1、2023-5-5研修班1平面向量的坐标表示学校：江苏省洪泽中学教师：傅 启 峰2023-5-5研修班2复 习1、平面向量基本定理的内容是什么？2、什么是平面向量的基底？2023-5-5研修班3平面向量的基本定理:向量的基底:不共线的平面向量 e1,e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1,2 使得a=1 e1+2 e22023-5-5研修班41在平面内有点A和点B，向量怎样表示？ABOxyija思考1:AB任一向量a，用这组基底能不能表示?2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i、j
2、能否作为平面向量的基底?2023-5-5研修班5ABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设 ，填空：,O Ai O Bj （1）|_,|_,|_;ijOC（2）若用 来表示 ，则：,i j,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量 能否由 表示出来？CD,i j 23CDij 2023-5-5研修班6探索1:以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？oPxya2023-5-5研修班74321-1-2-3-2246ij），（23P3 2(3,2)OPij O2023-5-5研修班84321
3、-1-2-3-2246ij），（yxP(,)O P xi yjxy 向量的坐标表示O向量 P（x，y）一 一 对 应O P 2023-5-5研修班9 在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2:Aoxyaa 可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.解决方案:2023-5-5研修班10OxyAijaxy+axiy j+OAxiy j 2023-5-5研修班11ABCDoxyija平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以 为基底，则,ij,i j x xy y 对对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量a a ，有有且且只只有有一一对
4、对实实数数、，可可使使 a ax x=i i +y yj j 这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作a(,)ax y其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。aa2023-5-5研修班121、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标形式.3、a=x i+y j=(x,y)4、其中 x、y 叫做 a 在X、Y轴上的坐标.单位向量 i=（1，0），j=（0，1）2023-5-5研修班13OxyijaA(x,y)a若a以为起点,两者相同向量a坐标（x，y）一 一 对 应思
5、考:3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1以原点O为起点作 ，点A的位置由谁确定?aOA 由a 唯一确定2点A的坐标与向量a 的坐标的关系？2121yyxxba 且且2023-5-5研修班14CO 例例1 1如如图图，已已知知A(-1,3),B(1,-3)A(-1,3),B(1,-3)，C(4,1)C(4,1)，D(3,4)D(3,4)，求求向向量量OA,OB,OA,OB,AO,OD,AO,OD,的的坐坐标标。xyBDCOA2023-5-5研修班15变形:如图，分别用基底 ，表示向量 、，并求出它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知122 3a AA AAij (2,3)a同理
6、b=-2i+3j=(-2,3);b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).d=2i-3j=(2,-3).2023-5-5研修班16 思考：已知你能得出 的坐标吗？1122(,),(,)ax ybx y,ab aba 平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)a bxx yya bxx yy 11(,)axy 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标2023-5-5研修班17探究3abyxoabx1x2x1+x2y1y2y1+y2已知a
7、=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)向量的加法：2023-5-5研修班18aboyxx1x2y1y2abx1x2y1y2已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)已知a=(x,y)和实数，则a=（x,y）向量的减法：同理可得数乘向量的坐标运算2023-5-5研修班19),(),(),(),(),(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：向量的坐标运算法则2023-5-5研修班20 练习:已知 求 的坐标。(2,1),(3,4)ab,34ab abab 2023-5-5研修班21 例2.
8、如图，已知求 的坐标。1122(,),(,)A xyB xyAB xyOBA解：AB OB OA 2211(,)(,)x yx y2121(,)x x yy 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论！2023-5-5研修班22例3.如图，已知 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCx yxyABDC 且且(1,2)(3,4)xy 1324 xy解得 x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，
9、2）2023-5-5研修班23例3.如图，已知 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得(2(1),1 3)(3(1),4 3)(3,1)BDBABC 而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD 所以顶点D的坐标为（2，2）2023-5-5研修班24变形:如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求第四个顶点的坐标。xyO(-2,1)(-1,3)(3,4)2023-5-5研修班25课堂小结:2 加、减法法则.a +b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)3 实数与向量积的运算法则：a=(x i+y j)=x i+y j 4 向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)1 向量坐标定义.则 =(x2 -x1,y2 y1)ABa -b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)
