1、第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理【知识要点】 在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题“存在，存在，使得成立”称为不等式的双存在性问题，存在，存在，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小.，即.（见下图1）“存在，存在，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大，即.（见下图2）2、双任意性问题“任意，对任意的，使得成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意，对任意的，使
2、得成立，即在区间任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即. “任意，对任意的，使得成立”，即在区间内任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即.3、存在任意性问题“存在，对任意的，使得成立” 称为不等式的存在任意性问题. 存在，对任意的，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即. （见下图3）“存在，对任意的，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大，即.（见下图4）【方法讲评】题型一双存在性问题使用情景不等式中的两个自变量属性都是存在性的.解题理论存在，存在，使得成立” 称为不等式的双存在性问题，存在，存在，使得
3、成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小，即.“存在，存在，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大，即.【例1】已知函数.（）讨论的单调性；（）当时，设，若存在，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，）当时，,当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，的减区间为，增区间.当时，的减区间为.当时，的减区间为，增区间为. （）由（）可知在上的最大值为， ，令，得.时，单调递减，单调递增， 所以在上的最小值为， 由题意可知，解得, 所以.【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含
4、糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.【反馈检测1】设函数，（1）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示）,并确定的单调区间；（2）在（1）的条件下，设，函数，若存在使得成立，求的取值范围.题型二双任意性问题使用情景不等式的两个自变量属性都是任意的.解题理论“任意，对任意的，使得成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意，对任意的，使得成立，即在区间任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即. “任意，对任意的，使得成立”，即在区间内任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即.【例2】
5、已知函数若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围【解析】则对所有的，都成立，令，是关于的一次函数，因为，所以【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反. 【反馈检测2】已知函数，.（）讨论的单调性；（）对于任意，任意，总有，求的取值范围. 题型三存在任意性使用情景不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的.解题理论“存在，对任意的，使得成立”称为不等式的存在任意性问题. 存在，对任意的，使得成立，即在
6、区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即.“存在，对任意的，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大，即.【例3】（2010高考山东理数第22题）已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（1）当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.(2)当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，在单调递减，单调递增，单调递减
7、.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上所述，实数的取值范围是.【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同. 【反馈检测3】已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）已知，函数.若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.高中数学热点难点突破技巧第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考
8、答案【反馈检测1答案】（1）；（2） .令，得或 是极值点，即 当即时，由得或由得当即时，由得或由得综上可知：当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由（1）知，当a0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，函数在区间上的最小值为又，函数在区间0，4上的值域是，即又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是，存在使得成立只须仅须1【反馈检测2答案】（）当时，递减区间为，不存在增区间；当时，递减区间为，递增区间；（）.递减区间为，递增区间；综上：当时，递减区间为，不存在增区间；当时，递减区间为，递增区间；（）令，由已知得只需即若对任意，恒成立，即令，则设，则在递减，即在递减即的取值范围为【反馈检测3答案】（I）详见解析；（II）.【反馈检测3详细解析】当时，或，在上递增，在和上递减；，在上递减.(II)由（2）知在内单调递减，内单调递增，内单调递减，又，故有，只需在0,2上最小值小于等于-1即可. 即时最小值，不合题意，舍去；即时最小值；即时最小值；综上所述：.11 / 11
