1、高考大题满分规范（一）函数与导数类解答题【典型例题典型例题 】(12(12分分)(2019)(2019全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-ax-ax2 2+b.+b.(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性.(2)(2)是否存在是否存在a,b,a,b,使得使得f(x)f(x)在区间在区间0,10,1的最小值为的最小值为-1-1且最大值为且最大值为1?1?若存在若存在,求出求出a,ba,b的所有值的所有值;若不存在若不存在,说说明理由明理由.【题目拆解题目拆解】本题可拆解成以下几个小问题本题可拆解成以下几个小问题:(1)(1)求函数求函数f(x)=2xf
2、(x)=2x3 3-ax-ax2 2+b+b的导数的导数;利用分类与整利用分类与整合思想判断函数的单调性合思想判断函数的单调性.(2)(2)对对a a分类讨论分类讨论,求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间;分别求分别求函数函数f(x)f(x)的最值的最值,列出关于列出关于a,ba,b的方程组的方程组;解方程组解方程组,判断判断a,ba,b是否符合相应区间是否符合相应区间.【标准答案标准答案】【解析解析】(1)(1)对对f(x)=2xf(x)=2x3 3-ax-ax2 2+b+b求导得求导得f(x)=6xf(x)=6x2 2-2ax=6x .-2ax=6x .所以有当所以有当a0a0
3、a0时时,(-,0),(-,0)区间上单调递增区间上单调递增,区间上单调区间上单调递减递减,区间上单调递增区间上单调递增.a30，a3，(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间0,10,1有最大值有最大值1 1和最小值和最小值-1,-1,所以所以若若a0,a0,区间上单调递增区间上单调递增,区间上单调递区间上单调递减减,(0,+),(0,+)区间上单调递增区间上单调递增;此时在区间此时在区间0,10,1上单调上单调递增递增,所以所以f(0)=-1,f(1)=1f(0)=-1,f(1)=1代入解得代入解得b=-1,a=0,b=-1,a=0,与与a0a0矛矛盾盾,所以所以a0a0不成立不成立.
4、a3，a3，0若若a=0,(-,+)a=0,(-,+)区间上单调递增区间上单调递增;在区间在区间0,1.0,1.所以所以f(0)=-1,f(1)=1f(0)=-1,f(1)=1代入解得代入解得 a0b1.，若若0a2,(-,0)0a2,(-,0)区间上单调递增区间上单调递增,区间上单调区间上单调递减递减,区间上单调递增区间上单调递增.即即f(x)f(x)在区间在区间 单调单调递减递减,在区间在区间 单调递增单调递增,所以区间所以区间0,10,1上最小值上最小值为为f ,f ,而而f(0)=b,f(1)=2-a+bf(0),f(0)=b,f(1)=2-a+bf(0),故所以区间故所以区间0,10
5、,1上最大值为上最大值为f(1).f(1).a30，a3，a30，a13，a3即即 相减得相减得2-a+=2,2-a+=2,即即a(a-3 )(a+3 )=0,a(a-3 )(a+3 )=0,又因为又因为0a2,0a2,所以无解所以无解.若若2a3,(-,0)2a3,(-,0)区间上单调递增区间上单调递增,区间上单调区间上单调递减递减,区间上单调递增区间上单调递增.32aa2ab1332ab1 ，3a2733a30，a3，即即f(x)f(x)在区间在区间 上单调递减上单调递减,在区间在区间 上单调上单调递增递增,所以区间所以区间0,10,1上最小值为上最小值为f ,f ,而而f(0)=b,f(
6、1)=2-a+bf(0),f(0)=b,f(1)=2-a+bf(0),所以区间所以区间0,10,1上最大值为上最大值为f(0).f(0).即即 相减得相减得 =2,=2,a30，a13，a332aa2ab133b1 ，3a27解得解得a=3 ,a=3 ,又因为又因为2a3,23,(-,0)a3,(-,0)区间上单调递增区间上单调递增,区间上单调递减区间上单调递减,区间上单调递增区间上单调递增.所以有所以有f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上单调递减上单调递减,32a30，a3，所以区间所以区间0,10,1上最大值为上最大值为f(0),f(0),最小值为最小值为f(1),f(1),即即 解
7、得解得 综上得综上得 b12ab1，a4b1.，a0a4b1b1.，或【阅卷现场阅卷现场】第第(1)(1)问问第第(2)(2)问问得得分分点点 1 11 11 11 11 11 12 22 21 11 14 4分分8 8分分第第(1)(1)问踩点得分说明问踩点得分说明求导正确得求导正确得1 1分分;区间正确得区间正确得1 1分分;区间正确得区间正确得1 1分分;区间正确得区间正确得1 1分分;第第(2)(2)问踩点得分说明问踩点得分说明求解正确得求解正确得1 1分分;结果正确得结果正确得1 1分分.结果正确得结果正确得2 2分分;结果正确得结果正确得2 2分分;结果正确得结果正确得1 1分分;
8、写出最终结论得写出最终结论得1 1分分.【高考状元高考状元满分心得满分心得】1.1.正确运用公式正确运用公式牢记求导公式与法则牢记求导公式与法则,正确求导是关键正确求导是关键.2.2.分类讨论要全面分类讨论要全面含参问题分类讨论是难点含参问题分类讨论是难点,做到合理分类做到合理分类,不重不漏是不重不漏是重点重点.如本例中就多次出现分类与整合思想在解题中的如本例中就多次出现分类与整合思想在解题中的应用应用.3.3.定义域优先在利用导数讨论函数的单调区间时定义域优先在利用导数讨论函数的单调区间时,首先首先要确定函数的定义域要确定函数的定义域,解决问题时必须在定义域内进行解决问题时必须在定义域内进行
