1、12.2 2.2 内压薄壁容器设计内压薄壁容器设计重点：重点：薄膜理论及其应用薄膜理论及其应用 难点：难点：1.回旋壳体的应力分析回旋壳体的应力分析 2.内压薄壁容器强度计算内压薄壁容器强度计算2回转壳体回转壳体由回转曲面作中间面形成的壳体。由回转曲面作中间面形成的壳体。回转曲面回转曲面由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转一周所形成的曲面。一周所形成的曲面。中中间面间面平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间面。中间面与平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间面。中间面与壳体内外表面等距离，它代表了壳体的几何特性。壳体内外表面等距离，它代表了壳体的几何特性。
2、2.2.1 回转壳体的几何特性回转壳体的几何特性(1)、基本概念基本概念轴对称轴对称几何形状、约束条件和所受外力都对称于回转轴。几何形状、约束条件和所受外力都对称于回转轴。3轴对称问题轴对称问题几何形状几何形状所受外力所受外力约束条件约束条件均对称于回转轴均对称于回转轴环工用压力容器通常环工用压力容器通常都属于轴对称问题都属于轴对称问题本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体4母线母线形成回转壳体中间面的形成回转壳体中间面的那条直线或平面曲线。那条直线或平面曲线。如图所示的回转壳体即如图所示的回转壳体即由平面曲线由平面曲线ABAB绕绕OAOA轴旋轴旋转一周形成，
3、平面曲线转一周形成，平面曲线ABAB为该回转体的母线。为该回转体的母线。注意：母线形状不同注意：母线形状不同或与回转轴的相对位或与回转轴的相对位置不同时，所形成的置不同时，所形成的回转壳体形状不同。回转壳体形状不同。图图3-3 回转壳体的几何特性回转壳体的几何特性旋转壳体的几何概念：旋转壳体的几何概念：5经线经线通过回转轴的平面与中间通过回转轴的平面与中间面的交线，如面的交线，如ABAB、ABAB。经线与母线形状完全相同经线与母线形状完全相同法线法线过中间面上的点过中间面上的点M M且垂直且垂直于中间面的直线于中间面的直线n n称为中称为中间面在该点的法线。间面在该点的法线。（法线的延长线必与
4、回转（法线的延长线必与回转轴相交）轴相交）6纬线纬线以法线以法线NK为母线绕回转为母线绕回转轴轴OA回转一周所形成的回转一周所形成的园锥园锥法截面与中间面的法截面与中间面的交线交线CND圆圆K平行圆：垂直于回转轴平行圆：垂直于回转轴的平面与中间面的交线的平面与中间面的交线称平行圆。显然，平行称平行圆。显然，平行圆即纬线。圆即纬线。7第一曲率半径第一曲率半径R1第二曲率半径第二曲率半径R2中间面上任一点中间面上任一点M M 处经线的曲率处经线的曲率半径为该点的半径为该点的“第一曲率半径第一曲率半径”23211yyR 11MKR 通过经线上一点通过经线上一点M 的法线作垂直于经线的平面，其与中间面
5、相交形成的法线作垂直于经线的平面，其与中间面相交形成的曲线的曲线ME，此曲线在此曲线在M 点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径R2，第二曲率半径的中心落在回转轴上，其长度等于法线段第二曲率半径的中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2。22MKR 8曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!转角为9例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,RssKs0limR1sRMM10ytan)22(设y
6、arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由11曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(D),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线KDM1 把以 D 为中心,为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆,叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使 12小位移假设小位移假设直法线假设直法线假设不挤压假设不挤压假设壳体受力后，壳体中各点的位移远小于壁厚壳体受力后，壳体中各点的位移远小于壁厚，利用变形前尺寸代
7、替变形后尺寸利用变形前尺寸代替变形后尺寸壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保持为直线段，并且垂直于变形后的中间面仍保持为直线段，并且垂直于变形后的中间面。壳体各层纤维变形前后均互不挤压壳体各层纤维变形前后均互不挤压 假定材料具有连续性、均匀性和各向同性，即壳体是完全弹性的假定材料具有连续性、均匀性和各向同性，即壳体是完全弹性的(2)、无力矩理论（薄膜应力理论）基本假设、无力矩理论（薄膜应力理论）基本假设 13 经向应力，经向应力，MPa p p 工作压力，工作压力，MPa R R2 2 第二曲率半径，第二曲率半径，mm 壁厚，壁厚，mm用假想
