1、一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定ab = ab2 + a.如：13=132+1=10. 则（-2）3的值为A10 B-15 C. -16 D-20 答案：D二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1用“”定义新运算：对于任意有理数a，b，当ab时，都有；当ab时，都有那么， 26 = ， = 答案：24，-64（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，是弧的中点，于，则如图2，中，是上一点，作交的外接圆于，连接，则=_
2、 答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有_个三、解答题6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算： 例如：（1）按照这个规定，请你计算的值（2）按照这个规定，当时求的值 答案（1） =20-12=8 2（2）由 得4解得，x= 157、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，
3、b）（c，d）=bcad.例如：（1，2）（3，4）=2314=2根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，3）（3，2）= ;（2）若有理数对（3，2x1）（1，x+1）=7，则x= ;（3）当满足等式（3，2x1）（k，xk）=52k的x是整数时，求整数k的值答案.解：（1）5.分（2）1 .分 （3）等式（3，2x1）（k，xk）=52k的x是整数 （2x1）k（3）（xk）=52k （2k3）x=5 k是整数 2k+3=1或5 k=1，1，2，4.分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a，b，定义运算：ab=，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，25=
4、2（2+5）1=13；（1）求的值；（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“”，使得5320，写出你定义的运算：mn （用含m，n的式子表示）答案 解：（1） . （2）答案不唯一，例如：. 9（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心， AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”如图为点A，B 的“确定圆”的示意图 （1）已知点A的坐标为，点的坐标为， 则点A，B的“确定圆”的面积为_； （2）已知点A的坐标为，若直线上只存在一个点B，使得点A，B 的“确定圆”的面积为，求点B的坐标； （3）已知点A在以为圆心，以1为半径的圆上，点B在直
5、线上， 若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围解：（1）； 2分 （2）直线上只存在一个点，使得点的“确定圆”的面积 为， 的半径且直线与相切于点，如图， ， 当时，则点在第二象限 过点作轴于点， 在中， 当时，则点在第四象限 同理可得 综上所述，点的坐标为或 6分（3）或10（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点，与，如果满足，其中，则称点A与点B互为反等点已知：点C(3，4)（1）下列各点中， 与点C互为 反等点； D(3，4)，E（3，4），F（3，4）（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的
6、横坐标的取值范围；（3）已知O的半径为r，若O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围解：(1)F 1分 (2) -33 且0 4分(3)4 或 . 8分16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”. （1）已知点A（2,0），B（0,2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_；（2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）O的半径为，点P的坐标为(3,m) .若在O上存在一
7、点Q ，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围 解：（1）60；1 （2）以CD为边的“坐标菱形”为正方形， 直线CD与直线y=5的夹角是45 过点C作CEDE于E D（4,5）或3 直线CD的表达式为或5 （3）或7 17（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心” 例如：如图2，以点O为圆心，半径分别为、（都是常数）的两个同心圆、，从点O任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为O （
8、1）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线、分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由； （2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式解：（1）是 过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C依题意可得A（k,k2）,B（2k,2k2） 2分因此D（k,0），C（2k,0）ADx轴，BCx轴，ADBC两抛物线曲似，曲似比是 3分 （2）
9、假设存在k值，使O与直线BC相切则OA=OC=2k，又OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2= OA2，k2+（k 2）2=（2k）2（舍负）由对称性可取综上， 6分 （3）m的取值范围是m1， k与m之间的关系式为k 2=m2-1 8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离.例如：点P（，）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 4，所以点P的最大距离为.（1）点A（2，）的最大距离为 ； 若点B（，）的最大距离为，则的值为 ；（2）若点
10、C在直线上，且点C的最大距离为，求点C的坐标；（3）若O上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出O的半径r的取值范围.解：（1）5 1分 3分（2）点C的最大距离为5，当时，或者当时，. 4分分别把，代入得：当时，当时，当时，当时， 点C（，）或（，）. 5分（3） .7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图. （1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积
