1、绝密 启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12 小题，每
2、小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A1,0,1,2， B x x21，则A BA 1,0,1B 0,1C1,1D0,1,22若 z(1i)2i，则 z=A 1iB 1+iC 1iD1+i3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是1B 11D1A 4C2634西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校
3、阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0 5B06C 07D085函数 f ( x)2sinx sin2 x 在 0 ，2的零点个数为A 2B 3C 4D 56已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16B 8C 4D 27yxx ln x 在点（1，aey=2x+b，则已知曲线ae）处的切线方程为A a= e， b=-1B a= e， b=1-1， b=1Da= e-1，C a= eb 1文科数学试题第1页（共9页）8如图，点N 为正方形ABCD 的中心， ECD 为正三角形，平面ECD 平面ABCD ， M是线段 ED
4、 的中点，则A BM =EN，且直线B BM EN，且直线CBM =EN，且直线D BM EN，且直线BM、EN 是相交直线BM，EN 是相交直线BM、 EN 是异面直线BM，EN 是异面直线9执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出 s 的值等于0.011A2241B2251C2261D22710已知 F 是双曲线 C：x2y21 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 OP = OF ，45则 OPF 的面积为3579A B CD222211记不等式组x y6,D命题 p :(x, y ) D , 2xy9；命题2x表示的平面区域为y 0q : ( x, y)D ,2 xy,
5、12 下面给出了四个命题 p qp q pqpq这四个命题中，所有真命题的编号是A BCD12设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则1 ） f （ 23223A f （log 32 ） f （ 23 ）B f （ log31 ） f （ 2 3） f （ 2 2）443223C f （ 2 2） f（ 2 3） f （log 31 ） D f （ 2 3） f （ 2 2 ） f（ log31）44文科数学试题第2页（共9页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a (2,2), b( 8,6) ，则 cosa, b_ 14记 Sn 为等
6、差数列 an 的前 n 项和，若 a35, a713 ，则 S10 _15设 F1， F2 为椭圆 C: x2+ y21 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限若 MF1F23620为等腰三角形，则M 的坐标为 _16学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA B C D挖去四棱锥O- EFGH 后所得的几何体， 其中 O 为长方体的中心， E，1111F，G，H 分别为所在棱的中点， AB = BC = 6cm , AA1 = 4cm，3D 打印所用原料密度为 09 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g三、解答题：共70 分。解答
7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ， B 两组，每组 100只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同。 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C为事件： “乙离子残留在体内的百分比不低于 55”，根据直方图得到 P（ C）的估计值为 0.70（ 1）求乙离
8、子残留百分比直方图中 a， b的值；（ 2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（ 12 分）ABC的内角AB C的对边分别为a bc，已知 a sinA Cbsin A 、 、2（ 1）求 B；（ 2）若 ABC为锐角三角形，且 c=1，求 ABC面积的取值范围文科数学试题第3页（共9页）19（ 12 分）图 1是由矩形 ADEB 、Rt ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB =1，BE=BF=2，FBC =60将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF 重合，连结 DG，如图 2（ 1）证明图 2中的 A， C， G， D四
9、点共面，且平面 ABC 平面 BCGE ；（ 2）求图 2中的四边形 ACGD 的面积20（ 12 分）已知函数 f ( x)2x3ax 22 （ 1）讨论 f (x) 的单调性；（ 2）当 0a3 时，记 f (x) 在区间 0， 1的最大值为 M，最小值为 m，求 M m 的取值范围21（ 12 分）已知曲线 C：y= x2，D 为直线 y=1上的动点， 过 D 作 C 的两条切线， 切点分别为 A，B22（ 1）证明：直线AB 过定点：（ 2）若以 E(0， 5)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的2方程（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任
