1、2023-5-5几个要求 上课前要预习 上课时要认真关于作业自己整理问题集集合的有关概念集合的有关概念元素元素(element)-我们把研究的对象我们把研究的对象统称为元素统称为元素集合集合(set)-把一些元素组成的总体叫做把一些元素组成的总体叫做集合集合,简称集简称集.一般用大括号一般用大括号”表示集合表示集合,也常用也常用大写的拉丁字母大写的拉丁字母A、B、C表示集合表示集合.用小写的拉丁字母用小写的拉丁字母a,b,c表示元素表示元素注注:组成集合的元素可以是物组成集合的元素可以是物,数数,图图,点等点等集合三集合三大特大特性：性：(2)互异性互异性：集合中的元素必须是互不相同集合中的元
2、素必须是互不相同的。的。（1）确定性确定性：集合中的元素必须是确定的集合中的元素必须是确定的 (3)无序性无序性：集合中的元素是无先后顺序的集合中的元素是无先后顺序的 集合中的任何两个元素都可以交换位置集合中的任何两个元素都可以交换位置只要构成两个集合的元素是一样只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是的，我们就称这两个集合是相等相等的的 中国的直辖市中国的直辖市身材较高的人身材较高的人著名的数学家著名的数学家高一高一(5)班眼睛很近视的同学班眼睛很近视的同学判断下列例子能否构成集合判断下列例子能否构成集合注注:像像”很很”,”非常非常”,”比较比较”这些这些不确定不确定的词的词都
3、不能构成集合都不能构成集合重要数集：重要数集：(1)N:自然数集自然数集(含含0)(2)N或或N:正整数集正整数集(不含不含0)(3)Z：整数集整数集(4)Q：有理数集有理数集(5)R：实数集实数集即非负整数集即非负整数集（1）属于(belong to)：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于(not belong to)：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作元素对于集合的关系元素对于集合的关系Aa 用符号用符号“”或或“”填空：填空：(1)3.14_Q(1)3.14_Q (2)_Q (2)_Q (3)0_N (3)0_N (4)0_N+(4)0_N+(5)(-0.5
4、)(5)(-0.5)0 0_Z _Z (6)2_R (6)2_R练一练：练一练：集合的分类集合的分类 有限集：含有限个元素的集合有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合无限集：含无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合空集：不含任何元素的集合 集合的表示方法集合的表示方法 1 1、列举法：、列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用花括号将集合中的元素一一列举出来，并用花括号 括起来的方法叫做列举法括起来的方法叫做列举法互异互异无序无序 例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合
5、。思考题思考题(P4)(P4)(1)你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗?(2)你能用列举法表示不等式x-73吗?集合的表示方法集合的表示方法 2 2、描述法：、描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成表示出来，写成xxp(x)p(x)的形式的形式特征性质特征性质 VennVenn图：图：a,b,c形象形象 直观直观 例例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。思考题思考题 结合此例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点和
6、适用的对象。例例3：已知A=a-2,2a2+5a,10,且-3A，求a。例4若A=x|x=3n+1,n Z,B=x|x=3n+2,n Z C=x|x=6n+3,n Z（）对于任意a A，b B，是否一定有a+b C？并证明你的结论；(1)若c C，问是否有a A，b B，使得c=a+b；练习与思考练习与思考1、教材P5练习1、22、集合x|y=x+1，xR 、y|y=x+1（x、y）|y=x+1、，x、yR、y=x+1是同一个集合吗？确定性确定性，互互 异性异性，无序性无序性；4.集合的集合的表示方法表示方法；5.集合的集合的分类分类.。教材教材.11.1114.1.1.2集合间的基本关系集合
7、间的基本关系 复习引入复习引入1.集合、元素集合、元素2.集合的分类：有限集、无限集、空集集合的分类：有限集、无限集、空集3.集合元素的特性：确定性、互异性，无序性集合元素的特性：确定性、互异性，无序性3.集合的表示方法：列举法、描述法集合的表示方法：列举法、描述法4.常用数集：常用数集：用列举法表示下面集合：用列举法表示下面集合：RQZNN,*022|23xxxx5的两位数数字和为观察以下几组集合，并指出它们元观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：素间的关系：A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;A=x|x1,B=x|x21;A=四边形四边形,B=多边形多边形;A=x|x是两边相等的三
8、角形是两边相等的三角形,B=x|x是等腰三角形是等腰三角形 定定 义义 一般地一般地,对于两个集合对于两个集合A与与B，如果集合如果集合A中的中的任何任何一个元素都是一个元素都是 集合集合B的元素的元素,我们就说这两个集合有包含我们就说这两个集合有包含关系，称集合关系，称集合A为集合为集合B的的子集子集（subset）记作记作 A B（或（或B A）读作读作“A含于含于B”,或或“B包含包含A”BA B A下图叫做下图叫做Venn图图 BABxAx，则若任意注：有两种可能注：有两种可能（1）A是是B的一部分的一部分；（2）A与与B是同一集是同一集合合 BA图中图中A是否为是否为B的子集的子集?