9、.在对函数划分单调区间时在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于除了必须确定使导数等于0 0的点的点(导函数的零点导函数的零点)外外,还要注意定义域内不连续点和还要注意定义域内不连续点和不可导点不可导点.4.4.利用导数求闭区间上连续函数的最值利用导数求闭区间上连续函数的最值(1)(1)当函数在当函数在a,ba,b上连续上连续,在在(a,b)(a,b)内可导时内可导时,关键是掌关键是掌握求最值的步骤握求最值的步骤:先求导数为先求导数为0 0的点的函数值的点的函数值,再与区间再与区间端点处的函数值进行比较端点处的函数值进行比较,最后取最值最后取最值.(2)(2)函数在函数在a,ba,b上间
10、断上间断,或在或在(a,b)(a,b)上连续上连续,不一定有最不一定有最值值.(3)(3)要注意灵活运用其他方法求最值要注意灵活运用其他方法求最值,求导不一定最简求导不一定最简单单.【跟踪演练跟踪演练感悟体验感悟体验】1.(20191.(2019浙江高考浙江高考)已知实数已知实数a0,a0,设函数设函数f(x)=aln xf(x)=aln x+,x0.+,x0.(1)(1)当当a=-a=-时时,求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.x134(2)(2)对任意对任意x x 均有均有f(x),f(x),求求a a的取值范围的取值范围.注注:e=2.718 28:e=2.718 28为自
11、然对数的底数为自然对数的底数.【命题意图命题意图】本题主要考查函数的单调性本题主要考查函数的单调性,导数的运算导数的运算及其应用及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.21e，x2a【解析解析】(1)(1)当当a=-a=-时时,f(x)=-ln x+,x0.,f(x)=-ln x+,x0.f(x)=-+,f(x)=-+,所以所以,函数函数f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,3),(0,3),单调递增区间单调递增区间为为(3,+).(3,+).343434x1x22 1x112 1x4x 1x1x(2)(2)由由f(1),f(1),得得0
12、a .0a .当当0a 00,q(x)=+10,故故q(x)q(x)在在 上单调递增上单调递增,所以所以q(x)q .q(x)q .由由()()得得q =p(1)=0.q =p(1)=0.所以所以,q(x)0.,q(x)0.g(t)g =0.ln x2x211e7，17172 712 7p777 11x q xx由由()()()()得对任意得对任意x ,t2 ,+),x ,t2 ,+),g(t)0,g(t)0,即对任意即对任意x ,x ,均有均有f(x).f(x).综上所述综上所述,所求所求a a的取值范围是的取值范围是 .21e，221e，x2a204，2.2.已知函数已知函数f(x)=ef
13、(x)=e2x-32x-3-2x.-2x.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间与最小值的单调区间与最小值.(2)(2)是否存在实数是否存在实数x,y,x,y,使得使得f(x)+2x(x+y+1)(x-y-2)f(x)+2x(x+y+1)(x-y-2),若存在若存在,求求x,yx,y的值的值;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.1x2【解析解析】(1)f(x)=2e(1)f(x)=2e2x-32x-3-2,-2,令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=;x=;令令f(x)0,f(x)0,得得x ;x0,f(x)0,得得x .x .323232故故f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递
14、减区间为 ,单调递增区间为单调递增区间为 ,当当x=x=时时,f(x),f(x)取最小值取最小值f(x)f(x)minmin=-2.=-2.32，32，32(2)(2)易证易证mn ,mn ,则则(x+y+1)(x-y-2)(x+y+1)(x-y-2)=,=,当且仅当当且仅当x+y+1=x-y-2,x+y+1=x-y-2,即即y=-y=-时时,取等号取等号.2mn22xy 1xy22 22x14（）32f(x)+2x=ef(x)+2x=e2x-32x-3,则则e e2x-32x-3 ,令令t=2x-1(t0),t=2x-1(t0),则则e et-2t-2 t t2 2,即即t-22ln t-2ln 2.t-22ln t-2ln 2.设设g(t)=t-2-(2ln t-2ln 2)(t0),g(t)=t-2-(2ln t-2ln 2)(t0),则则g(t)=,g(t)=,当当0t20t2时时,g(t)0,g(t),g(t)2t2时时,g(t)0,g(t),g(t)0,g(t)单调递增单调递增.故故g(t)g(t)minmin=g(2)=0,=g(2)=0,则则g(t)0,g(t)0,又又t-22ln t-2ln 2,t-22ln t-2ln 2,即即g(t)0,g(t)0,从而从而g(t)=0,g(t)=0,即即t=2.t=2.综上综上,x=,y=-.,x=,y=-.3232