10、选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分）如图，在极坐标系 Ox 中， A(2,0)， B(2, ) ，C(2, ) ，D(2,)，弧 AB ，BC ，44CD 所在圆的圆心分别是(1,0) ， (1,)，(1,) ，曲线 M1是弧 AB，曲线 M2是弧 BC ，曲2线 M3是弧 CD （ 1）分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；（2）曲线 M 由 M1， M2 ，M3构成，若点 P在 M 上，且 |OP |3，求 P 的极坐标23 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）设 x, y, zR ，且 x y z 1（ 1）
11、求 (x1)2( y1)2( z1)2 的最小值；（ 2）若 (x2)2( y1)2( za) 21成立，证明： a3或 a 1 3文科数学试题第4页（共9页）2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1A2 D3D4C5B6C7D8B9C10 B11 A12 C二、填空题13215 (3, 15)16 118 814 10010三、解答题17解：（ 1）由已知得 0 70=a+0 20+0 15，故 a=0 35b=10050 150 70=0 10（ 2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20 15+3 0 20+4 0 30+5 0 20+6 0 10+7 0 0
12、5=4 05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30 05+4 0 10+5 0 15+6 0 35+7 0 20+8 0 15=6 0018解：（ 1）由题设及正弦定理得ACsin B sin A sin A sin2因为 sinA0，所以 sin ACsin B 2由 A BC 180 ，可得 sin A Ccos B ，故 cos B2sin B cos B 22222因为 cos B0 ，故 sin B1，因此 B=60 222（ 2）由题设及（1）知ABC的面积3SABC4a由正弦定理得 acsin Asin 120C31sin Csin C2 tanC 2由于 ABC 为锐角三角形，
13、故0A90， 0C90由（1）知 A+C=120，所以1a2，从而3330C0，则当 x(,0)a ,时， f( x)0 ；当 x0, a时， f (x)0故33f (x) 在 (,0),a ,单调递增，在0, a单调递减；33若 a=0， f ( x) 在 (,) 单调递增；若 a0，则当 x, a(0,) 时， f( x)0 ；当 xa ,0时， f (x)0故33f (x) 在, a,(0,) 单调递增，在a ,0单调递减33（2）当 0a3 时，由（ 1）知， f ( x) 在 0, a 单调递减，在a ,1 单调递增，所33以 f ( x) 在 0,1 的最小值为faa3a 于是32
14、 ，最大值为 f (0)=2 或 f (1)=427a32 ， M4a,0a 2,m2,2a3.27文科数学试题第6页（共9页）2aa3,0a2,所以 Mm27a3,2a3.27当 0a2 时，可知 2aa3单调递减，所以M m 的取值范围是8,2 2727当 2a3时， a3单调递减，所以M m 的取值范围是 8 ,1) 2727综上， Mm 的取值范围是 8 ,2) 2721解：（ 1）设 D t,1,Ax1, y1，则 x122y1 2y11由于 yx ，所以切线 DA 的斜率为x1 ，故2x1x1t整理得 2 tx12 y1 +1=0.设 B x2 , y2 ，同理可得 2tx2 2
15、y2 +1=0 故直线 AB的方程为 2tx2y10 所以直线 AB过定点 (0, 1 ) 21（2）由（ 1）得直线 AB 的方程为 ytx2y1tx由2，可得 x22tx10 yx22于是 x1x22t, y1 y2tx1x212t21 设M 为线段 AB的中点，则 Mt, t 21 2由于 EMAB ，而 EMt, t 22，AB 与向量 (1, t ) 平行，所以 t t 22 t 0 解得 t=0或 t1文科数学试题第7页（共9页）2当 t =0时， | EM |=2，所求圆的方程为x2y54 ；22当 t1时， |EM |2 ，所求圆的方程为x2y52 222解：（ 1 ）由题设可
16、得，弧AB, BC, CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin，2cos所以 M1的极坐标方程为2cos0 ， M 2 的 极 坐 标 方 程 为42sin3， M3 的极坐标方程为3 442cos4（2）设 P( ,) ，由题设及（1）知若 03 ，解得，则 2cos6；4若 3，则 2sin3 ，解得或2；4433若3，则2cos3 ，解得546综上， P的极坐标为3, 或3, 或3, 2 或3, 5 6336231）由于( x1)( y1)( z1)2解：（(x1)2( y1)2( z1)22( x1)( y1)( y1)( z1)( z1)(x 1)3 ( x 1)2( y
17、1)2(z 1)2 ，故由已知得 ( x1)2( y1)2( z1)24，当且仅当 x= 5 ， y113， z时等号成立3334 所以 ( x 1)2( y1)2( z1)2 的最小值为3（ 2）由于( x 2)( y1)( za) 2(x2) 2( y 1)2(z a)22( x2)( y1)( y1)(za)( za)( x 2)文科数学试题第8页（共9页）3 ( x 2) 2( y 1)2( za)2 ，故由已知 ( x2) 2( y1)2( za)2(2a)2，3当且仅当 x4 a1a2a23， y， z时等号成立33因此 ( x 2)2( y1)2( za) 2 的最小值为 (2a)23由题设知 (2a)21，解得 a3 或 a1 33文科数学试题第9页（共9页）