9、(1)BA(2)判断集合判断集合A是否为集合是否为集合B的子集的子集，若是则在（，若是则在（）打）打，若不是则，若不是则在（在（）打）打:A=1,3,5,B=1,2,3,4,5,6 ()A=1,3,5,B=1,3,6,9 ()A=0,B=x x2+2=0 ()A=a,b,c,d,B=d,b,c,a ()一般地一般地,对于两个集合对于两个集合A与与B,如果集如果集合合A中的任何一个元素都是中的任何一个元素都是 集合集合B的元素的元素,同时同时集合集合B中的任何一个元素都是集合中的任何一个元素都是集合A的元素的元素,则称集合则称集合A等于等于集合集合B,记作记作 A=B定定 义义若若A B且且B
10、A,则则A=B;反之反之,亦然亦然.定定 义义 Venn图为图为AB 对于两个集合对于两个集合A与与B,如果如果A B,但存在元素但存在元素 ,则称集合则称集合A是集合是集合B的的真子集真子集(proper subset)记作记作A BAxBx且,几个结论几个结论空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集 A空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集 A （A ）任何一个集合是它本身的子集，即任何一个集合是它本身的子集，即 A A对于集合对于集合A，B，C，如果，如果 A B,且B C，则A C 注意易混符号注意易混符号 “”与与“”：元素与集合之间是属：元素与集合之间是属于关系；集合
11、与集合之间是包含关系于关系；集合与集合之间是包含关系如如 R,1 1，2，3 0与与：0是含有一个元素是含有一个元素0的集的集合，合，是不含任何元素的集合如是不含任何元素的集合如 0不能写成不能写成=0，0 ,1,1RNNN 例1（1）写出N，Z，Q，R的包含关系，并用Venn图表示（2）判断下列写法是否正确 A A A A A AAA 指出哪些是它的真子集并的所有子集写出集合例，ba,2?,21真子集子集有多少个集合思考、aaa：n 重要结论重要结论 结论：含结论：含n个元素的集合的所有个元素的集合的所有子集的个数是子集的个数是2n，所有真子集的个数是所有真子集的个数是2n-1，非空，非空真
12、子集数为真子集数为2n-2.例例3 设设A=x,x2,xy,B=1,x,y,且且A=B，求实数，求实数x,y的值的值例例4 4 已知集合已知集合06|2xxxP与集合,01|axxQ满足Q P求a的取值组成的集合A课堂小结课堂小结1子集子集,真子集的概念与性质；真子集的概念与性质；3集合与集合集合与集合,元素与集合的元素与集合的关系关系2.集合的相等集合的相等;作业布置作业布置1教材教材P.12 A组组 5 B组组2.2.若若A=x|3x4,B=x|2m1xm+1,当当B A时时,求实数求实数m的取值范围的取值范围 3.已知已知ACBCABA求,8,4,2,0,5,3,2,1,.1.1.3 1
13、.1.3 集合的基本运算（集合的基本运算（1 1）观察集合观察集合A,B,C元素间的关系元素间的关系:(1)A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，C=3，4，5，6，7，8(2)A=x|x是有理数是有理数，B=x|x是无理数是无理数，C=x|x是实数是实数定定 义义一般地一般地,由属于集合由属于集合A或或属于集合属于集合B的的所有所有元素组成的集合叫做元素组成的集合叫做A与与B的的并集并集,记作记作 AB即即AB=x|xA,或或xB 读作读作 A并并 BABAB例例1.A=4,5,6,8,B=3,5,7,8，求求AB.例例2.设设A=x|-1x2,B=x|1x0时，求时，求f(a),f(a-
14、1)的值。的值。1()(1 2)(1)f xx x()42f xxxxxxf211)(例例2 2、求下列函数的定义域。、求下列函数的定义域。（1）(2)(2)；(3)(xf =x2 x+3 求：求：f(-1),f(a),f(x+1),f()，f(x2),f(f(x),例例3、已知：已知：x1注意：注意：)(xfy 1 在在 中中f表示对应法则，不同表示对应法则，不同的函数其含义不一样。的函数其含义不一样。2)(xf 不一定是解析式，有时可能是不一定是解析式，有时可能是“列表列表”“”“图象图象”。)(xf)(af3与与 是不同的，前者为变数，是不同的，前者为变数，后者为常数。后者为常数。（四）
15、函数的三要素判断同一函数：（四）函数的三要素判断同一函数：对应法则对应法则f、定义域、定义域A、值域、值域Axxf|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。当有解析式时只要定义域与称为同一函数。当有解析式时只要定义域与解析式一样即可解析式一样即可 xy 2)1(xy 33)2(xy 2)3(xy xxy2)4(例例4、下列函数中哪个与函数、下列函数中哪个与函数是同一个函数？是同一个函数？3)5)(3(1xxxy52 xy111xxy)1)(1(2xxy21)52()(xxf52)(2xxf练习、练习、下列各组中的两个函数是否为相同下列各组中
16、的两个函数是否为相同的函数？的函数？三、小结：三、小结：1函数的定义函数的定义 2、函数的值：、函数的值：3、函数的三要素判断同一函数：、函数的三要素判断同一函数：4、关于求定义域、关于求定义域:四、作业四、作业 P24 A 1-6做作业本上做作业本上补充：已知函数补充：已知函数)(xf=4x+3，g(x)=x2,求ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x).1.2.1 函数的概念函数的概念(二二)二、复习：二、复习：1函数的定义函数的定义 2、定义域、定义域,函数的值和值域函数的值和值域3、函数的三要素判断同一函数、函数的三要素判断同一函数 三、新课：三、新课：1、区间的概念、区间的概念
17、设设a、b是两个实数，且是两个实数，且ab，规定：，规定：bxa（1 1）满足不等式）满足不等式的实数的的实数的x集合叫做闭区间，表示为集合叫做闭区间，表示为a,b;（2 2）满足不等式）满足不等式bxa的实数的的实数的x x集合叫做开区间，表示为集合叫做开区间，表示为(a,b)(a,b)；（3）满足不等式）满足不等式bxa的实数的的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为集合叫做半开半闭区间，表示为a,b)；（4 4）满足不等式）满足不等式bxa的的x x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b(a,b；的实数的实数说明：说明：对于对于a,b，(a,b)，a,b)
18、，(a,b都称数都称数a和和数数b为区间的端点，其中为区间的端点，其中a为左端点，为左端点，b为右为右端点，称端点，称b-a为区间长度；为区间长度；引入区间概念后，以实数为元素的集合就引入区间概念后，以实数为元素的集合就有四种表示方法：有四种表示方法：不等式表示法：不等式表示法：3x7（一般不用）；（一般不用）；集合表示法：集合表示法：x|3xa,xb,x0)求f(x)3已知f(x)是一次函数,且ff(x)=4x1,求f(x)的解析式。5动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示ABP的面积，求f(x)和g(x
