1、中考压轴题数学说题说题1 1、题目背景：、题目背景：2013年泉州市数学中考试题的第25题。本题分3个小题，第(1)小题是书本中一次函数中例题的改编题，第(2)小题是一道变形题，而第(3)小题是中考命题者根据考试说明的能力要求设计的原创题。一、审题分析题目:O O2525（1212分）（分）（20132013泉州）如图，泉州）如图，于点于点B B、C C，点，点A A（2 2，0 0），），P P是直线是直线BCBC上的动点上的动点（1 1）求）求ABCABC的大小；的大小；（2 2）求点）求点P P的坐标，使的坐标，使APO=30APO=30；（3 3）在坐标平面内，平移直线）在坐标平面内，
2、平移直线BCBC，试探索：当，试探索：当B CB C在不同位置时，在不同位置时，使使APO=30APO=30的点的点P P的个数是否保持不变？若不变，指出点的个数是否保持不变？若不变，指出点P P的个数的个数有几个？若改变，指出点有几个？若改变，指出点P P的个数情况，并简要说明理由的个数情况，并简要说明理由轴交y、x分 别32x3-y直 线A A-2-2Bx x2 2C Cy y32x3-y说题一、审题分析2 2、分析题目：、分析题目：知识点多、面广，是一道综合性较强的题目题目:代数一次函数的图像与性质三角形三角形的中位线一般三角形直角三角形等边三角形特殊三角形几何圆直线和圆的位置关系圆周角
3、与圆心角对称 轴对称2525（1212分）（分）（20132013泉州）如图，泉州）如图，于点于点B B、C C，点，点A A（2 2，0 0），），P P是直线是直线BCBC上的动点上的动点（1 1）求）求ABCABC的大小；的大小；（2 2）求点）求点P P的坐标，使的坐标，使APO=30APO=30；（3 3）在坐标平面内，平移直线）在坐标平面内，平移直线BCBC，试探索：当，试探索：当B CB C在不同位置时，在不同位置时，使使APO=30APO=30的点的点P P的个数是否保持不变？若不变，指出点的个数是否保持不变？若不变，指出点P P的个数的个数有几个？若改变，指出点有几个？若改变
4、，指出点P P的个数情况，并简要说明理由的个数情况，并简要说明理由轴交y、x分 别32x3-y直 线A A-2-2Bx x2 2C Cy y32x3-y说题3 3、难点关键：、难点关键：利用构造思想、分类讨论思想，通过构造圆的方法,求得动点P的个数一、审题分析题目:2525（1212分）（分）（20132013泉州）如图，泉州）如图，于点于点B B、C C，点，点A A（2 2，0 0），），P P是直线是直线BCBC上的动点上的动点（1 1）求）求ABCABC的大小；的大小；（2 2）求点）求点P P的坐标，使的坐标，使APO=30APO=30；（3 3）在坐标平面内，平移直线）在坐标平面内
5、，平移直线BCBC，试探索：当，试探索：当B CB C在不同位置时，在不同位置时，使使APO=30APO=30的点的点P P的个数是否保持不变？若不变，指出点的个数是否保持不变？若不变，指出点P P的个数的个数有几个？若改变，指出点有几个？若改变，指出点P P的个数情况，并简要说明理由的个数情况，并简要说明理由轴交y、x分 别32x3-y直 线A A-2-2Bx x2 2C Cy y32x3-y说题4 4、学情分析：、学情分析：农村学生的自主探索能力较低，采用小组合作学习方法，通过提问启发思考，观察类比，充分调动学生非智力因素，有效发展合情推理和演绎推理能力。一、审题分析题目:2525（121
6、2分）（分）（20132013泉州）如图，泉州）如图，于点于点B B、C C，点，点A A（2 2，0 0），），P P是直线是直线BCBC上的动点上的动点（1 1）求）求ABCABC的大小；的大小；（2 2）求点）求点P P的坐标，使的坐标，使APO=30APO=30；（3 3）在坐标平面内，平移直线）在坐标平面内，平移直线BCBC，试探索：当，试探索：当B CB C在不同位置时，在不同位置时，使使APO=30APO=30的点的点P P的个数是否保持不变？若不变，指出点的个数是否保持不变？若不变，指出点P P的个数的个数有几个？若改变，指出点有几个？若改变，指出点P P的个数情况，并简要说明
7、理由的个数情况，并简要说明理由轴交y、x分 别32x3-y直 线A A-2-2Bx x2 2C Cy y32x3-y二、解题过程1 1、解题分析：、解题分析：第(1)小题求ABC大小?思路一：思路一：根据坐标轴上点的坐标特征易得B、C两点的坐标，从而确定OB、OC的长度，再解RtOBC,即可求ABC大小。思路二：思路二：连接AC（如右图示），由A、B两点的坐标可知，它们关于Y轴对称，由对称性质得ACBC，再由勾股定理求得ACBC4，再判断ABC为等边三角形，即得ABC=600，这也为解决第（2）小题作铺垫，这样学生可以为自己获得3分。A A-2-2Bx x2 2C Cy yO O32x3-y二
