1、 - 1 - 雅安市高中雅安市高中 20172017 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试 数学试题（理科）数学试题（理科） （本试卷满分（本试卷满分 150150 分，答题时间分，答题时间 120120 分钟）分钟） 注意事项：注意事项： 1.1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.50.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上, , 并检查条形码粘贴是否正确并检查条形码粘贴是否正确. . 2.2.选择题使用选择题使用 2B2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选
2、择题用 0.50.5 毫米黑色墨毫米黑色墨 水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效题无效. . 3.3.考试结束后，将答题卡收回考试结束后，将答题卡收回. . 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四在每小题给出的四个选项中，只有一个选项中，只有一 个是符合题目要求的个是符合题目要求的. . 1.1.已知集合已知集合 |1Ax x， 2 |log1Bxx，则，则BA A.
3、A.2xx B.B.1xx C. C. 20 xx D.D.10 xx 2.2.复数复数z满足满足i i z 1 ，其中，其中i是虚数单位，是虚数单位，则则z A.A.i1 B.B.i1 C.C.i1 D.D.i1 3.3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的次试验，测得的 数据如下数据如下, ,根据下表可得回归方程根据下表可得回归方程 118y x ，则实数，则实数a的值为的值为 零件数零件数x（个）（个） 2 3 4 5 加工时间加工时间y（分钟）（分钟） 3030 a 4040 505
4、0 A A3434 B B35 C35 C3636 D D3737 44设不为设不为 1 1 的实数的实数a，b，c满足：满足：0abc，则，则 A A loglog ca bb B B bb ac C C ac bb D Dloglog aa bc 5.5.如图所示的图象对应的函数解析式可能是如图所示的图象对应的函数解析式可能是 A A 2 2 x yxx e B B 2sin 41 x x y x C C ln x y x D D 2 21 x yx 6.6.已知平面已知平面平面平面 ， 是是 内的一条直线，内的一条直线， 是是 内的一条直线，且内的一条直线，且 ，则，则 A. A. B.
5、 B. C. C. 或或 D. D. 且且 - 2 - 7.7.公元公元 263263 年左右年左右, ,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时, ,多边形面积可多边形面积可 无限逼近圆的面积无限逼近圆的面积, ,并创立了“割圆术”并创立了“割圆术”. .如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序 框图框图, ,则输出则输出 n n 的值为的值为.(.(参考数据：参考数据：sin150.2588,sin7.50.1305 ） A A18 B B24 C C30 D D36 8.8.已知非
6、零向量已知非零向量a、b满足满足ba2，且，且bba )(，则，则a与与b的夹角为的夹角为 A A 6 B B 4 C C 3 D D 3 2 9.9.已知直线已知直线xy被圆被圆 M M：0 22 Eyyx0E所截得的弦长为所截得的弦长为22，且圆，且圆 N N 的方程为的方程为 0122 22 yxyx, ,则圆则圆 M M 与圆与圆 N N 的位置关系为的位置关系为 A. A. 相离相离 B. B. 相交相交 C.C.外切外切 D. D. 内切内切 10.10. 函 数函 数)0)( 6 sin()( xxf在在x处 取得 最大值处 取得 最大值 , ,则则)3()2(ff的 值 为的
7、值 为 A.1 B.0 C.A.1 B.0 C.- -1 D.1 D.3 11.11.已知函数已知函数xxf 3 log)(，函数，函数)(h x是最小正是最小正周期为周期为 2 2 的偶函数，且当的偶函数，且当1 , 0x时，时， ( )31 x h x . .若函数若函数)()(xhxfky有有 3 3 个零点，则实数个零点，则实数k的取值范围的取值范围是是 A A)3log2 , 1 ( 7 B B) 3log2, 2( 5 C C) 1, 3log2( 5 D D) 2 1 , 3log( 7 12.12.已知已知A,B,CA,B,C是双曲线是双曲线 )0, 0( 1 2 2 2 2
8、ba b y a x 上的三个点上的三个点, ,直线直线ABAB经过原点经过原点O O,AC,AC经过右经过右 焦点焦点 F,F,若若0ACBF ，且，且ACAF 4 1 ，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为 A. A. 2 5 B. B. 3 2 C.C. 3 10 D. D. 2 10 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 13. 5 a xxR x 展开式中展开式中 3 x的系数为的系数为 1010，则实数，则实数a等于等于_（用数字作答）（用数字作答） 14.14.ABC的内角的内角A、