19、),并作出g(x)的简图.1212nn1212xx1194集合A=N，B=m|m=,nN,f:xy=，xA，yB.请计算在f作用下，象的原象分别是多少；原象6的象分别是多少？1.3.1单调性与最大（小）值（1）-函数的单调性 一一.引入课题引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观
20、察其变化规律：1f(x)=x 从左至右图象上升还是下从左至右图象上升还是下_?在区间在区间 _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 2f(x)=-2x+1 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?在区间在区间 _ 上，随着上，随着x的增的增大，大，f(x)的值随着的值随着 _ 3f(x)=x在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ 2二二.新课教学新课教学（一）函数单调性定义（一）函数单调性定义思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义思考：仿照增函数
21、的定义说出减函数的定义 1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定，如果对于定义域义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x ,x ，当当x x 时，都有时，都有f(x )f(x )，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数（increasing function）12 21 12注意：注意：函数的单调性是在定义域内的某函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性个区间上的性质，是函数的局部性质；质；必须是对于区间必须是对于区间D内的任意两个内的任意两个自变量自变量x1，x2；当；当x
22、1x2时，总有时，总有f(x1)f()，但显然此图象表，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；示的函数不是一个单调函数；1x2x几何特征几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.结论结论1：一次函数一次函数 的单调性，单的单调性，单调区间：调区间：)0(kbkxy结论结论2：二次函数二次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(2acbxaxy（二）典型例题（二）典型例题例例1如图如图6是定义在闭区间是定义在闭区间-5，5上的函上的函数数y=f(x)的图象，根据图象说
23、出的图象，根据图象说出y=f(x)的单的单调区间，以及在每一单调区间上，函数调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数.注意：注意：函数的单调性是对某个区间而言的函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，
24、包括不包括端点都可以；区间时，包括不包括端点都可以；例例2作出函数作出函数的图象并指出它的的单调区间的图象并指出它的的单调区间24|3yxx=-+例例3物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律(k为正常数为正常数)告诉我们告诉我们,对于一定量的气体对于一定量的气体,当体积当体积V减小时减小时,压强压强P将增大将增大.试用函数的试用函数的单调性证明之单调性证明之.kpV=3判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上上的单调性的一般步骤：的单调性的一般步骤：任取任取x1，x2D，且，且x1x2；作差作差f(x1)f(x2)；变
25、形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性）上的单调性）探究：探究：P30 画出反比例函数画出反比例函数的图象的图象这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明上的单调性怎样？证明你的结论你的结论xy1结论结论3：反比例函数反比例函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(kxky例例4证明函数证明函数在（在（1，+）上为增函数）上为增函数 xxy1 例例5讨论函数讨论函数在在(
26、-2,2)内的单调性内的单调性.322 axxf(x)三三.归纳小结归纳小结1、函数的单调性的判定、证明和单调区间函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：的确定：函数的单调性一般是先根据图象函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2、直接利用初等函数的单调区间。、直接利用初等函数的单调区间。四四.作业布置作业布置书面作业：书
27、面作业：课本课本P32 练习：练习：2、3 P39习题习题13（A组）组）第第1-4题题 2(选做选做)证明函数证明函数f(x)=x 在在(-，+)上是增函数上是增函数.3画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1 说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；单调性；2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？函数的什么特征？(1)(2)32)(xxf12)(2xxxfxyooxy2-1 1最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的
28、定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(
29、x)M）注意：注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)=M；例例3、“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地如果在距地面高度面高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m）解：作出函数解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象(如图如
30、图).显然显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度面的高度.由于二次函数的知识，对于由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:29)9.4(47.1418)9.4(45.1)9.4(27.142ht 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这这时距地面的高度为时距地面的高度为29 m.例3.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设
31、x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2)1)(1()1()1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2.利用图象求函数的最大(小)值