11、为 .（2）点M，N的“X矩形”是正方形， 当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式； 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的O与它没有交点，直接写出r的取值范围 . 备用图答案：（1）6； 1分（2） B（6,0） 2分N（1,5）或N（5,1） 4分； 5分 或. 8分20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点（1）当O的半径为3时， 在点P1（1,0），P2（,），P3（,0），P4（5,0）中，O的和睦点是_
12、；（2）若点P（4,3）为O的和睦点，求O 的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧已知点E（,），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标的取值范围答案： 解： （1）P2，P3； 2分（2）由勾股定理可知，OP=5，以点O为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP于点Q，R，可知PQ=PR=1，此时P是O的和睦点；若O半径r满足0r1，此时，P不是O的和睦点；若O半径r满r6时，r-OP1，此时，P也不是O的和睦点；若O半径r满足4r6时，设O与射线OP交于点T即
13、PT1时，可在O上找一点S，使PS=1，此时P是O的和睦点；综上所述， 4分（3） ， 或 8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：如果C的半径为r，C外一点P到C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做C的“离心点”.（1）当O的半径为1时，在点P1（，），P2（0，2），P3（，0）中，O的“离心点”是 ；点P（m，n）在直线上，且点P是O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；（2）C的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B. 如果线段AB上的所有点都是C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围. 解：（1
14、），； 2分设P（m,m3），则. 3分解得，. 4分故1m2. 6分（2）圆心C纵坐标的取值范围为：或. 8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于C与C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于C的“生长点”已知点O为坐标原点，O的半径为1，点A（-1，0）（1）若点P是点A关于O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标_；（2）若点B是点A关于O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_ 解：
15、（1）（2，0）(答案不唯一). 1分（2）如图，在x轴上方作射线AM，与O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B. 作MHx轴于H，连接MC， MHA=90，即OAM+AMH=90. AC是O的直径， AMC=90，即AMH+HMC=90. OAM=HMC. . . 设，则， ，解得，即点M的纵坐标为. 又由，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为， 故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：. 3分 由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足：.4分 点B的纵坐标t的取值范围是或.（3）或. 7分23、（2018北
16、京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的 ；(2)O的半径为1，若在O上存在“关系点”P，求点P坐标；(3)点C的坐标为(3，0)，若在C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2x2.请直接写出C的半径r的取值范围解：(1)A、M. 2分(2)过点P作PGx轴于点G3分设P（x，2x）OG2+PG2=OP2 4分x2+4x2=15x2=1x2=x=P(，)或P(，)5分 (3)r=或 7分24、（2018北京门头沟区第一学期期末
17、调研试卷）以点为端点竖直向下的一条射线，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线，我们规定：为点 的“摇摆角”， 射线摇摆扫过的区域叫作点 的“摇摆区域”（含，）. 在平面直角坐标系xOy中，点.（1）当点的摇摆角为时，请判断、属于点的摇摆区域内的点是_（填写字母即可）； （2）如果过点，点的线段完全在点的摇摆区域内，那么点的摇摆角至少为_；（3）的圆心坐标为，半径为，如果上的所有点都在点的摇摆角为 时的摇摆区域内，求的取值范围备用图 解：（1）点B，点C； 2分（2）903分 （3）当运动到摇摆角的内部，与PF左边的射线相切时如图28-1点的摇摆角为60，在RtPFK中， 在 可求得 ， 在Rt
18、PFK中， ，可求得 当运动到摇摆角的内部，与PF右边的射线相切时如图28-2 同理可求得 25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系中的点P和图形G,给出如下的定义：若在图形G上存在一点 ,使得之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点.（1）当的半径为1时，点,中，的关联点有_.直线经过（0，1）点，且与轴垂直，点P在直线上.若P是的关联点，求点P的横坐标的取值范围.（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径的取值范围. 备用图 备用图答案：（1） 2分（2）如图，以O为圆心，2为半径的圆与直
19、线y=1交于 两点.线段上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点.故此.6分 （3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点. 正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点 该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点 故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心， 为半径的圆. 综上所述， .8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”（1）以O为圆心，半