9、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c，若，若sincos0baCC，则，则 A=_=_ 15.15.已知四棱锥已知四棱锥ABCDM ，ABCDMA平面，BCAB，180BADBCD， - 3 - 2MA，62BC，30ABM. .若四面体若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则的四个顶点都在同一个球面上，则 该球的表面积为该球的表面积为_ 16.16.设点设点P为为函数函数axxxf2 2 1 )( 2 与与)0(ln3)( 2 abxaxg的图像的公共点的图像的公共点， 以， 以P为切为切 点可作直线与两曲线都相切，则实数点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为的最大值为_ 三
10、三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(1217.(12 分分) )某花圃为提高某品种花苗质量， 开展技术创新活动，某花圃为提高某品种花苗质量， 开展技术创新活动， 在在,A B实验地分别用甲、乙方法培育该品实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗种花苗. .为观测其生为观测其生 长情况，分别在实验地随机抽取各长情况，分别在实验地随机抽取各 5050 株，对每株进行综合评株，对每株进行综合评 分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，分，将每株所得的综合评分制
11、成如图所示的频率分布直方图， 记综合评分为记综合评分为 8080 分及以上的花苗为优质花苗分及以上的花苗为优质花苗. . （1 1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在）用样本估计总体，以频率作为概率，若在,A B两块实验两块实验 地随机抽取地随机抽取 3 3 株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望； （2 2）填写下面的列联表，并判断是否有）填写下面的列联表，并判断是否有 99%99%的把握认为优质花苗与培育方法的把握认为优质花苗与培育方法有关有关. . 优质花苗优质花苗 非优质花苗非优质花苗 合计合计 甲培育法甲培育法 2
12、020 乙培育法乙培育法 1010 合计合计 （参考公式：（参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中，其中na b cd ） 18.(1218.(12 分分) ) 已知数列已知数列 n a, ,是一个等差数列是一个等差数列, ,且且3 3 a, ,7 52 aa, ,数列数列 n b是各项均为正是各项均为正 数的等比数列数的等比数列, ,且满足且满足: : 256 1 , 2 1 531 bbb. . （1 1）求数列）求数列 n a与与 n b的通项公式的通项公式; ; （2 2）设数）设数 n c列满足列满足 nnn bac ，其前，其前
13、 n n 项和为项和为 n T 求证 求证: :2 n T 19.(1219.(12 分分) )如图，菱形如图，菱形ABCD与正三角形与正三角形BCE的边长均为的边长均为 2 2， 它们所在平面互相垂直，它们所在平面互相垂直，FD 平面平面ABCD，EF平面平面ABCD （1 1）求证：平面）求证：平面ACF 平面平面BDF； （2 2）若）若60CBA，求二面角，求二面角A BCF的大小的大小 20.(1220.(12 分分) )己知函数己知函数 lnf xxax aR，它的导函数为，它的导函数为 fx （1 1）当）当1a 时，求时，求 fx 的零点；的零点； （2 2）若函数）若函数 f
14、 x存在极值点，求存在极值点，求a的取值范围的取值范围 P(KP(K 2 2k k0 0） 0.0500.050 0.0100.010 0.0010.001 k k0 0 3.8413.841 6.6356.635 10.82810.828 - 4 - 21.(1221.(12 分分) )在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点 M M（- -2,02,0） ，） ，N N（2,02,0） ，动点） ，动点 P Pyx,满足直线满足直线 MPMP 与直与直 线线 NPNP 的斜率之积为的斜率之积为 4 1 -. .记动点记动点 P P 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 C.C. （1 1）
15、求曲线）求曲线 C C 的方程，并说明的方程，并说明 C C 是什么曲线；是什么曲线； （2 2）过点）过点( (3,0),0)作直线作直线l与曲线与曲线 C C 交于不同的两点交于不同的两点 A,B,A,B,试问在试问在 x x 轴上是否存在定点轴上是否存在定点 Q,Q,使得使得 直线直线 QAQA 与直线与直线 QBQB 恰好关于恰好关于 x x 轴对称轴对称? ?若存在若存在, ,求出点求出点 Q Q 的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答两题中任选一题作答. . 注意：只能做所选定的题目注意：只能做所
16、选定的题目. .如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B2B 铅笔在铅笔在 答题答题卡上将所选题号后的方框涂黑卡上将所选题号后的方框涂黑. . 2222(10(10 分分)选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系在直角坐标系xOy中中，曲线曲线 1 C的参数方的参数方程为程为 sin2 cos22 y x ( (为参数为参数) )，以原点以原点O为为 极点极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程的极坐标方程为为sin4. . （1 1）求曲线求曲线
