1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点（1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求PAB的面积 【答案】（1）解：当x=1时，a=x+4=3，点A的坐标为（1，3）将点A（1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=3，反比例函数的表达式为y= （2）解：当y=b+4=1时，b=3，点B的坐标为（3，1）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示点B的坐标为（3，1），点D的
2、坐标为（3，1）设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（1，3）、D（3，1）代入y=mx+n中， ，解得： ，直线AD的函数表达式为y=2x+5当y=2x+5=0时，x= ，点P的坐标为（ ，0）（3）解：SPAB=SABDSBDP= 22 2 = 【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表
3、达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合SPAB=SABDSBDP ， 即可得出结论2如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点（1）当k=1时，求A、B两点的坐标； （2）当k=2时，求AOB的面积； （3）当k=1时，OAB的面积记为S1 ， 当k=2时，OAB的面积记为S2 ， ，依此类推，当k=n时，OAB的面积记为Sn ， 若S1+S2+Sn= ，求n的值 【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解 得 ， ，A（1，2），B（2，1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k
4、和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解 得 ， ，A（1，3），B（3，1）设直线AB的解析式为：y=mx+n， ，直线AB的解析式为：y=x+2直线AB与y轴的交点（0，2），SAOB= 21+ 23=4；（3）解：当k=1时，S1= 1（1+2）= ，当k=2时，S2= 2（1+3）=4，当k=n时，Sn= n（1+n+1）= n2+n，S1+S2+Sn= ， （ +n2）+（1+2+3+n）= ，整理得： ，解得：n=6 【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三
5、角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3如图，点P（ +1， 1）在双曲线y= （x0）上（1）求k的值； （2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标 【答案】（1）解：点P（ ， ）在双曲线 上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DEOA于点E，过点C作CFOB于点F， 四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC，CBA=90，FBC+OBA=90，CFB=BOA=90，FCB+FBC=90，FBC=OAB，在CFB和AOB中， ，CFBAOB（AAS），同理可得：B
6、OAAEDCFB，CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1所以点C的坐标为：（1，2） 【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得CFBAOBBOAAEDCFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.4如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，2）. （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函
7、数值时自变量x的取值范围； （3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移 个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论. 【答案】 （1）解：设反比例函数的解析式为 （k0） A（m，2）在y=2x上，2=2m，解得m=1。A（1，2）。又点A在 上， ，解得k=2。，反比例函数的解析式为 （2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为1x0或x1。（3）解：四边形OABC是菱形。证明如下： A（1，2）， 。由题意知：CBOA且CB= ，CB=OA。四边形OABC是平行四边形。C（2，n）在 上， 。C（2，1）。 。OC=OA。平行四边形OABC是菱
8、形。【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为 （k0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CBOA且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC5如图，在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于点A（ ，6）和点B（-3， ），直线AB与 轴交于点C（1）求直线AB的表达式； （2）求 的值 【答案】（1）解：点A（ ，6）和点B（-3， ）在双曲线 ，m=1，n=-2，点A（1，6），点B（-3，-2），将点A、B代入直线 ，得 ，解
9、得 ，直线AB的表达式为： （2）解：分别过点A、B作AMy轴，BNy轴，垂足分别为点M、N，则AMOBNO90，AM=1，BN=3，AM/BN，ACMBCN， 【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论6如图，一次函数y=kx+b（k0）与反比例函数y= （m0）的图象有公共点A（1，a）、D（2，1）直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值； （3
10、）求ABC的面积 【答案】（1）解：反比例函数经过点D（2，1），把点D代入y= （m0），1= ，m=2，反比例函数的解析式为：y= ，点A（1，a）在反比例函数上，把A代入y= ，得到a= =2，A（1，2），一次函数经过A（1，2）、D（2，1），把A、D代入y=kx+b （k0），得到： ，解得： ，一次函数的解析式为：y=x+1（2）解：如图：当2x0或x1时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：过点A作AEx轴交x轴于点E，直线lx轴，N（3，0），设B（3，p），C（3，q），点B在一次函数上，p=3+1=4，点C在反比例函数上，q= ，SABC= BCEN= （4 ）（31
11、）= 【解析】【分析】由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AEx轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案7如图，已知直线 与x、y轴交于M、N，若将N向右平移 个单位后的N ， ， 恰好落在反比例函数 的图像上（1）求k的值； （2）点P为双曲线上的一个动点，过点P作直线PAx轴于A点，交NM延长线于F点，过P点作PBy轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为m用含有m的代数式表示点E
12、、F的坐标找出图中与EOM 相似的三角形，并说明理由 【答案】（1）解：当 时， ， ， .把 代入 得，（2）解：由（1）知 . .当 时， , .当 时， ， ，E(2 ， ). , ， , ， ， ， ,由一次函数解析式得OME=ONF=45 【解析】【分析】（1）当 x=0时，求出y=2 ， 得出N(0,2) ，由平移的性质得出N(3,2) .把 (3,2) 代入 y=得k=6.（2）由（1）可设P(m,) .当 x=m时，求出y=m+2 ,即F(m,2-m) ；当 y=时，求出x=2 ，即E(2 - ，).ON=2 , EM= ， OM=2 , NF= ，从而得出OMNF=EMON.