32、3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区，在区间间b，c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；课堂练习1、函数、函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-，6内递减内递减，则，则a的取值范围是的取值范围是()A、a3 B、a3C、a-3 D、a-3D2、在已知函数、在已知函数f(x)=4x2-mx+
33、1,在在(-，-2上上递减，在递减，在-2,+)上递增，则上递增，则f(x)在在1,2上的上的值域值域_.21,39归纳小结归纳小结 1 1、函数的最大（小）值及其几何意义、函数的最大（小）值及其几何意义 2 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值、利用函数的单调性求函数的最大（小）值 1.3.2函数的奇偶性函数的奇偶性1偶函数偶函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有，都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数例如，函数 都是偶都是偶 函数，它们的图象分别如下图函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)
34、所所示示.222()1,()1f xxf xx 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发现，你能发现两个函数图象有什么两个函数图象有什么共同特征吗？共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)2奇函数奇函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定
35、义域内的任意一个x，都有，都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 注意：注意：1 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量（即也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）定义域关于原点对称）3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命
36、题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立.若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立有成立.4、如果一个函数、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性.例例5、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性：452(1)()(2)()1(3)()1(4)()fxxfxxfxxxfxx3.用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判断f(-x
37、)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.课堂练习 3,1,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：3.奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于、偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来，如果一个反过来，如果一个函数的图象关于函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数
38、为偶函数轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性例例3、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略相等相等xy0相等相等本课小结本课小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数2、两个性
39、质：、两个性质：一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称 13.2奇 偶 性 1函数的奇偶性(1)定义 奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做奇函数 偶函数：设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做偶函数xD，且f(x)f(x)xD，且g(x)g(x)(2)性质 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 如果一
40、个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数坐标原点坐标原点y轴y轴(3)判断奇偶性 f(x)|x|；f(x)x2(x1)；f(x)|x1|x1|.答案偶既是奇函数，又是偶函数非奇非偶奇 2用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数0 0 奇 本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征 本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性 对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的考察一个函数yf(x)
41、是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称 以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)0，但f(x)0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件 奇函数yf(x)若在x0处有定义，则一定有f(0)0.综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间a，b和b，a上有相同的单调性；偶函数在区间a，b和b，a上有相反的单调性(ab0)有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要
42、求)仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数 有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断 例1判断下列函数的奇偶性 分析利用函数奇偶性定义来判断 f(x)为奇函数(2)f(x)定义域为R，且f(x)(x)21x21f(x)，f(x)为偶函数(3)定义域为(，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)为偶函数(4)定义域为(，)，f(x)2x1，f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)为非奇非偶函数(5)定义域为1，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数f(x)为偶函数 判断函数f(x)|xa|xa|(aR)的奇偶性 解
