1、10.2排列与组合大一轮复习讲义第十章计数原理NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1基础知识 自主学习PART ONE知识梳理1.排列与组合的概念ZHISHISHULIZHISHISHULI名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照 排成一列组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示.所有不同排列所有不同组合_
2、公式(1)_ 性质(3)0！；_ 3.排列数、组合数的公式及性质n(n1)(n2)(nm1)1n！_【概念方法微思考】1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？(2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些
3、元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.基础自测JICHUZICEJICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)(n1)！n！nn！.()123456123456题组二教材改编2.P27A组T76把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A.14
4、4 B.120 C.72 D.24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，1234563.P19例4用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A.8 B.24 C.48 D.120123456题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A.192种 B.216种C.240种 D.288种所以共有12096216(种)排法.1234565.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为A.180 B.240 C.540 D.630故不同
5、的选派方案种数为9036090540.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.(用数字作答)解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种).451234562题型分类深度剖析PART TWO题型一排
6、列问题1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有A.96个 B.78个 C.72个 D.64个自主演练自主演练因此共有542478(个)这样的五位数符合要求.故选B.2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答)解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，1 5603.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法.480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置
7、，分为两步：方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.思维升华例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；题型二组合问题师
8、生共研师生共研解分两步完成：(2)至少有1名女运动员；解方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.(3)队长中至少有1人参加；解方法一(直接法)可分类求解：(4)既要有队长，又要有女运动员.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解
9、.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解方法
10、一(间接法)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二(直接法)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.题型三排列与组合的综合问题 多维探究多维探究命题点1相邻问题例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为A.2 B.9 C.72 D.36 命题点2相间问题例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72 B.120 C.144 D.168解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相
11、声，小品1，小品2”.故共有363648120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例4 (2018浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A，B，C，D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事B项工作，则不同的分配方案的种数为A.96 B.120 C.132 D.240所以一共有362472132(种)分配方案.解排列、组合问题要遵循的两个原则按元素(位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).思维升华跟踪训练2 (1)把5件不同的
12、产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种.36(2)(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_种不同的选法.(用数字作答)6603课时作业PART THREE基础保分练123456789101112131415161.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有A.360种 B.480种 C.600种 D.720种1234567891011
13、12131415162.(2018浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同的分配方案种数为A.12 B.36 C.72 D.108123456789101112131415163.(2018浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有A.18种 B.12种 C.36种 D.24种由分类加法计数原理可得总的方案为24种，故选D.123456789101112131415164.(2018杭州七校联考
14、)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为 A.1 B.2 C.3 D.4x219x700，x5或x14(舍去)，红色卡片的张数为10352.故选B.123456789101112131415165.(2019台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A.144 B.216 C.288 D.432根据分步乘法计数原理得排法共有1824432(种)，故选D.123456789101112131
15、415166.(2018浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是A.252 B.253 C.222 D.22312345678910111213141516有两组人数相同的人数组合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，1
16、1，2)，则有两组人数相同的情况共有10330种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253130222种.故选C.123456789101112131415167.(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)综上，四位数的个数为7205401 260.1 260123456789101112131415168.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答)60123456789101112131415169
17、.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答)故不同的发言顺序共有1210120(种).1201234567891011121314151610.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_个.解析由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，240根据分步乘法计数原理知，有604240(个).1234567891011121314151611.(2018温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，
18、其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有_种情况.336 1234567891011121314151612.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法.(用数字作答)114故有901872(种)，根据分类加法计数原理可知，共有4272114(种).技能提升练1234567891011121314151613.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为A.120 B.24
19、0 C.360 D.4801234567891011121314151614.设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有 但当大数为底时，设ab，必须满足ba2b，此时，不能构成三角形的数字是12345678910111213141516解a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c1，2，3，9.a98765432b4，3，2，14，3，2，13，2，13，2，11
20、，21，21112345678910111213141516综上，nn1n2165.拓展冲刺练1234567891011121314151615.设集合A(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，6，7，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x7|4”的元素个数为A.938 B.900 C.1 200 D.1 300解析A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个1，仅有2个1，仅有3个1或仅有4个1，16.(2018浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有_种不同的排法(用数字回答).12345678910111213141516408故符合条件的排法共有48072408(种).