13、由一次函数解析式得OME=ONF=45；推出EOMOFN.8如图，P1、P2是反比例函数y= （k0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）若P1OA1与P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点 （1）求反比例函数的解析式 （2）求P2的坐标 根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值 【答案】（1）解：过点P1作P1Bx轴，垂足为B 点A1的坐标为（4，0），P1OA1为等腰直角三角形OB=2，P1B= OA1=2P1的坐标为（2，2）将P1的坐标代入反比例函数y= （k0），得k=22=4反比例
14、函数的解析式为 （2）过点P2作P2Cx轴，垂足为C P2A1A2为等腰直角三角形P2C=A1C设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a）将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得a= ，解得a1= ，a2= （舍去）P2的坐标为（ ， ）在第一象限内，当2x2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围
15、9如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA（1）四边形ABCD一定是_四边形；（直接填写结果） （2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1 ， k2之间的关系式；若不能，说明理由； （3）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）（x2x10）是函数y= 图象上的任意两点，a= ，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由 【答案】（1）平行（2）解：正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入
16、y=k1x得y= ，故A点的坐标为（ ， ）同理则B点坐标为（ ， ），又OA=OB， = ，两边平方得： +k1= +k2 ， 整理后得（k1k2）（k1k21）=0，k1k2 ， 所以k1k21=0，即k1k2=1；（3）解：P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）（x2x10）是函数y= 图象上的任意两点，y1= ，y2= ，a= = = ，ab= = = ，x2x10， 0，x1x20，（x1+x2）0， 0，ab0，ab 【解析】【解答】解：（1）直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，OA=OC，OB=OD，四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【
17、分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2 ， 整理后得（k1k2）（k1k21）=0，根据k1k2 ， 则k1k21=0，即可求得；（3）由P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）（x2x10）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到ab= = = 0，即可得到结果10如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点 （1）
18、求抛物线的解析式及A点坐标； （2）若BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； （3）若BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围_. 【答案】 （1）解：将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得， ，解得 ，所以抛物线的解析式为 ，令y=0，得 ，解得 ， ，A点的坐标为（1,0）（2）解：设D点横坐标为 ，则纵坐标为 ， 当BCD=90时，如下图所示，连接BC，过C点作CDBC与抛物线交于点D，过D作DEy轴与点E，由B、C坐标可知，OB=OC=4，OBC为等腰直角三角形，OCB=OBC=45，又BCD=90，ECD+OCB=90ECD=45，CDE为等
19、腰直角三角形，DE=CE=aOE=OC+CE=a+4由D、E纵坐标相等，可得 ，解得 ， ，当 时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.当 时，D点坐标为（6,10）；当CBD=90时，如下图所示，连接BC，过B点作BDBC与抛物线交于点D，过B作FGx轴，再过C作CFFG于F，过D作DGFG于G，COB=OBF=BFC=90，四边形OBFC为矩形，又OC=OB，四边形OBFC为正方形，CBF=45CBD=90，CBF+DBG=90，DBG=45，DBG为等腰直角三角形，DG=BGD点横坐标为a，DG=4-a，而BG= 解得 ， ，当 时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题
20、意，舍去.当 时，D点坐标为（2,-2）；综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).（3）3+ m 6或 3- m 2 【解析】【解答】解：（3）当BC为斜边构成RtBCD时，如下图所示，以BC中点O为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D， BC为圆O的直径，BDC=BDC=90， ，D到O的距离为圆O的半径 ，D点横坐标为m，纵坐标为 ，O点坐标为（2,2）， 即 化简得： 由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式 ，采用因式分解法进行降次解方程 或 或 ，解得 ， ， ， 当 时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；当 时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；
21、当 时，D点横坐标 ；当 时，D点横坐标为 ；结合（2）中BCD形成直角三角形的情况，可得BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+ m 6或 3- m 2.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论BCD=90和CBD=90的情况，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成RtBCD时，以BC中点O为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D，此时BCD和BCD就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.11如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