8、截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径D D 处有垂直处有垂直于经线的于经线的法向圆锥面法向圆锥面截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。22pRm思考：为什么不能用横截面？思考：为什么不能用横截面？m2.2.2 回转壳体薄膜应力分析回转壳体薄膜应力分析(1)、薄膜应力理论的计算公式、薄膜应力理论的计算公式、截面法、截面法(见p77.图2-5)经向应力计算公式经向应力计算公式14Z轴上的合力为轴上的合力为Pz作用在截面上应力的合力作用在截面上应力的合力在在Z轴上的投影为轴上的投影为Nz在在Z 方
9、向的平衡方程方向的平衡方程pDPz24sinDNmz22pRmA、回转壳体的经向应力分析回转壳体的经向应力分析图图2-6 回转壳体上的径向应力分析回转壳体上的径向应力分析(2-2)0zzPN4sinDm02pD15pRRm21壳体的内外表面壳体的内外表面两个相邻的，通过壳两个相邻的，通过壳体轴线的体轴线的 经线平面经线平面两个相邻的，与壳体两个相邻的，与壳体正交的园锥法截面正交的园锥法截面 经向应力经向应力,MPa 环向应力，环向应力，MPa p 工作压力工作压力.MPa R1 第一曲率半径，第一曲率半径，mm R2 第二曲率半径第二曲率半径,mm 壁厚，壁厚，mmm、环向应力计算公式、环向应
10、力计算公式微体平衡方程式微体平衡方程式图图2-7 确定环向应力微元体的取法确定环向应力微元体的取法、截取微元体、截取微元体16微元体微元体abcd 的受力的受力上下面：上下面：内表面：内表面：p 环向截面：环向截面：m微元体受力放大图微元体受力放大图图图2-8 微小单元体的应力及几何参数微小单元体的应力及几何参数17内压力内压力p在微体在微体abcd上所产生的外力上所产生的外力的合力在法线的合力在法线n上的投影为上的投影为Pn 在在bc与与ad截面上经向应力截面上经向应力 的合的合力在法线力在法线n上的投影为上的投影为Nmn21dlpdlPn在在ab与与cd截面上环向应力截面上环向应力 的合力
11、的合力在法线在法线n 上的投影为上的投影为nNB、回转壳体的经向环向应力分析、回转壳体的经向环向应力分析图图2-9 回转壳体的环向应力分析回转壳体的环向应力分析2.22dSindlNmmn212sin2dndlNm18根据法线根据法线n n方向上力的平衡条件，得到方向上力的平衡条件，得到=0 nNnPmnN即即=0 （3-8）因为微体的夹角2d很小，因此取 2sin1d21d=112Rdl 2sin2d22d=222Rdl 代入式（3-8），并对各项均除以微元体的夹角微元体的夹角 和和 很小，可取很小，可取 1d2d（2-3）代入上式，各项均除以代入上式，各项均除以 整理得整理得pRRm21(
12、2-4)19薄膜理论它适用的范围是薄壳，同时还应满足以下条件：薄膜理论它适用的范围是薄壳，同时还应满足以下条件：回转壳体曲面在几何上是轴对称回转壳体曲面在几何上是轴对称,壳体厚度无突变；曲壳体厚度无突变；曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能（主要是（主要是E E和和）应当是相同的应当是相同的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的壳体边界的固定形式应该是自由支承的壳体边界的固定形式应该是自由支承的壳体在边界上无横向剪力和弯矩壳体在边界上无横向剪力和弯矩/D/Di i0.10.1或或D Do o/D
13、i 1.2 无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。(2)、薄膜理论的应用范围、薄膜理论的应用范围20pRRm2122pRm区域平衡方程式区域平衡方程式微体平衡方程式微体平衡方程式2.2.3 2.2.3 典型回转壳体的应力分典型回转壳体的应力分 析与薄膜理论的应用析与薄膜理论的应用（2-4）（2-2）211R，22DrR 由区域平衡方程式(1)、受内压的圆筒形壳体、受内压的圆筒形壳体图图2-10 受内压的圆筒形壳体受内压的圆筒形壳体22
14、讨论讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状：薄壁圆筒上开孔的有利形状 环向应力是经向应力环向应力是经向应力的的2 2倍，所以环向承受应倍，所以环向承受应力更大，环向上就要少削力更大，环向上就要少削弱面积，故开设椭圆孔时，弱面积，故开设椭圆孔时，椭圆孔之短轴平行于筒体椭圆孔之短轴平行于筒体轴线，见图轴线，见图图2-11 薄壁圆筒上开孔讨论讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小23（2）、受内压的球形壳体）、受内压的球形壳体讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、同同厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？厚度的圆筒壳的应力有
15、何不同呢？结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同直径、直径、同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这是球壳显著的优点。是球壳显著的优点。2412222byax22222xabby椭圆壳经线为一椭椭圆壳经线为一椭圆，圆，a a、b b分别为椭分别为椭圆的长短轴半径，圆的长短轴半径，其曲线方程其曲线方程yxaby22/324/1yaby23211yyR babaxaR42/322241)(（3）、受内压的椭球壳）、受内压的椭球壳、第一曲率半径、第一曲率半径R1(2-9)25如图，自任意点如图，自任意点A（x,y）作经线的垂线，交
