1、1.3.2 1.3.2 杨辉三角杨辉三角新课引入新课引入1.二项式系数：二项式系数：2.通项：通项：下面我们来研究二项式系数有什么性质？下面我们来研究二项式系数有什么性质？nnrnnnnCCCCC,210），（其中（其中NN,01nrnrbaCTrrnrnr一般地，对于一般地，对于n N+有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项式定理二项式定理:计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数1234561615201561151010511464113311
2、211116152015611510105161441133112111二项式系数表二项式系数表详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 杨杨 辉辉 中国的数学发展到宋元时期，走到了一个高峰。11世纪中期，北宋人贾宪创制了一幅数字图。1261年，杨辉在其著作详解九章算法中引用了此图表，并注明了此图出至贾宪的皇帝九章算法细草。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。在西方，许多数学家的书中都记载过二项式系数表，1654年，法国数学家帕斯卡年最早建立了一般正整数次幂的二项式定理，因此“杨辉三角”在西方被称为“帕斯卡三角”，这比贾宪的图晚了近400年.
3、1.3.2 1.3.2 杨辉三角杨辉三角探究探究1 1：各行数有什么规律？：各行数有什么规律？探究新知探究新知每行两端都是每行两端都是1.反映了组合数的性质：反映了组合数的性质：.110nnnCC，每行中，与首末每行中，与首末两端两端“等距离等距离”的两个的两个数相等数相等.探究探究1 1：各行数有什么规律？：各行数有什么规律？探究新知探究新知反映了组合数的性质：反映了组合数的性质：.mnnmnCC每行两端都是每行两端都是1.反映了组合数的性质：反映了组合数的性质：.110nnnCC，对称性对称性 除除1外，每个数都等于它外，每个数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.探究探究2 2：上下
4、两行之间的数有什么关系？：上下两行之间的数有什么关系？探究新知探究新知反映了组合数的性质：反映了组合数的性质：.1-1mnmnmnCCC(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6探究探究3 3：各行数的增减性与最大值有什么规律？：各行数的增减性与最大值有什么规律？探究新知探究新知每行数先增后减；每行数先增后减；在中间项取得最大值：在中间项取得最大值：当当n为偶数时，中间一项最大；为偶数时，中间一项最大；当当n为奇数时，中间两项最大为奇数时，中间两项最大.当当n为偶数时为偶数时,展开式中间一项
5、展开式中间一项 的二项的二项式系数最大式系数最大.当当n为奇数时为奇数时,展开式中间两项展开式中间两项 与与 的二项式系数相等且最大的二项式系数相等且最大.二项式系数的最大值二项式系数的最大值 12nT21nT121nT(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6248163264122252324262探究探究4 4：各行数的和是多少？：各行数的和是多少？探究新知探究新知nnnnnnCCCC2210猜想：猜想：nnnnnnCCCC2210证明：证明：在展开式证明：在展开式 nnnnnnnnnnbCbaCbaCaCba222110)(中，令中，令a=1，b=1，得，
6、得nnnnnnCCCC2102二项式系数的和二项式系数的和 典型例题典型例题 例例1 1 证明在证明在 的展开式中，奇数项的二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和系数和等于偶数项的二项式系数和nba)(证明：在展开式证明：在展开式 nnnnnnnnnnbCbaCbaCaCba222110)(中，令中，令a=1，b=1，得，得nnnnnnnnCCCCC)1()11(3210)()(0531420nnnnnnCCCCCC即即.531420nnnnnnCCCCCC所以所以练习：练习：).(21420是偶数是偶数证明：证明：nCCCCnnnnnn典型例题典型例题 例例2 2 已
7、知已知 展开式的各项二项式系数和等于展开式的各项二项式系数和等于10241024，求展开式中含，求展开式中含 的项的项.nx)1(26x解：因为展开式的各项二项式系数和等于解：因为展开式的各项二项式系数和等于 ，n2所以所以 ，10242n得到得到 ，10nnx)1(2展开式的通项为展开式的通项为 rrrrrrrxCxCT22010102101)1()1()(由已知由已知，令，令 求得求得 ,6220r,7r所以所求项为所以所求项为 .120)1(667107xxC练习：练习：.1111311111CCC求求 例例3 3 求求 的展开式中二项式系数最大的项的展开式中二项式系数最大的项.8)1(
8、x典型例题典型例题解：因为解：因为 的幂指数的幂指数8为偶数，为偶数，x1.70)(44485xxCT所以展开式中间一项（第所以展开式中间一项（第5项）的二项式系数最大项）的二项式系数最大，该项为该项为 练习：练习：已知已知 的展开式中，只有第的展开式中，只有第6 6项的系数最大，项的系数最大，nxx331求展开式中的常数项求展开式中的常数项.一、知识：一、知识：二、方法：二、方法：课堂小结课堂小结观察归纳法、赋值法观察归纳法、赋值法二项式系数的性质二项式系数的性质1.对称性对称性2.3.增减性与最大值增减性与最大值4.二项式系数的和二项式系数的和.1-1mnmnmnCCC创新与联想创新与联想 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 11381321342.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