8、、解题过程1 1、解题分析：、解题分析：第(2)小题求P的坐标，条件APO=300。思路一：思路一：引导学生观察AOC的度数，利用在圆中，直径所对圆周角为直角的知识，故可构造圆，则弦AO所对圆心角为600，把解决本问题转化为直线与圆的位置关系，因此有两个点符合条件。A A-2-2Bx x2 2C Cy yO O(P(P1 1)P P2 2Q Q06032x3-y思路二：思路二：由(1)可得ACO300，即当点P与点C重合时，APO300；取BC的中点P（如右图示），连结OP,由三角形中位线性质及等边三角形的“三线合一”等性质，可得APO=300，因此，符合条件的点P有两个.也可引导学生利用勾股
9、定理求出BC的长度，然后判断ABC是等边三角形。P PA A-2-2Bx x2 2C Cy yO O030 P32x3-y2二、解题过程1 1、解题分析：、解题分析：对于第（3）小题，是动态几何问题?）有1个(如图五示)：直线BC与 Q（或 Q）相切；思路一：思路一：要在动直线BC上寻找符合条件的点P，引导学生在第（2）小题的基础上，考虑用构造圆的方法来转化问题，因此，以AO为弦构造圆，由对称性知，这样的圆有两个，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，符合条件的点P实际上是直线BC与两圆的公共点，即把问题转化为直线与圆的位置关系进行解决。然后，进行分类讨论，可知直线BC在不同位置时，点P的个数变化
10、，不妨记两圆为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称，点P的个数情况如下：A A-2-2Bx x2 2C Cy yO O(P(P1 1)P P2 2Q Q06032x3-y二、解题过程1 1、解题分析：、解题分析：对于第（3）小题，是动态几何问题?）有2个（如图六示）：直线BC只与Q（或Q）相交；直线直线BCBC过过Q Q与与QQ的一个交点，同时与两圆都的一个交点，同时与两圆都相交；相交；直线直线BCBC与与Q Q、QQ都相交，且与弦都相交，且与弦AOAO相交；相交；思路一：思路一：要在动直线BC上寻找符合条件的点P，引导学生在第（2）小题的基础上，考虑用构造圆的方法来转化问题，因此，以AO为弦构造圆，
11、由对称性知，这样的圆有两个，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，符合条件的点P实际上是直线BC与两圆的公共点，即把问题转化为直线与圆的位置关系进行解决。然后，进行分类讨论，可知直线BC在不同位置时，点P的个数变化，不妨记两圆为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称，点P的个数情况如下：二、解题过程1 1、解题分析：、解题分析：对于第（3）小题，是动态几何问题?）有3个（如图七示）：直线BC与Q（或Q）相切，同时与Q（或Q）相交；思路一：思路一：要在动直线BC上寻找符合条件的点P，引导学生在第（2）小题的基础上，考虑用构造圆的方法来转化问题，因此，以AO为弦构造圆，由对称性知，这样的圆有两个，根据同弧所对圆
12、心角是圆周角的2倍，符合条件的点P实际上是直线BC与两圆的公共点，即把问题转化为直线与圆的位置关系进行解决。然后，进行分类讨论，可知直线BC在不同位置时，点P的个数变化，不妨记两圆为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称，点P的个数情况如下：二、解题过程1 1、解题分析：、解题分析：对于第（3）小题，是动态几何问题?）有4个（如图八示）：直线BC同时与Q、Q 都相交，同时直线BC不与弦AO 相交.思路一：思路一：要在动直线BC上寻找符合条件的点P，引导学生在第（2）小题的基础上，考虑用构造圆的方法来转化问题，因此，以AO为弦构造圆，由对称性知，这样的圆有两个，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，符合条件的
13、点P实际上是直线BC与两圆的公共点，即把问题转化为直线与圆的位置关系进行解决。然后，进行分类讨论，可知直线BC在不同位置时，点P的个数变化，不妨记两圆为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称，点P的个数情况如下：思路二：思路二：本题也可根据直线y=x+b中b的取值范围进行分类讨论。3二、解题过程2 2、解答过程：、解答过程：解：（1）0603232tan2,32)0,2(),32,0(,2,0;32,0323ABCOBOCABCOBOCBCxyyx，xy得令得令中在二、解题过程2 2、解答过程：、解答过程：解 ：（2）如 答图1所示，连接AC由（1）知ABC=60，BC=2OB=4又AB=4，AB=BC
