1、专题14 共顶点模型破解策略1等边三角形共顶点等边ABC与等边DCE，B、C、E三点共线连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则：（1）BCDACE；（2）AEBD；（3）AFBDFE60；（4）FC平分BFE；（5）BFAFFC，EFDFFC；（6）CGH为等边三角形证明 （1）由已知条件可得，则BCDACE（2）由（1）得AEBD；（3）由（1）得GAFGBC，而AGFBGC，所以DFEAFBACB60（4）方法一 如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N 由（1）知SACESBCD，即BDCMAECN，所以CMCN，故FC平分BFE方法
2、二 由CAFCBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以BFCBAC60同理可得CFECDE60所以FC平分BFE（5）如图2，作FCI60，交BD于点I，则CFI为等边三角形易证BCIACF，所以BIAF，IFCIFC从而BFBIIFAFCF同理可得EFDFFC（6）易证ACHBCG（ASA） 可得CGCH，而GCH60，所以CGH为等边三角形2等腰直角三角形共顶点等腰RtABC与等腰RtDCE中，ACBDCE90如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则：（1）BCDACE；（2）AEBD；（3）AEBD；（4）FC平分BFE；（5）AB2DE2AD2BE2（6）BFAFFC，E
3、FDFFC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GCAD、ICBE（反之亦然）；（8）SACDSBCE证明（1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”；（5）因为AEBD，由勾股定理可得AB2DE2（AF2BF2）（DF2EF2），AD2BE2（AF2DF2）（BF2EF2）所以AB2DE2AD2BE2（6）如图3，过点C作CKFC，交BD于点K，则CFK为等腰直角三角形易证BCKACF，所以BKAF从而BFBKKFAFFC，同理可得EFDFFC（7）如图4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GKGC，连结BK易证KBGCEG，BKECCD由题意可得ACDBC
4、ECBECEBBCE180，所以ACDCBECEBCBGGBKCBK可得ACDCBK（SAS）则CADBCK，所以ACHCAHACHBCK90，故GCAD如图5，CJBE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、N由已知可得AMCCJB；DNCCJE，所以AMDNCJ，故有AMIDNI，所以AIDI，即可证（8）在（7）中的证明过程中可得到SACDSBCE；也可以用下面的方法来证明如图6，过点D作DPAC于点P，过点E作EQBC，交BC延长线于点Q易证DPCEQC（AAS）所以DPEQ，故DPACEQBC，即SACDSBCE3等腰三角形共顶点等腰ACB与等腰DCE中，A
5、CBC，DCCE，且ACBDCE连结BD，AE交于点F，则：（1）BCDACE；（2）AEBD；（3）AFBACB；（4）FC平分BFE4相似三角形共顶点ACB与ECD中，ACBECD连结BD，AE交于点F，则：（1）BCDACE；（2）AFBACB证明（1）由已知可得所以ACEBCD（2）由（1）可得CAFCBF设AC与BD的交点为G，则AGFBGC，所以AFBACB例题讲解例1如图1，在ABC中，BC4，以线段AB为边作ABD，使得ADBD，连结DC，再以DC为边作CDE，使得DCDE，CDEADB（1）如图2，当CDE45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB
6、沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连结BF，AF若90，依题意补全图3，求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）解 （1）ADDE4（2）如图4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H 由“等腰直角三角形共顶点”可得ADEBDC（SAS） 所以AEBC，EGCEDC90 因为线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF 所以AEBCFE4，AEEF 所以AFEFAF8sin 如图5，连结AE交BC于点G 由“等腰直角三角形共顶点”可得FEBCAEAEFEGCEDC 过点E作EHAF于点H 则AEHAEF 所以AF2AH2AEsin8sin例2如图1，在ABC中，D、E
7、分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点顺时旋转一定角度，连结BD，CE，得到图2，然后将BD，CE分别延长至M、N，使DMBD，ENCE，连结AM，AN，MN，得到图3（1）若ABAC，请探究下列数量关系;在图2中，BD与CE的数量关系是；在图3中，猜想AM与AN的数量关系，MAN与BAC的数量关系，丙证明你的猜想：（2）若ABAC（K1），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM与AN的数量关系；MAN与BAC的数量关系 解 （1）BDCEAMAN，MANBAC 证明如下： 由“等腰三角形共顶点”可得CAEBAD（SAS） 所以CEBD，ACNABM 所以BMCN 从而ABMA
8、CN（SAS） 所以AMAN，BAMCAN 即MANBAC （2）AMkAN，MANBAC 证明如下： 由“相似三角形共顶点”可得CAEBAD， 所以，ACNABM 所以 从而ABMACN 所以AMkAN，BAMCAN 即MANBAC进阶训练1 在平行四边形ABCD中，ADBC，过点D作DEDF，且EDFABD，连结EF，EC，N、P分别为EC，BC的中点，连接诶NP（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探索线段NP与MN的数量关系及ABD与MNP满足的等量关系；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立？写出你确定的点M的位置，并证明（1
9、）中的结论解 （1）NPNM，ABDMNP180（2） M是线段EF的中点【提示】（1）证DPBC，DCEF，根据直角三角形斜边中线定理可得NPNMCE，ABDMNP2PDC2DCP180；或者连结BE，CF（如图），由“等腰三角形共顶点”可证得结论（2） 如图，连结BE，CF，取EF中点G 连结NG，由“等腰三角形共顶点”和中位线定理，即可得到点M与点G重合时（1）中结论仍成立2 如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，EAC90，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连结CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D2如图1，在AB
10、C中，ACB90，ACBC，EAC90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC15，ACM60，直线CM与AB交于G，BD ，其他条件不变，求线段AM的长解：（1）NDE90；（2）（1）中结论不变，证明略；（3） 【提示】（2）由“共顶点模型”可得ACMBCN，所以BNCAMC，从而得到MDNMCN
11、90 （3）由题意可得，BAE30，AMGAGM 75，而又（1）可得NDE90，所以AB2BD 如图，过点G作GHBC于点H，则CHGHBH，从而AGBG，所以AGAG，解得AMAG3 如图，ABC与DEF都是等腰三角形，AB，EF的中点均为O，且顶角ACBEDF，直线BF，CD交于点G，连结AG现将图中DEF绕点O旋转，请你确定AG取最小值和最大值时点G的位置 答案：以BC为直径作H，直线交于点G1，G2，则G1为AG取最小值时点G的位置，G2为AG取最大值时点G的位置 【提示】 如图，连结CO，DO，构建两个相似的“直角三角形共顶点”，从而得到BGCBOC90，从而点G在以BC为直径的圆上
