1、第1讲空间几何体考情解读1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2空间几何体的三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高看不到的线画虚线3直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画
2、，其规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上，下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高
3、)；V台(SS)h(不要求记忆)；V球R3.热点一三视图与直观图例1某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B8C. D16(2)(2013四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()思维启迪(1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破答案(1)B(2)D解析(1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积V2248.(2)由俯视图易知答案为D.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体
4、的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果(1)(2013课标全国)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)A(2)D解析(1)根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示故选A.(2)如图所示，点D1的投
5、影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.热点二几何体的表面积与体积例2(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_(2)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1DBC的体积为()A66 B68C70 D72思维启迪(1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割答案(1)(2)A解析(1)由三视图可知，该几何体是一个半圆锥，底面半圆半径是1，半圆锥的高为1.由圆锥的体积公式，可以得该半圆锥的体积V121.(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成
6、三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.思维升华(1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想多面体MNABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是()A. B.C. D.答案D解析过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1222，高
7、为2，所以体积为V14，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V12212，所以多面体的体积为V4，选D.热点三多面体与球例3如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B3 C. D2思维启迪要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解
8、即可答案A解析如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，AEBD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V()3.故选A.思维升华多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(
9、直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2a2b2c2求解(1)(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1 B2C3 D4(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_答案(1)B(2)3解析(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示由题意知，
10、当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r(6810)2.因此选B.(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥PABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，且PA1，该四棱锥的体积为V111.又PC为其外接球的直径，2RPC，则球的表面积为S4R23.1空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和2在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何
11、量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面3一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)4长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R；(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2R
12、.真题感悟1(2014北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1答案D解析如图所示，ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1222.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S22.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S32.所以S2S3且S1S3.故选D.2(2
13、014江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，则，所以.押题精练1把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥CABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为()A. B.C1 D.答案B解析在三棱锥CABD中，C在平面ABD上的投影为BD的中点O，正方形边长为，AOOC1，侧视图的面积为SAOC11.2在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD
14、两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为()A. B2 C3 D4答案A解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长据题意解得长方体的体对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为V()3.(推荐时间：50分钟)一、选择题1已知正三棱锥VABC的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为()A2 B4C6 D8答案C解析如图，作出正三棱锥VABC的直观图，取BC边的中点D，连接VD，AD，作VOAD于O.结合题意，可知正视图实际上就是VAD，于是三棱锥
15、的棱长VA4，从俯视图中可以得到底面边长为2，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为2，高为棱锥的高VO.由于VO 2.于是侧视图的面积为226，故选C.2右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A2 B.C. D.答案D解析多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V4，选D.3如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为()A153 B9C306 D18答案B解析由三视图知几何体是一个底面为3的正方形，高为的斜四棱柱，所以VSh339.4已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧(左)视图如图所示当正(主)视图的面积最大时，该正四
16、棱锥的表面积为()A8 B88C8 D48答案B解析由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相同，设棱锥的高为h，则a2h24.故其主视图的面积为S2ahah2，即当ah时，S最大，此时该正四棱锥的表面积S表(2a)242a288，故选B.5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为()A. B. C. D.答案A解析三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥r2h12.故选A.6(201
17、4大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.答案A解析如图，设球心为O，半径为r，则RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，该球的表面积为4r24()2.二、填空题7有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案2解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图在原图形中，AD1，AB2，BC1，且AD
18、BC，ABBC，这块菜地的面积为S(ADBC)AB(11)22.8如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_答案6解析沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6，故答案为6.9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案解析111.10已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_答案16解析设
19、矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.三、解答题11已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥EABCD.(1)V(86)464.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形
20、，且BC边上的高h1 4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2 5.因此S2(6485)4024.12如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积(1)证明EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)解设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大此时，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，则PO平面EFCB.即PO为四棱锥PEFCB的高又POPEsin 3021.SEFCB(24)26.VPBCFE612.
