1、1第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一一.主要内容主要内容 1.随机变量的数学期望随机变量的数学期望 2.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 3.数学期望的性质数学期望的性质 4.随机变量的方差随机变量的方差 5.随机变量函数的方差随机变量函数的方差 6.随机变量方差的性质随机变量方差的性质 2二二.应记忆的公式或结果应记忆的公式或结果1随机变量的数学期望和方差的计算公式随机变量的数学期望和方差的计算公式2随机变量函数的数学期望和方差的计算公式随机变量函数的数学期望和方差的计算公式3 常见常见7种随机变量的数学期望及方差种随机变量的数学期望及方差 (1)两点分布两点分
2、布 （2）二项分布）二项分布 （3）泊松分布）泊松分布 （4）均匀分布）均匀分布 （5）正态分布）正态分布 （6）指数分布）指数分布3例1某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地取地取10件产品检验件产品检验,如发现其中的次品数多于如发现其中的次品数多于1,就去调整就去调整设备设备.以以X表示一天中调整设备的次数表示一天中调整设备的次数,试求试求 E(X)（设诸产品是否为次品是相互独立的）（设诸产品是否为次品是相互独立的）.解解：记随机的取：记随机的取10件产品件产品,其中的次品数其中的次品数为为 Y Y,则则YB(10,0.1).则不必调整设备的概率为则不必调整设备的概率为 7
3、361.01.0)9.0()9.0(10911010CYPYPp从而需调整设备的概率为从而需调整设备的概率为 1-0.7361=0.2639 )2639.0,4(BX 则则X X的分布律为的分布律为 44)7361.0(314)7361.0)(2639.0(C2224)7361.0()2639.0(C)7361.0()2639.0(334C4)2639.0(P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=从而0556.1)2639.0(4)7361.0()2639.0(3)7361.0()2639.0(2)7361.0)(2639.0()7361.0(0)(4334222
4、43144CCCXE5例例2.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 求 ,解解 )(XE)(2XE)53(2XE2.03.023.004.0)2()(XE8.23.023.004.0)2()(2222XE4.133.05233.05034.05)2(3)53(2222XE或由期望的性质4.1358.235)(3)53(22XEXEX-202P0.40.30.36例例3设随机变量的概率密度为设随机变量的概率密度为000)(xxexfx求（1）Y=2X;（2）的数学期望。XeY2解（1）dxxxfXEYE)(2)2()(220dxxex 例例4某车间生产的圆盘其直径在区间某车间生产的圆盘其直
5、径在区间 内内 服从服从dxxfeeEYEXX)()()(223/102dxeexX),(ba （2）7 均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解解 假设圆盘的直径为假设圆盘的直径为X，则其概率密度为，则其概率密度为 圆盘的面积为圆盘的面积为 ，从而，从而 例例5设随机变量设随机变量X1，X2的概率密度分别为的概率密度分别为其它01)(bxaabxf224)2(XXS dxabxdxxfxSEba14)(4)(22)(1222baba80002)(21xxexfx0004)(42xxexfx)(21XXE)32(221XXE1.求，2.又设 ,相互独立,求1X2X)(21XXE解解 1.212)(
6、)(0211dxxedxxxfXExdxxxfXE)()(2241404dxxexdxxfxXE)()(2222814042dxexx9故 43)()(2121XXEXXE)(3)(2)32(221221XEXEXXE 2.当 ,独立时,例例6.设随机变量设随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度858132121X2X814121)()()(2121XEXEXXE其它020,20)(81),(yxyxyxf求 ，)(XE)(YE),(YXCovXY)(YXD10解解 同理同理 dxdyyxxfXE),()(67)(812020dyyxxdx67)(81)(2020dyyxydxYE34)(
7、81)(2020dyyxxydxXYE361364934)()()(),(YEXEXYEYXCov35)(81)(220202dyyxxdxXE 同理 35)(2YE3611364935)()()(22XEXEXD11 同理 所以 3611)(YD11136/1136/1)()(),(YDXDYXCovXY),(2)()()(YXCovYDXDYXD9536236113611 例例7.已知三个随机变量 ,中,，求 ,.XY Z1)()(YEXE1)(ZE1)()()(ZDYDXD0XZ2/1,2/1XYYZ)(ZYXE)(ZYXD解解 1111)()()()(ZEYEXEZYXE),cov(2
8、),cov(2),cov(2)(ZXZYYXDZDYDXZYXD12 )()(2)()(2111ZDYDYDXDYZXY 312)(ZYXD例例8.设设 ,且设且设 X,Y ,相互独相互独立立,试求试求 和和 的相关系数的相关系数(其其中中 ,是不为零的常数是不为零的常数).解解),(2NX),(2NYYXZ1YXZ2)()(1YXDZD故)()()(22222YDXD)()(2YXDZD13 )()()(22222YDXD),(),(YYXCovXYXCov),(),(2XYCovXXCov),(),(2YYCovYXCov)()(22YDXD)(2222222212121)()(),(ZD
9、ZDZZCovZZ),(),(21YXYXCovZZCov14例例9 设（设（X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 (1)令令Z=X+Y,求求Z的分布律。的分布律。(2)求求E(Z)和和D(Z)解解:(1)根据根据X和和Y的取值可知的取值可知Z的取值为的取值为0,1,2,3;P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.25P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.15+0.15=0.30Y X 01200.250.150.1010.150.200.1515P(Z=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=0.2+0.1=0.3P(Z=3)=P(X=2,Y=1)=0.15
10、故故Z的分布律为的分布律为(2)E(Z)=0*0.25+1*0.30+2*0.30+3*0.15=1.35 E(Z2)=02*0.25+12*0.30+22*0.30+32*0.15=2.85D(z)=E(Z2)-E(Z)2=2.85-(1.35)2=1.0475Z0123P0.250.300.300.1516第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征练习与答案练习与答案1设事件在第次试验中出现的概率为，表示第一次到第次试验中出现的次数之和。求。假定各次试验是相互独立的。2*民航机场的送客汽车载有20位旅客从机场开出，旅客可以在10个车站下车。如果到达某一站时没有旅客下车，则不在该站停车。假定每位旅客在各个车站下车是等可能的，各位旅客在某站是否下车是相互独立的。设为汽车的停车次数，求。173同时独立抛掷枚均称的筛子，求出现的点数之和的数学期望和方差。4进行某试验的次数是服从参数为泊松分布的随机变量，每次试验成功的概率都是。不成功的概率都是。求某试验成功的次数的数学期望与方差。假定各次试验成功与否是相互独立的。5设相互独立且都服从正态分布，令，求。18参考答案：参考答案：2 092.()1 011 0EX73 53(),()21 2EXnDXn111.(),()(1)nniiiiiE Xp D Xpp4(),()EYpDYp225(),()1EZDZ
