1、学学业业分分层层测测评评阶阶段段一一 阶阶段段二二 阶阶段段三三 d (nm)d 数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn 公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)等差中项及其应用 等差数列的性质及应用 等差数列的设法与求解学业分层测评学业分层测评(八)点击图标进入点击图标进入 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的
2、成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。牛顿莱布尼茨背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。24 96 510?.,:m.?tshh ttt 你你看看过过高高台台跳跳水水比比赛赛吗吗照照片片中中锁锁定定了了运运动动员员比比赛赛的的瞬瞬间间已已知知起起跳跳后后运运动动员员相相对对于于水水面面
3、的的高高度度单单位位可可用用函函数数表表示示 如如何何求求他他在在某某时时刻刻的的速速 度度他他距距水水面面的的最最大大高高度度是是多多少少1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵.2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点）探究点1 变化率问题问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么334()Vr V 34()3Vrr当V从0增加到1L时,气球半径增加了气球的平均膨胀
4、率为当V从1L增加到2L时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为100 62 dm()().()rr 100 62 dmL10()().(/)rr (2)(1)0.16(dm)rr210 16 dmL21()().(/)rr 显然0.620.16334()Vr V 我们来分析一下:思考思考:当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少?解析：解析：2121r(V)r(V)VV hto问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某
5、些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?00 52.:ttv 请请 计计 算算和和 1 1时时 间间 里里 的的 平平 均均 速速 度度hto解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?6501049()()hh 0hvt 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里的运动状态.121)()f xfxyxxx 2 2(这里x看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样y=f(x2)-f(x1)平均变化率定义:上
6、述问题中的变化率可用式子 表示.称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.若设x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)121)()fxfxxx2(观察函数观察函数f(x)f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?121)()xfxyxxx2f(OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线AB的斜率 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度
7、某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?探究点2 导数的概念 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度解：(2)(2)13.14.9hvththtt t0t0t0时时,在在2,2+2,2+t t 这段时间内这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051 v当t=0.01时,13.149v 当t=0.01时,13 0951.v 当t=0.001时,13 104 9.v 当t=0.001时,13.099 51v 当t=0.000 1时,13.100 49v
8、当t=0.000 1时,13 099 951.v 当t=0.000 01时,13 100 049.v 当t=0.000 01时,13.099 995 1v 当t=0.000 001时,13.100 004 9v 当t=0.000 001时,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?当 t 趋近于0时,即无论 t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值 13.1.从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度 就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1 m/s.v从2s到(2+t)s这段时间内平均速度13.14.9hv
9、tt 1.13 )2()2(lim0ththt表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值 13.1”.v为了表述方便，我们用局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值速度的精确值.那么那么,运动员在某一时刻运动员在某一时刻 的瞬时速的瞬时速度为度为000()()limth tth tt 0t探究:运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim00002000
10、0ttttttttthtthttt导数的概念:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是0000()limlimxxf xxf xyxx ()，称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 或 ,即00000()()()lim=lim.xxf xxf xyfxxx )(0 xf 0|xxy0001与与的的值值有有关关，不不同同的的,其其导导数数值值一一般般也也不不相相同同.f(x)xx 02与与的的具具体体取取值值无无关关.f(x)x 3.瞬瞬时时变变化化率率与与导导数数是是同同一一概概念念的的两两个个名名称称.总结提升求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:1.求函数的
11、改变量2.求平均变化率3.求值00()();yf xxf x00()lim.xyfxx00()();f xxf xyxx一差、二比、三极限 例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第 x h时,原油的温度(单位:)为 y=f(x)=x27x+15(0 x8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是(2)f (6).f 和22y()()=fxfxx 根据导数的定义,2227 2152153()xxxx （）（2-7）2-7）所以,00(2)limlim(3)3.xxyfxx 同理可得
12、.5)6(f 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.CC1.1.已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+x+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)A(-1,-2)及及临近一点临近一点B(-1+x,-2+y),B(-1+x,-2+y),则则 =()=()A.3 B.3x-(x)A.3 B.3x-(x)2 2 C.3-(x)C.3-(x)2 2 D.3-x D.3-x Dyx2.如图，函数y=f（x）在A，B两点间的平均变化率是（）A.1 B.-1 C.2 D.
13、-2B【解析】000()()2 fxxfxyxxxx3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.3322(1)133()330.10.13.31(1)1xkxxx 【解析】24 .5yx、求求 函函 数数的的 导导 数数22222002222222004444()2limlim44844limlim(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解24 x 2222084(2)8limxxxxxxxxxxxx 24x 222(2)xxxxxx 22203484lim(2)8
14、8xxxxxxxxxxx 析】.【121)()()ffxfxxxx 2(x2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1)(2)计算平均变化率1.函数的平均变化率121)()()ffxfxxxx 2 2(x x3.3.求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限svt 00()().limlimttss tts ttt 4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx 00()limxyfxx 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.
