1、第六章 第39炼 传统不等式的解法 不等式第39炼 传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式： 可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可关键点：图像与轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）求出的根 在数轴上依次标出根 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 观察图像， 寻找轴上方的部分 寻找轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式（2）分式若成立，则必须满足分
2、母不为零，即 （3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： 的解集与或的解集相同 的解集与的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中，有一些性
3、质可从函数的角度分析，例如：，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如： ，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数不变号，减函数变号 在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可判断出：当 同号时，（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变
4、号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：时， 时， 进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了（3）对于对数的两个补充 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时， 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁例如：？ 某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，两边可同取以2为底对数 6
5、、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式解出新元的范围在根据新元的范围解的范围二、典型例题
6、：例1：解下列一元二次不等式：（1） （2） （3） （4）4-1解（1） 即与轴的交点为 由图像可得满足的的范围为 不等式的解集为（2） 令，则 可解得： 作图观察可得：或 不等式的解集为（3）令，则中， 则与轴无公共点，即恒在轴上方， 注：由（1）（2）我们发现，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀 让最高次项系数为正 解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：方程的根为 不等式的解集为例2：解
7、下列高次不等式：（1） （2）123（1）解：则的根 作图可得： 或 不等式的解集为（2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解 ，可得且不等式的解集为小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为 的部分，下方为的部分。以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而整个的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时的符号一定为正），当经过 时，由正变负，而其
8、余的式子符号未变，所以的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，的符号再次发生改变，曲线也就跑到 轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是在经历每一个根时，式子符号的交替变化。例3：解下列分式不等式：（1） （2） 解：（1）不等式等价于 不等式的解集为 （2）不等式等价于 解得： 不等式的解集为 例4：（1） （2） （3） 分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解解：（1）或不等式的解集为 （2） 不等式的解集为 （3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，
9、不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了解： 不等式的解集为 例5：解不等式：（1） （2）解：（1）方法一：所解不等式可转化为 方法二：观察到若要使得不等式成立，则，进而内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解即可。解得不等式的解集为 （2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数，所以直接可得：不等式的解集为 小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法例6：解不等式：（1） （2）解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论令两个绝对值分别为零，解得：，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论 不
10、等式变为 时，不等式变为 时不等式均成立 不等式变为 综上所述：不等式的解集为 小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性（2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观察，所解不等式为，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方（所用不等式性质：）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。解： 不等式的解集为 例7：解下列不等式：（1） （2） （3） （4）解：（1） （2） 或 不等式的解集为 不等式的
11、解集为 （3） 或 不等式的解集为 （4） 或 可解得： 不等式的解集为 例8：解下列不等式：（1） （2） （3） （4）（1）思路：，从而可将视为一个整体，则所解不等式可看做关于的二次不等式，解出的范围，再反求的范围即可解： 令 即 不等式的解集为 （2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：，从而选择一项进行变形（比如选择)，再将视为一个整体解不等式，解出的范围后进而求出的范围解： 令 不等式转化为： 或，即或可解得：或 （3） 令 不等式转化为： 即 不等式的解集为 （4）思路：所解不等式等价于，本题可以考虑对的符号进行讨论，从而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现，从而所解不等式转化为：，将视为一个整体，先解出范围，进而解出的范围解： 令，所解不等式转化为即 即或不等式的解集为 例9：已知不等式的解集为，则_，_思路：所解不等式，即，观察可得只要让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解。由已知可得此不等式的解集为，则为的两根，代入解得，再解得 答案： 小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而简化所解不等式的个数例10：已知不等式的解集为，则的取值范围是_思路：所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得： 解得： 答案：
