1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=
2、AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明EFMBPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值试题解析：（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，在ABP和QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，AB=BQ，又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，在BCH和
3、BQH中，BCHBQH（SAS），CH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值（3）解：如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，在EFM和BPA中，EFMBPA（AAS） EM=AP设AP=x在RtAPE中，（4-BE）2+x2=BE2解得BE=2+，CF=BE-EM=2+-x，BE+CF=-x+4=（x-2）2+3当x=2时，BE+CF取最小值，AP=2考点：几何变换综合题2已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AECF求
4、证：四边形AECF是菱形【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得ABCD，ABCD，ADFCDF，由“SAS”可证ADFCDF，可得AFCF，由ABECDF，可得AECF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形【详解】证明：四边形ABCD是菱形ABCD，ABCD，ADFCDF，ABCD，ADFCDF，DFDFADFCDF（SAS）AFCF，ABCD，AECFABECDF，AEFCFEAEBCFD，ABECDF，ABCDABECDF（AAS）AECF，且AECF四边形AECF是平行四边形又AFCF，四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四
5、边形，这是菱形判定的基本判定.3如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）；（2）AEC=105；（3）边BC的长为2或.【解析】试题分析：（1）过A作AHBC于H，得到四边形ADCH为矩形在BAH中，由勾股定理即可得出结论（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，得到AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET
6、=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，解ABH即可得到结论当CAE=90时，易知CDABCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论试题解析：解：（1）过A作AHBC于H由D=BCD=90，得四边形ADCH为矩形在BAH中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=， 则（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，
7、得BCE=30，则在ABH中，B=60，AHB=90，AB=2，得BH=1，于是BC=2当CAE=90时，易知CDABCA，又，则（舍负）易知ACEBC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出PBC(图1)（1）求证：图1中的 PBC是正三角形： （2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN求证：IH=IJ请求出NJ的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同请根据小明的发现
8、，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；12-6（3）3a4，a4【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）利用“HL”证RtIHMRtIJN即可得；IJ上取一点Q，使QI=QN，由RtIHMRtIJN知HIM=JIN=15，继而可得NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可（1）证明：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，
9、使AB与DC重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）证明：如图矩形AHIJH=J=90MNJ是等边三角形MI=NI在RtMHI和RtJNI中 RtMHIRtJNI（HL）HI=IJ在线段IJ上取点Q，使IQ=NQRtIHMRtIJN，HIM=JIN，HIJ=90、MIN=60，HIM=JIN=15，由QI=QN知JIN=QNI=15，NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=x，IJ=6cm，2x+x=6，x=12-6，即NJ=12-6（cm）（3）分三种情况：如图：设等边三角形的边长为b，则0b6，则
10、tan60=，a=，0b=；如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，a=sin60DE=，当DE与DA重合时，a=，a；如图DEF是等边三角形FDC=30DF=a点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大10已知点O是ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF（1）如图1，若ABC为等边三角形，求证：EFBC；EF=BC；（2）如图2，若ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结
11、论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系【答案】（1）见解析；（2）EFBC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AHBC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AHBC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形
12、的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AHBC，根据勾股定理得到AH=BC，即可试题解析：（1）连接AH，如图1，四边形OBFC是平行四边形，BH=HC=BC，OH=HF，ABC是等边三角形，AB=BC，AHBC，在RtABH中，AH2=AB2BH2，AH=BC，OA=AE，OH=HF，AH是OEF的中位线，AH=EF，AHEF，EFBC，BC=EF，EFBC，EF=BC；（2）EFBC仍然成立，EF=BC，如图2，四边形OBFC是平行四边形，BH=HC=BC，OH=HF，ABC是等腰三角形，AB=BC，AHBC，在RtABH中，AH2=AB2BH2=（BH）2BH2=BH2，AH=BH=BC，OA=AE，OH=HF，AH是OEF的中位线，AH=EF，AHEF，EFBC，BC=EF，EFBC，EF=BC；（3）如图3，四边形OBFC是平行四边形，BH=HC=BC，OH=HF，ABC是等腰三角形，AB=kBC，AHBC，在RtABH中，AH2=AB2BH2=（kBC）2（BC）2=（k2-）BC2，AH=BH=BC，OA=AE，OH=HF，AH是OEF的中位线，AH=EF，AHEF，EFBC，BC=EF，EF=BC考点：四边形综合题