17、1 C的普通方程和的普通方程和 2 C的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2 2） 已知曲线已知曲线 3 C的极坐标方程为的极坐标方程为),0(R， 点点A是是曲线曲线 3 C与与 1 C的交点 ， 点的交点 ， 点B 是曲线是曲线 3 C与与 2 C的交点，且的交点，且, A B均异于原点均异于原点O，且且4 2AB ，求求的值的值. . 23.(1023.(10 分分)选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 已知已知( )22f xaxx. . （1 1）在）在2a时，解不等式时，解不等式( )1f x ； （2 2）若关于）若关于x的不等式的不等式4( )4f x 对对xR恒成立
18、，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. . - 5 - 雅安市高中雅安市高中 20172017 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考解答及评分意见数学试题（理科）参考解答及评分意见 一、一、选择题（每小题选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） DACBA CBCBA BD 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13、2 14、 3 4 15、40 16、 2 3 3 2 e 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17（12 分）分） 解解： （1）由频率分布直方图可知）由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为优质花
19、苗的频率为(0.040.02) 100.6,即概率为即概率为0.6. 设所抽取的花苗为优质花苗的株数为设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X,则则 3 5 3,XB ,于是于是 3 0 3 28 (0) 5125 P XC ； 2 1 3 3236 (1) 55125 P XC ； 2 2 3 3254 (2) 55125 P XC ； 3 3 3 327 (3) 5125 P XC . 其分布列为：其分布列为： X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 所以所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 39 ()3 55 E X （2
20、） 频率分布直方图） 频率分布直方图,优质花苗的频率为优质花苗的频率为(0.040.02) 100.6,则样本中优质花苗的株数为则样本中优质花苗的株数为 60 株株,列联表如下表所示：列联表如下表所示： 优质花苗优质花苗 非优质花苗非优质花苗 合计合计 - 6 - 1432 2 1 2 1 )1(. 2 1 3 2 1 2 2 1 1 2 1 nn n nnT 甲培育法甲培育法 20 30 50 乙培育法乙培育法 40 10 50 合计合计 60 40 100 可得可得 2 2 100(20 1030 40) 16.6676.635 60 40 50 50 K . 所以所以,有有 99%的把握
21、认为优质花苗的把握认为优质花苗与培育方法有关系与培育方法有关系 18（12 分）分） 解： （解： （1 1） n a 为等差数列为等差数列, ,设公差为设公差为d, , 74 32 11 1 dada da 1 1 1 d a ndnaan)1( 1 .3.3 分分 n b为等比数列为等比数列, ,0 n b , ,设公比为设公比为q, ,则则 0q , , 256 1 2 453 bbb 3 14 16 1 qbb nn n bq 2 1 2 1 2 1 , 2 1 1 66 分分 （2 2）由（由（1 1）得得 nnn bac = = n n 2 1 nnb abababaT. 3322
22、11n nn n nnT 2 1 2 1 )1(. 2 1 3 2 1 2 2 1 1 132 由 由- -得得: : 132 2 1 - 2 1 . 2 1 2 1 2 1 2 1 nn n nT - 7 - 1 2 1 2 1 1 2 1 -1 2 1 n n n nn n 2 1 2 1 2 1 111 1 分分 2 n T .12 分分 19（12 分）分） 解：（解：（1 1）在菱形）在菱形 ABCDABCD 中，中，ACACBDBD2 2 分分 FDFD平面平面 ABCDABCD，FDFDAC AC 又又错误!未找到引用源。；ACAC平面平面 BDFBDF4 4 分分 而而错误!未
23、找到引用源。； 平面平面 ACFACF平面平面 BDFBDF5 5 分分 (2)(2)取取 BCBC 中点中点 O O，连接，连接 EOEO，ODOD BCEBCE 为正三角形，为正三角形，EOEOBCBC 又平面又平面 BCEBCE平面平面 ABCDABCD 且交线为且交线为 BCBC EOEO平面平面 ABCDABCD7 7 分分 FDFDABCDABCD，EOEOFDFD 错误!未找到引用源。 平面平面错误!未找到引用源。 ， 错误! 未找到引用源。ODOD 四边形四边形 EODFEODF 为平行四边形；为平行四边形； FD=EO=FD=EO=错误!未找到引用源。 又在又在正三角形正三角
