为常数k；（3）由A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tanFPB的值，则可得tanFPA的值试题解析：（1）证明：如图，PB切O于点B，PBD=A，PF平分APB，APE=BPD，PBDPAE，PB：PA=BD：AE，PABD=PBAE；（2）证明：如图，BED=A+EPA，BDE=PBD+
18、BPD又PBD=A，EPA=BPD，BED=BDEBE=BD线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），AE+BD=k，AE+BD=AE+BE=AB=k，即O直径为常数k（3）PB切O于B点，AB为直径PBA=90A=60PB=PAsin60=PA，又PABD=PBAE，BD=AE，线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）AEBD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在RtPBA中，PB=ABtan60=（2+）=3+2在RtPBE中，tanBPF=2，FPA=BPF，tanFPA=2【点睛】
19、此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用7如图1，等边ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作、，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为 ；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边DEF的顶点D重合，且ABDE，DE=2，将它沿等边DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的
20、面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与O的圆心O重合，O的半径为3，将它沿O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为 （请用含n的式子表示）【答案】（1）3；（2）27；（3）2n【解析】试题分析：（1）先求出的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出试题解析：解：（1）等边ABC的边长为3，ABC=ACB=BAC=60，=，线段MN的长为=3故答案为3；（2）如图1等边DE
21、F的边长为2，等边ABC的边长为3，S矩形AGHF=23=6，由题意知，ABDE，AGAF，BAG=120，S扇形BAG=3，图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6+3）=27；（3）如图2，连接BI并延长交AC于DI是ABC的重心也是内心，DAI=30，AD=AC=，OI=AI=，当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n2=2n故答案为2n点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出的弧长，解（2）的关键是判断出莱
22、洛三角形绕等边DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目8如图，是的直径，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接.（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求的长.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，CDF=DCF，由CDO=OCD，再证CDO +CDB=OCD+DCF=90，可得ODDF，结论成立.(2) 由OCF=90, BCF=30，得OCB=60，再证OCB为等边三角形，得COB=60，可得CFO=30，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形
23、OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接ODCF是O的切线OCF=90OCD+DCF=90直径AB弦CD CE=ED，即OF为CD的垂直平分线 CF=DFCDF=DCF OC=OD，CDO=OCDCDO +CDB=OCD+DCF=90ODDFDF是O的切线（2）解：连接ODOCF=90, BCF=30OCB=60OC=OBOCB为等边三角形，COB=60CFO=30FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2 在直角三角形OCE中，CEO=90COE=60CF CD=2 CF【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定
24、理，灵活运用含有30角的直角三角形性质，巧解直角三角形.9如图，已知ABC内接于O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F连接OC（1）若G=48，求ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：BAD=COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设AOB的面积为S1，ACF的面积为S2若tanCAF=，求的值 【答案】（1）48（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：ABE=AEB，再证明BCG=DAC，可得 ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O
25、作OGAB于G，证明COFOAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=x，代入面积公式可得结论【详解】（1）连接CD，AD是O的直径，ACD=90，ACB+BCD=90，ADCG，AFG=G+BAD=90，BAD=BCD，ACB=G=48；（2）AB=AE，ABE=AEB，ABC=G+BCG，AEB=ACB+DAC，由（1）得：G=ACB，BCG=DAC，AD是O的直径，ADPC，BAD=2DAC，COF=2DAC，BAD=COF；（3）过O作OGAB于G，设CF=x，tanCAF= ，AF=2x，OC=OA
26、，由（2）得：COF=OAG，OFC=AGO=90，COFOAG，OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2xa，RtCOF中，CO2=CF2+OF2，（2xa）2=x2+a2，a=x，OF=AG=x，OA=OB，OGAB，AB=2AG=x，【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出ACB+BCD=90；（2）根据外角的性质和圆的性质得：；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题10已知AB，CD都是的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E如图1，求证：；
27、如图2，过点A作交EC的延长线于点F，过点D作，垂足为点G，求证：；如图3，在的条件下，当时，在外取一点H，连接CH、DH分别交于点M、N，且，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若，求线段HM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由D+E=90，可得2D+2E=180，只要证明AOD=2D即可；（2）如图2中，作ORAF于R只要证明AORODG即可；（3）如图3中，连接BC、OM、ON、CN，作BTCL于T，作NKCH于K，设CH交DE于W解直角三角形分别求出KM，KH即可；【详解】证明：如图1中，与CE相切于点C，证明：如图2中，作于R，四边形OCFR是矩形，在和中，解：如图3中，连接BC、OM、ON、CN，作于T，作于K，设CH交DE于W设，则，为直径，负根已经舍弃，是等边三角形，在中，在中，在中，在中，【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.