14、，ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4以AC为直径作圆与直线BC交于点P1，P2QP1=2，QO=2，点P1与点C重合，且Q经过点OQA=QO，CAB=60，AOQ为等边三角形在 Q中，弦AO所对的圆心角OQA=60，由圆周角定理可知，弦AO所对的圆周角APO=300 ，故点P1、P2符合条件QC=QP2，ACB=60，P2QC为等边三角形P2C=QP=2，点P2为BC的中点)32,0(1P).3,1(),32,0()3,1(),32,0(),0,2(2坐标为符合条件的点综上所述P，PCB答图1A A-2-2Bx x2 2C Cy yO O(P(P1 1)P P2 2Q Q060二、解题过
15、程2 2、解答过程：、解答过程：解 ：（3）2当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使APO=30的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个如答图2所示，以AO为弦，AO所对的圆心角等于60的圆共有2个，记为 Q，Q，点Q，Q关于x轴对称点点P 在这两个圆被在这两个圆被X轴截成的两段优弧中（不包括轴截成的两段优弧中（不包括A，O两两点），点），此时，P都满足0302121OAQAQOAPO点P的个数情况如下：）有1个：直线BC与 Q（或 Q）相切；）有2个：直线BC只与 Q（或 Q）相交；直线直线BC同时与两圆同时与两圆都相交且与弦都相交且与弦AO相交（包括相交（包括A，O两点）两点）
16、；）有3个：直线BC与 Q（或 Q）相切，同时与 Q（或 Q）相交；）有4个：直线BC同时与 Q、Q 都相交，同时直线BC不与AO相交，且不过两圆的交点.三、总结提升1 1、解答方法：、解答方法：我们从不同角度分析本题的不同解法，即一题多解，有利于沟通相关知识的联系，培养学生的发散性思维。构造法解题是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法。它是数学解题方法中很重要的一种方法，但构造法包含的内容也很多，在解题中的应用也是千变万化。而本题应用的是构造图形法，即以APO=30为前提，构造以AO为弦的圆，其目的是通过这个图形直观地揭示已知与未知的关系
17、，确定论证点P的位置，使证题的思路豁然开朗，有利于培养学生的创新思维能力。2 2、数学思想：、数学思想：数形结合、方程思想、化归思想、分类讨论思想、构造思想等。三、总结提升3 3、反思提升：、反思提升：培养敢于质疑、挑战权威的勇气。对于命题者提供的第（3）小题的答案中有三个地方值得与大家商榷。（注）（注）理由：1、点P 在 Q、Q 这两个圆被X轴截成的两段劣弧中，都只能使 2、点 P与点A或点O重合时，APO不存在.所以应改为：点点P 在这两个圆被在这两个圆被 X轴截成的两段优弧中（不包括轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时，两点），此时，P都满都满足足,1500APO0302121O
18、AQAQOAPOP三、总结提升3 3、反思提升：、反思提升：培养敢于质疑、挑战权威的勇气。（注）（注）理由：当点P与点A或点O重合时，APO不存在，使APO=30的点的点P只有两个。只有两个。所以应改为：答案中的“直线直线BC过过 Q与与 Q的一的一个交点，同时与两圆都相交个交点，同时与两圆都相交”部分应属于第2类；（注）（注）理由：直线BC同时与 Q、Q 都相交且不过两圆交点，有两种情形：第一种：当直线BC同时与两圆都相交且不与弦AO相交时点P有4个;第二种：当直线BC与两圆都相交且与弦AO相交，并不过两圆的交点时，虽说有四个交点，但与劣弧虽说有四个交点，但与劣弧AO相交的两个点相交的两个点
19、P，都只能使，都只能使 不符合题意，不符合题意，所以点P的个数也只有2个。(此情形应属于第2类)所以应改为：）有）有4个：直线个：直线BC同时与两圆都相交且不与弦同时与两圆都相交且不与弦AO相交相交.,1500APO三、总结提升4 4、拓展价值：、拓展价值：“活”“动”周密严谨 1、体现在“活”与“动”两个字的关系。“活”是通过“动”来实现的。一方面表现在两个“动”，点在直线上运动，直线又在平面上平移；另一方面表现在以平面坐标为依托，兼顾几何、代数两大方向，知识涵盖面宽，方法包容性强，拓展辐射作用大。这种动态的几何题题型新颖、灵活性强，有区分度，受到师生的高度关注，更得到命题者的青睐。教者应立足平时，强化训练，这有利于培养学生的动态思维，有利于提高学生的图形想象能力。2、体现在“周密”、“严谨”两个词。“周密”就是有利于培养学生周到细密的分析问题和解决问题的习惯；“严谨”就是有利于提高学生追求细致、周全、完美的逻辑思维能力。总之，教学中，应充分挖掘此类题型的功能，给足学生充分交流和合作探究的时间与空间，积极引导学生认真审题、分析题意，理清思路、周密解答，有利于培养学生自主探究兴趣和习惯，有利于提高学生的发散和创新等思维能力。谢谢大家！
