1、专题十数学文化近五年高考试题统计与命题预测 解析:设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.答案:B2.(2018全国,理10)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案:A 3.(2017全国,理2)如
2、图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()答案:B 4.(2019全国,理13)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.解析:由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为100.97+200.98+100.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为答案:0.
3、985.(2019全国,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.图1 图2 解析:由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延
4、长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,1.数列中的数学文化问题常以“十二平均律、宝塔点灯、女子织布,两鼠穿墙,竹九节以及分钱、走步”等问题为背景展开,强调“经世济用”,结合算法算理建立数列模型,将问题转化为等差数列或等比数列问题,利用方程思想进行数列的基本计算.2.立体几何中的数学文化问题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”“榫卯”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等.3.概率中的数学文化问题多以具有中国古典色彩的史实如“田忌赛马”“卖油翁”“割圆术”
5、等或者具有中国特色元素的代表图例如“太极图”“赵爽弦图”“中数会会标”等为背景设计考题,考查古典概型以及几何概型的转化求解.4.函数中的数学文化三角函数一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景,考查解三角形或三角变换.其他函数一般通过新定义的情景与古文化中的中国元素相结合,倡导民族性的文化特征.5.算法中的数学文化问题多与更相减损术、秦九韶算法和割圆术相结合,将数学文化嵌入到程序框图,考查程序的运算功能识别与求解,或者考查程序的功能完善与补充.6.以现代科技或数学时事为背景编辑的数学文化考题特别关注科普知识,注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展,体现中国传统科技文化对人类
6、发展和社会进步的贡献,践行社会主义核心价值观.7.西方数学文化主要针对欧拉公式、浦丰实验、毕达哥拉斯学派、斐波那契数列,莱布尼茨三角形(杨辉三角)等著名数学文化为背景就复数运算、几何概型、数列与推理等运算展开考查,彰显中国数学文化与西方数学文化的相融性与共通性.考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7数列中的数学文化例1(1)(2018北京,理4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率
7、为f,则第八个单音的频率为()(2)(2017课标,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏 C.5盏D.9盏考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:(1)D(2)B 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应训练1(1)九章算术中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是
8、:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿()考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7(2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的物体垛积.设隙积共n层,上底由ab个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由cd个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为 ,其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相
9、同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为()A.83B.84C.85D.86 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:(1)C(2)C 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7立体几何中的数学文化例2(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣和(牟和)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是()A.a,bB.a,c C
10、.c,b D.b,d考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7(2)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7解析:(1)当正视图和侧视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,正视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且具有两条实线的对角线,故选A.答案:(1)A(2)A考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应
11、训练2(1)如图为中国传统智力玩具鲁班锁,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器表面积的最小值为30,则正四棱柱的高为()考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7(2)在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且BDCD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若PBD的
12、面积为f(x),则函数y=f(x)的图象大致是()考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7(3)(2019湖北黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面面积.其意:如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的渐近线方程为y=2x,一个焦点为(,0).直线y=0与y=3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN,则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为.考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7解析:(1)该几何体的外接球与一个长、宽、高分别为h,2,1的长方体
13、的外接球是相同的,其中h为该长方体的高,该长方体的外接球半径 ,据此可得S=4R2=(h2+22+12)=30,解得h=5,即正四棱柱的高为5.(2)如图,作PQBC于Q,作QRBD于R,连接PR,则PQAB,QRCD.因为PQBD,又PQQR=Q,所以BD平面PQR,所以BDPR,即PR为PBD中BD边上的高.考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:(1)D(2)A(3)3 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7(2)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选
14、一匹马进行一场比赛,田忌获胜的概率是()考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:(1)A(2)A 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应训练3太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案,如图所示,其中小圆的半径均为1,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:B 考点1考点2考点3考点4考点5
15、考点6考点7函数中的数学文化例4中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,给出下列命题:对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;正弦函数y=sin x,xR可以同时是无数个圆的“太极函数”;函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为()A.B.C.D.考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7故其不可能为圆的“太极函数”,故错误;将圆的圆心放在正弦函数y=si
16、n x,xR图象的对称中心上,则正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”,故正确;考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故错误.故选A.答案:A考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应训练4(2018湖南益阳、湘潭调研)数书九章中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”,填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古
17、代人具有很高的数学水平,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积”.若把考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:B 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7算法中的数学文化例5公元三世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了割圆术.利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n为(参考数据:sin 150.258 8,sin 7.50.130 5)()A.12B.24
18、C.36D.48考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7解析:按照程序框图执行,n=6,S=3sin 60=,不满足条件S3.10,执行循环;n=12,S=6sin 30=3,不满足条件S3.10,执行循环;n=24,S=12sin 15120.258 8=3.105 6,满足条件S3.10,跳出循环,输出n的值为24,故选B.答案:B考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应训练5我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明,戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告,烽火台上点火表示数字1,不点火表示数字0,这蕴含了进位制的思想.图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.
19、执行该程序框图,若输入a=110011,k=2,n=7,则输出的b=()A.19B.31C.51 D.63解析:按照程序框图执行,b依次为0,1,3,3,3,19,51,当b=51时,i=i+1=7,跳出循环,故输出b=51.故选C.答案:C考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7数学文化与现代科技例62016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若
20、用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,给出下列式子:a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;其中正确式子的序号是()A.B.C.D.考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7解析:观察图形可知a1a2,c1c2,a1+c1a2+c2,即式不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即式正确;由a1-c1=a2-c20,c1c20,答案:D考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应训练6(2017全国,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“
21、解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330 C.220D.110考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7答案:A 考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7西方数学文化例7(1)(2018山东日照期末)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函
22、数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e2i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列an为“斐波那契”数列,Sn为数列an的前n项和,则S7=;若a2 017=m,则S2 015=.(用m表示)考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7解析:(1)e2i=cos 2+isin
23、 2,e2i表示的复数在复平面中位于第二象限.故选B.(2)S7=1+1+2+3+5+8+13=33;因为Sn+2-Sn=an+2+an+1=an+3,所以S2 015-S2 013=a2 016,S2 013-S2 011=a2 014,S3-S1=a4,叠加得S2 015-S1=a2 016+a2 014+a2 012+a6+a4,因为a2 017=a2 016+a2 015=a2 016+a2 014+a2 013=a2 016+a2 014+a2 012+a2 011=a2 016+a2 014+a2 012+a2 010+a4+a3=S2 015-S1+a3,所以S2 015=a2
24、017+S1-a3=m+1-2=m-1.答案:(1)B(2)33m-1考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7对应训练7(1)(2018湖北黄冈质检)关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y),再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m来估计的值,假如统计结果是m=56,那么可以估计.(用分数表示)考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7(2)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn.可以推测:b2 012是数列an中的第项;b2k-1=.(用k表示)考点1考点2考点3考点4考点5考点6考点7