24、形 ABCABC 中，中，OAOABCBC 以以 OBOB、OAOA、OEOE 所在的直线分别为所在的直线分别为 x x、y y、z z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 B B （1 1， 0 0， 0 0） ，） ， C C （- -1 1， 0 0， 0 0） ，） ， F F （- -2 2， 错误!未找到引用源。 ， 错误!未找到引用源。 ） 8 8 分分 设平面设平面 BCFBCF 的一个法向量为的一个法向量为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用 源。 错误!未找到引用源。，令，令 y=1y=1，则，则 z=z=- -1 1，x=0x=0，得，得错误
25、!未找到引用源。 平面平面 BCDBCD 的一个法向量为的一个法向量为错误!未找到引用源。.10.10 分分 设二面角设二面角 A A- -BCBC- -F F 的平面角为的平面角为错误!未找到引用源。，则，则错误!未找到引用源。， 所以二面角所以二面角 A A- -BCBC- -F F 为为 4545；1212 分分 20（12 分）分） （1） f x的定义域为的定义域为0,， - 8 - 当当1a 时，时， 1 lnf xxx， 1 ln1fxx x .2 分分 易知易知 1 ln1fxx x 为为0,上的增函数，上的增函数，3 分分 又又 1ln1 1 10 f ，所以，所以1x 是是
26、 fx的零点的零点5 分分 （2） ln1ln xaa fxxx xx ， f x存在极值点，存在极值点，.6 分分 所以所以0ln-1x x a 有解有解 得得xxx lna设设xxxxln)(g，2ln)(gxx，9 分分 令令02lnx， 2 ex10 分分 ), 0 2 e（上上 g（x)减，减，),(e 2 上上 g(x)增增 2222 min ln)()( eeeegxg 2 - e, x,)(g x. 所以所以),)(g 2 ex 又当又当 2 ae 时，时， /( ) 0,fx 即即 ( )f x在 在(0 + )，上是增函数，所以上是增函数，所以( )f x没有极没有极值点值
27、点. 所以所以),( 2 ea12 分分 21（12 分）分） （1）由题设可得）由题设可得 , 2 x y KMP 2 x y KNP ，2x.1 分分 则则 4 1 22 x y x y 2x 化简得化简得 . 1 4 2 2 y x 2x3 分分 所有所有 C 为中心在坐标原点，焦点在为中心在坐标原点，焦点在 X 轴上的椭圆，不含左右顶点。轴上的椭圆，不含左右顶点。4 分分 (2)存在定点存在定点 0 , 3 34 Q,满足直线满足直线 QA 与直线与直线 QB 恰好关于恰好关于 x 轴对称轴对称. .5 分分 由题设知，直线由题设知，直线 l 的斜率不为的斜率不为 0， 设直线设直线l
28、的方程为的方程为 x+my- 3=0, 与椭圆与椭圆 C 的方程联立得的方程联立得 整理得整理得 01324 22 myym设设 A(x1,y1),B(x2,y2),定点定点 Q(t,0)(依题意依题意 tx1,tx2). 由根与系数的关系可得由根与系数的关系可得, , 4 1 , 4 32 2 21 2 21 m yy m m yy 7 分分 - 9 - 直线直线 QA 与直线与直线 QB 恰好关于恰好关于 x 轴对称轴对称,则直线则直线 QA 与直线与直线 QB 的斜率互为相反数的斜率互为相反数, 所以所以0 2 2 1 1 tx y tx y 即即 0 1221 txytxy .9 分分
29、 又又03, 03 2211 myxmyx 所以所以03-3 1221 tmyytmyy整理得整理得, 02-3 2121 ymyyyt 10 分分 从而可得从而可得 0 4 1 2 4 32 -3 22 m m m m t即即, 0342tm 所以当所以当 3 34 t,即即 0 , 3 34 Q时时,直线直线 QA 与直线与直线 QB 恰好关于恰好关于 x 轴对称轴对称. .11 分分 所以，在所以，在x轴上轴上存在点存在点, 0 , 3 34 Q满足直线满足直线 QA 与直线与直线 QB 恰好关于恰好关于 x 轴对称轴对称12 分分 2222（10 分）分） （1 1）由由 22cos
30、2sin x y 消去参数消去参数可得可得 1 C普通方程为普通方程为 2 2 24xy，2 2 分分 4sin， 2 4 sin，由由 cos sin x y ，得曲线，得曲线 2 C的直角坐标方程为的直角坐标方程为 2 2 24xy；5 5 分分 （2 2）由由（1 1）得曲线得曲线 2 2 1: 24Cxy，其极坐标方程为，其极坐标方程为4cos，6 6 分分 由题意设由题意设 12 ,AB ，则则 12 4 sincos4 2 sin4 2 4 AB ，8 8 分分 sin1 4 ， 42 kkZ ，0， 3 4 . . 1010 分分 2323（10 分）分） 解： （解： （1 1
31、）在）在2a时，时，2221xx. . 1 1 分分 在在1x时，时，(22)(2)1xx，15x； 在在2x时，时，(22)(2)1xx，3x，x无解；无解； 在在21x 时，时，(22)(2)1xx， 1 3 x ， 1 1 3 x. .4 4 分分 - 10 - 综上可知：不等式综上可知：不等式( )1f x 的解集为的解集为 1 |5 3 xx. .5 5 分分 （2 2）224xax恒恒成立，成立，6 6 分分 而而22(1)xaxa x，或，或22(1)4xaxa x， 故只需故只需(1)4a x恒恒成立，或成立，或(1)44a x恒成立，恒成立，9 9 分分 1a或或1a .a的取值为的取值为1或或1. .1010 分分