43、析f(x)的定义域为R，当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，f(x)为奇函数，当a0时，有f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数.例2已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 分析由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式 解析函数f(x)的图象关于原点对称 f(x)为奇函数，则f(0)0，设x0，则x0，x0时，f(x)x22x3，f(x)f(x)(x22x3)x22x3 于是有：先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象如下图 由
44、图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,1 已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.答案x1 解析x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.例3已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？分析由函数的奇偶性进行转化 解析设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a上是增函数f(x2)f(x1)又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)于是f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数 点评由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称
45、的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小结果为_(2)如果奇函数f(x)在区间1,6上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在6，1上是增函数还是减函数？求f(x)在6，1上的最大值和最小值 答案(1)f(5)f(3)解析(1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)，f(x)在2,6上是减函数，f(5)f(3)，f(5)f(3)(2)设6x1x21，则1x2x16，f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10，又f(x)
46、为奇函数，4f(x2)f(x1)10，10f(x1)f(1)解析(1)奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，必过点(2，1)和(4，2)，f(4)f(2)(2)(1)2.(2)偶函数f(x)满足f(3)f(1)，f(3)f(1)点评(1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“f”内的负号，f(4)f(2)f(4)f(2)f(4)f(2)212.辨析要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性 一、选择题 1下列函数不具备奇偶性的是()答案C 2下列命题中真命题的个数为()(1
47、)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0则f(x)是奇函数(2)对f(x)的定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数 A1 B2 C3 D4 答案D 解析四个命题都正确，故选D.3若函数yf(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)答案D 解析f(a)f(a)，点(a，f(a)在yf(x)的图象上，故选D.4已知yf(x)是奇函数，且方程f(x)0有六个实根，则方程f(x)0的所有实根之和是()A4 B2 C1 D0 答案D 解析奇函数的图象关于原点对称，方程f(x)0的六
48、个根，即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，和为0.5已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在(5，2)上是()A增函数 B减函数 C部分为增函数，部分为减函数 D无法确定增减性 答案A 解析f(x)(m1)x22mx3为偶函数，m0，f(x)x23，因此f(x)在(5，2)上为增函数，故选A.6偶函数yf(x)在区间4，1是增函数，下列不等式成立的是()Af(2)f(3)Bf()0部分，再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，(1)作出函数在5,0的图象
49、；(2)使函数值y0的x的取值集合【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：f(x)是-5,5上的奇函数；f(x)在0,5上图象已知解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称，作出f(x)的图象，再利用图象解不等式【解析】利用奇函数图象的性质，画出函数在-5,0上的图象，直接从图象中读出信息由原函数是奇函数，所以y=f(x)在-5,5上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在0,5上的图象，知它在-5,0上的图象，如图1所示由图象知，使函数值y0部分的局部图象(2)求f(3)，并比较f(1)与f(3)的大小【解析】因为函数yf(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留yf(x)在(，0上的图象，在0
50、，)上作yf(x)关于y轴对称的图象，如图所示，即得函数yf(x)，xR的图象由图象知f(3)2，f(1)1，所以f(1)f(3)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：函数f(x)是R上的奇函数；x0时f(x)的解析式已知解答本题可将x0上求解此类问题的一般做法是：“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内要利用已知区间的解析式进行代入利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)2.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)0”，其他条件不变，则函数f(x)的
