1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理一、主要内容一、主要内容1.弱大数定理（辛钦大数定律），伯努利大数定理2.独立同分布中心极限定理，李雅普诺夫定理，棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理；3.中心极限定理的使用 2用契比雪夫不等式确定当掷一枚均匀的硬币时，需掷多少次才能保证使正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.90。如果用De Moivre-Laplace中心极限定理计算这题，结果如何？于是得 90.0)1.0(4111.0216.04.02nnmPnmPn250。用De Moivre-Laplace中心极限定理计 算这题，得 90.01)2.0(2)5.0(5.0
2、6.0)5.0(5.0)5.0(5.04.06.04.06.04.0222nnnnnnmnnnPnmnPnmP即得 95.0)2.0(n或 645.12.0n，于是得 68n。3某厂生产的螺丝不合格率为0.01，问一盒中应至少装 有多少只才能使其中含有100只合格品的概率不小于 0.95？解 设一盒至少应装 n只满足要求，引入 独立同分布，且 只螺丝为不合格品。，第只螺丝为合格品；第iiXi0,1则 nXXX,212199.001.0)(,99.0)(,2,1,1,0,)01.0()99.0()(iikkiXDXENiKkXP依题依所求之 n满足 95.01001niiXP用独立同分布的中心极
3、限定理得 95.0100110010011nnnnnnXPXPnIinii即得 05.099.01.099.0100nn查标准正态分布表得 645.199.01.099.0100nn 得 令99.0 nx，得01001645.0 xx，解上述不等式66.101x，于是 69.10299.066.101n取 103n为所求。三、练习与答案三、练习与答案1设 nXXX,21是独立同分布的随机变量，iX的概率密度为.0,0;0,)(xxxexfx证明：nnnXPnii2124012 独立重复抛掷一枚非均匀的硬币。设每次抛掷该硬币 正面出现的概率都是 p(未知).问要抛掷多少次才能使 正面出现的频率与
4、 p的差不超过0.01的概率达到0.95以 上。用Chebyshev不等式和De Moivre-Laplace中心极 限定律分别计算。3.某保险公司由10000人参加保险，每人一年付12元保险费。设在一年内一个人死亡的概率为0.006。死亡时保险公司付给家属1000元保险金。问：（1）保险公司亏本的概率是多少？（2）保险公司一年盈利不4.某厂的自动生产线，生产一件产品为正品的概率为 40000 少于 元的概率是多少？)10(pp，为次品的概率为)1(pqq。一件产品的成本 为 c,正品的价格为 s,次品不能出售。假设各个产品的 生产过程是相互独立的。若 元元5.2,5,9.0csp。问厂 家一批至少生产多少件产品才能保证每件产品的利润超 过1.8元的概率大于0.9？参考答案参考答案 1提示：利用Chebyshev不等式2用Chebyshev不等式得 50000n用De Moivre-Laplace中心极限定律得 9604n3（1）0，（2）0.9954每批至少生产93件产品。