20、径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点” ；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(mn)，P经过点M,N点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；P的半径为5，求mn的取值范围解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）；2（2）连结MN，OM=ON=4，RtOMN是等腰直角三角形过O作OAMN于点A，点M,N关于直线OA对称3由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上4圆心P所在直线的表达式为y=x5当MN为P直径时，由等腰直角三角形性质，可知mn=；6当点M,N重合时，即点M,N横纵坐标相等，所以mn=0；7mn的取值范围是0mn827、（
21、2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图（1）已知点A的坐标为，点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为_；（2）若点C的坐标为，点D在直线上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）O的半径为，点N在双曲线上若在O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标的取值范围解：（1）120； 2分 （2）C,D的“相关等腰三角形”为等边
22、三角形，底角为60，底边与轴平行， 直线CD与轴成60角，与轴成30角，通过解直角三角形可得的坐标为或，进一步得直线CD的表达式为或. 5分 （3）或. 8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的最大值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0.当的半径为2时：（1）若点，则_，_；（2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标；（3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围. 答案：29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为，对于给定的线段
23、AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点落在ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点（1）已知点在，两点中，是点P关于线段AB的内称点的是_；若点M在直线上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标的取值范围；（2）已知点，C的半径为r，点，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与C相切，求半径r的取值范围答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点
24、.例如：点 (,0) ，点 (1,1) ，点 (, )，则、三点的 “横长”=|=3，、三点的“纵长”=|=3. 因为=，所以、三点为正方点.（1）在点 (3，5) ，(3，) ， (，)中，与点、为正方点的是 ；（2）点P (0，t)为轴上一动点，若，三点为正方点，的值为 ；（3）已知点 (1，0).平面直角坐标系中的点满足以下条件：点，三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点组成的图形；若直线：上存在点，使得，三点为正方点，直接写出m的取值范围（备用图）解：（1）点 1分（2）2或3 3分（3）画出如图所示的图像 5分或 7分31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P
25、和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使得点P到直线m的距离等于1，则称P为直线m的平行点（1）当直线m的表达式为y=x时，在点P1（1，1），P2（0，），P3（，）中，直线m的平行点是 ；O的半径为，点Q在O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标.（2）点A的坐标为（n，0），A半径等于1，若A上存在直线的平行点，直接写出n的取值范围答案：（1）P2，P3 2分 解：由题意可知，直线m的所有平行点组成平行于直线m，且到直线m的距离为1的直线. 设该直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.如图1，当点B在原点上方时，作OHAB于点H，可知OH=1.由直线m的表达式为y=x，可知OAB=OBA=
26、45.所以OB=.直线AB与O的交点即为满足条件的点Q.连接OQ1，作Q1Ny轴于点N，可知OQ1=.在RtOHQ1中，可求HQ1=3.所以BQ1=2.在RtBHQ1中，可求NQ1=NB=.所以ON=.所以点Q1的坐标为（，）.同理可求点Q2的坐标为（，）.4分如图2，当点B在原点下方时，可求点Q3的坐标为（，）点Q4的坐标为（，）. 6分综上所述，点Q的坐标为（，），（，），（，），（，）.（2）n. 8分32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PHl于点H，则.基于上述发现，对于平面直角坐标系
27、xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点.（1）在点，中，抛物线的关联点是_ ；（2）如图2，在矩形ABCD中，点，点C( t.若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围；若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是_.(1) -2分 （2）当时， 此时矩形上的所有点都在抛物线的下方， - 5分 -8分33、（2018北京房山区二模）已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作P，则称点Q为P的“关联点”，P为点Q的“关联圆”.（1）已知O的半径为1，在点E（1，1），F（，），M（0，1）中，O的“关联点”为 ；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），Q为点P的“关联圆”，且Q的半径为，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），D是点H 的“关联圆”，直线与x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在D的“关联点”，求m的取值范围.解：（1） F，M.2（注：每正确1个得1分）（2）如图1，过点