22、交于点 ，顶点为点 （1）求这条抛物线的解析式及直线 的解析式； （2） 段 上一动点（点 不与点 、 重合），过点 向 轴引垂线，垂足为 ，设 的长为 ，四边形 的面积为 求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围； （3）在线段 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）解：抛物线 与 轴交于 、 两点， ，解得： ，二次函数的解析式为 ， ， 设直线 的解析式为 ， 则有 ，解得： ，直线 的解析式为 （2）解： 轴， ， 点 的坐标为 ， ， ， ， 为线段 上一动点（点 不与点 、 重合）， 的取值范围是 （3）解：线段
23、上存在点 ， ， 使 为等腰三角形； ， ， ，当 时， ，解得 ， （舍去），此时 ，当 时， ，解得 ， （舍去），此时 ，当 时， 解得 ，此时 （1） ， ；（2） ， 的取值范围是 ；（3） 或 或 【解析】【分析】（1）将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标，再设直线 的解析式为 ， 代入M的值计算即可.（2）由已知 轴， ，可得点 的坐标为 ，再根据 即可求得t的值.（3）存在，根据等腰三角形的性质，分情况进行解答即可.12如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，点P是边AB上的一动点，连结DP. （1）若将DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A处，试求AP的长； （
24、2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将DAP与PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A，B处，若P，A，B三点恰好在同一直线上，且AB2，试求此时AP的长； （3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将DAP与PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长. 【答案】 （1）解:当点A落在对角线BD上时，设APPAx， 在RtADB中，AB4，AD3，BD 5，ABDA3，BA2，在RtBPA中，（4x）2x2+22 ， 解得x ，AP .当点A落在对角线AC上时，由翻折性质可知：PDAC，则有DAPABC， ，
25、AP . AP的长为 或 （2）解:如图3中，设APx，则PB4x， 根据折叠的性质可知：PAPAx，PBPB4x，AB2，4xx2，x1，PA1；如图4中，设APx，则PB4x，根据折叠的性质可知：PAPAx，PBPB4x，AB2，x（4x）2，x3，PA3；综上所述，PA的长为1或3（3）解:如图5中，作FHCD由H. 由翻折的性质可知；ADDF3.BGBF，G、F、D共线，设BGFGx，在RtGCD中，（x+3）242+（3x）2 ， 解得x ，DGDF+FG ，CGBCBG ，FHCG， ， ，FH ，DH ，CH4 ，在RtCFH中，CF 【解析】【分析】（1）分两种情形：当点A落在
26、对角线BD上时，设AP=PA=x，构建方程即可解决问题；当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图5中，作FHCD由H.想办法求出FH、CH即可解决问题13在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧） （1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4求抛物线的表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标； （3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1 ， y1）和N（x2 ， y2）
27、，若x12，x22，x1+x24，试判断y1与y2的大小，并说明理由 【答案】 （1）解：抛物线y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4 点A（-5，0），点B（-1，0）抛物线的表达式为y=-（x+5）（x+1）y=-x2-6x-5（2）解：如图1， 依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx抛物线的对称轴为直线x ，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）b0记平移后的抛物线顶点为P，点P的坐标（ ， ），OCP是等腰直角三角形， = b=2点P的坐标（1，1）（3）解：如图2， 当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n抛物线的对称轴为直线x=2点M（x1 ， y1）
28、和N（x2 ， y2）在抛物线上，且x12，x22，点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧x1+x24，2-x1x2-2，点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，y1y2 【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论14如图，直线y=x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB （1）求k和b的值； （2）直接
29、写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使SPAC= SAOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=x+b和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x4或0x1（3）解：过A作ANx轴，过B作BMx轴， 由（1）知，b=5，k=4，直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或x=1，B（4，1）， ， ， ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），SPAC= OPCD+ OPAE= OP（CD+AE
30、）=|t|=3，解得：t=3，t=3，P（0，3）或P（0，3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AMx轴，过B作BNx轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论15如图，已知A是双曲线y= （k0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移 个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，
31、交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式； （2）求k的值 【答案】（1）解：OA在第一象限的角平分线上，直线OA的解析式为y=x，将OA向上平移 个单位后，N（0， ），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0， ）代入，可得b= ，直线MN的解析式为y=x+ （2）解：如图所示，过A作ABy轴于B，过M作MDy轴于D，则MDN=ABO=90，由平移可得，MND=AOB=45，MDNABO， = =2，设A（a，a），则AB=a，MD= a=DN，DO= a+ ，M（ a， a+ ），双曲线经过点A，M，k=aa= a（ a+ ），解得a=1，k=1 【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即MDNABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.
