1、立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离备考策略主标题：立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：空间角，距离，备考策略难度：2重要程度：4内容考点一求异面直线所成的角【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：(1)三角形PCD的面积(2)异面直线BC与AE所成的角的大小解(1)因为PA底面ABCD，所以PACD.又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，CD2，所以三角形PCD的面积为222.图1(2)法一如
2、图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由于EF，AF，AEPC2.则AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.图2法二如图2，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2，0)，E(1，1)，(1, ，1)，(0,2，0)设与的夹角为，则cos ，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.【备考策略】本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作证算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线
3、AC，BD的夹角的余弦值为cos .考点二利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值思路由于在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD90，易于建立空间坐标系，可利用向量法求解第(1)问ACB1D转化为判定0；第(2)问可利用直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量的夹角求解(1)证明法一因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD.ACBB1，又ACBD，AC平面BB1D，又B1D平面BB1D，从而ACB1D.法二易知，AB，A
4、D，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则
5、sin |cos|.【备考策略】 (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量 考点三利用向量求二面角【例3】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1
6、所成角的正弦值为，求线段AM的长思路由条件特征，易建立空间坐标系，方便运用向量求解(1)利用向量证明0；(2)求平面B1CE与平面CEC1的法向量，进而求二面角的正弦值；(3)设出，根据线面角求，进一步求出AM的长解如图，以点A为原点以AD，AA1，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0，0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1，2,1)，E(0,1,0)(1)证明：易得(1,0，1)，(1，1，1)，于是110(1)20，故B1C1CE.(2)解：(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z
7、1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，从而B1C1平面CEC1.故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cos，从而sin，所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)解：(0,1,0)，(1,1,1)，设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos|，于是，解得(负值舍去)，故AM.【备考策略】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