16、回转轴作经线的垂线，交回转轴于于O点，则点，则OA即为即为R2，根，根据几何关系，可得据几何关系，可得bbaxaR2/122242)(、第二曲率半径第二曲率半径R2图2-12 椭球壳的应力分析(2-10)26)(2)(2)(2222442224222241baxaabaxabpbaxabp把把R1和和R2的表达式代入微体平衡方程及区域平衡的表达式代入微体平衡方程及区域平衡方程得：方程得：ma,b分别为椭球壳的长、短半径，分别为椭球壳的长、短半径，mm;x 椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离mm 其它符号意义与单位同前。其它符号意义与单位同前。、应力计算公式、应
17、力计算公式(2-11)(2-12)27由由 和和 的公式可知：的公式可知：m在在x=0处处)(2bapam在在x=a处处、椭圆形封头的应力分布、椭圆形封头的应力分布(1)(1)在椭圆形封头的中心在椭圆形封头的中心(x=0(x=0处处),),经向应力与环向应力相等。经向应力与环向应力相等。(2)(2)经向应力经向应力恒为正值，是拉应力。且最大值在恒为正值，是拉应力。且最大值在x=0处，最小值处，最小值在在x=a处处。(3)(3)周向应力最大值在周向应力最大值在x=0 x=0处，最小值在处，最小值在x=ax=a处。如处。如(图图2-13)2-13)2(2222bapapam28 顶点应力最大，经向
18、应力与环向应力是相等的拉应力。顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。应力值连续变化。应力值连续变化。pampapam2标准椭圆形封头标准椭圆形封头a/b=2在在x=0处处在在x=a处处图图2-15 椭圆形封头的应力分布椭圆形封头的应力分布结论29圆锥形壳半锥角为圆锥形壳半锥角为 ，A A点处半点处半径径r r，厚度为厚度为，则在，则在A A点处：点处：cos 21rRRcos2prm cospr（4）、受内压的锥形壳体）、受内
19、压的锥形壳体图图2-16 锥壳的应力分析锥壳的应力分析30锥形壳体环向应力是经向锥形壳体环向应力是经向应力两倍，随半锥角应力两倍，随半锥角a a的增的增大而增大大而增大角要选择合适，不宜太大角要选择合适，不宜太大cos4pDm cos2pD锥顶锥顶锥底各点应力锥底各点应力 锥形封头的应力分布锥形封头的应力分布结论：在锥形壳体大端在锥形壳体大端r=R 时，应力最大，在锥顶处，应力为时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因此，一般在锥顶开孔。零。因此，一般在锥顶开孔。31（5）、受液体静压作用的圆筒壳体）、受液体静压作用的圆筒壳体 1.1.沿底部边缘支承的圆筒沿底部边缘支承的圆筒(图图2-17)2-1
20、7)筒体上任一点的压力为筒体上任一点的压力为：由式由式(2-4)(2-4)得：得：环向应力环向应力 (2-17)而而径向应力径向应力为为0 0，因为轴向力直接传给了支座，只有气压，因为轴向力直接传给了支座，只有气压p po o才引起才引起 经向应力，如果容器是敞开的经向应力，如果容器是敞开的p po o，径向应力径向应力为为0 0。2.2.沿顶部边缘支承的圆筒沿顶部边缘支承的圆筒 (略略)gxppo21Dgxpo32【例例2-12-1】有一外径为219mm的氧气瓶，最小壁厚为=6.5mm,材质为40Mn2A,工作压力为15MPa,试求氧气瓶筒体壁内部的应力。解：解：氧气瓶筒体平均直径：氧气瓶筒
21、体平均直径：mm5.2125.62190DD经向应力：经向应力：MPa6.1225.645.212154pDm环向应力：环向应力：2.2455.625.212152pDMPa33【例例2-22-2】有一圆筒形容器，两端为椭圆形封头，已知圆筒平均直径D=2020mm,壁厚=20mm,工作压力p=2MPa。(1)试求筒身上的经向应力和环向应力 (2)如果椭圆形封头的a/b分别为2，和3，封头厚度为20mm，分别确定封头上最大经向应力与环向应力及最大应力所在的位置。2m 例例2-2附图（附图（1）34解：解：求筒体应力求筒体应力经向应力：经向应力：)(5.50204202024MPapDm 环向应力
22、：环向应力：)(101202202022MPapD 2 2求封头上最大应力求封头上最大应力a/b=2a/b=2时，时，a=1010mm,b=505mma=1010mm,b=505mm在在x=0处处)(101220210102)(2MPabapam )(5.50202101022MPapam 在在x=a处处)(101)42(20210102)2(222MPabapa 最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即x=0 x=0处；一处处；一处在椭圆形封头的底边，即在椭圆形封头的底边，即x=ax=a处。处。如如例例2-2附图（附图（2）a a所示。所示。35a
23、/b=a/b=时，时，a=1010mm,b=714mma=1010mm,b=714mm在在x=0处处)(4.71220210102)(2MPabapam )(5.50202101022MPapam 在在x=a处处0)22(20210102)2(222 bapa 最大应力在最大应力在x=0 x=0处，处，如如例例2-2附图（附图（2）b b所示。所示。236a/b=3 a/b=3 时，时，a=1010mm,b=337mma=1010mm,b=337mm在在x=0处处)(5.151320210102)(2MPabapam )(5.50202101022MPapam 在在x=a处处)(5.353)32(20210102)2(2222MPabapa 最大应力在最大应力在x=ax=a处，如处，如例例2-2附图附图(2)c(2)c所示。所示。37 例例2-2附图（附图（2）38思考题思考题题：题：5、6、
