1、2021-2022 学年山东省临沂市沂水、河东、平邑、费县四县区联考高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 倾斜角为120且在𝑦轴上的截距为2的直线方程为()A. 𝑦 = 3𝑥 + 2B. 𝑦 = 3𝑥 2C. 𝑦 = 3𝑥 + 2D. 𝑦 = 3𝑥 22.已知圆𝐶1：𝑥2 + 𝑦2 = 1与圆𝐶2：(𝑥 1)2 + (𝑦
2、; + 2)2 = 1，则圆𝐶1与𝐶2的位置关系是()A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离3.已知中心在原点的椭圆𝐶的右焦点为𝐹(1,0)，离心率等于1，则𝐶的方程是()2A. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1B.𝑥 2 + 𝑦 2 = 1C.𝑥 2 + 𝑦 2 = 1D.𝑥 2 + 𝑦 2 = 1344342434.已知𝑎 = (1,0,1)，𝑏 = (&#
3、119909;, 1,2)，且𝑎 𝑏 = 3，则向量𝑎与𝑏的夹角为()A. 5𝜋B. 𝜋C. 𝜋D. 2𝜋66335.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 中，𝐴𝐸= 1 𝐴𝐶， 若𝐸 = 𝑥 𝐴+ 𝑦(⻒
4、0;𝐵+ 𝐴𝐷 )，则1 1 1 1()14 1 11A. 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1B. 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1C. 𝑥 = 1, 𝑦 = 1D. 𝑥 = 1, 𝑦 = 1222346.已知点𝐴(0,3)，𝐵(1,0)，若直线𝑙：𝑦 = 𝑘(𝑥 1) + 1与线段𝐴𝐵恒相交，则Ү
5、96;的取值范围是()A. 𝑘 1B. 𝑘 22C. 𝑘 1或𝑘 22D. 2 𝑘 127.过直线𝑦 = 2𝑥 3上的点作圆𝐶：𝑥2 + 𝑦2 4𝑥 + 6𝑦 + 12 = 0的切线，则切线长的最小值为()A. 555B. 19C. 25D. 218.已知椭圆的两个焦点为𝐹1(0, 5)，𝐹2(0, 5)，𝑀是椭圆上一点，若𝑀𝐹
6、;1 𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1| |𝑀𝐹2| = 8，则该椭圆的方程是()A. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1B.𝑥 2 + 𝑦 2 = 1C.𝑥 2 + 𝑦 2 = 1D.𝑥 2 + 𝑦 2 = 194492772第 1 页，共 19 页二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）9. 在下列四个命题中，错误的有()A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜
7、角的取值范围是0, 𝜋)C. 若一条直线的斜率为𝑡𝑎𝑛𝛼，则此直线的倾斜角为𝛼D. 若一条直线的倾斜角为𝛼，则此直线的斜率为𝑡𝑎𝑛𝛼 10. 圆 𝑥2 + 𝑦2 4𝑥 1 = 0()A. 关于点(2,0)对称C. 关于直线𝑥 3𝑦 2 = 0对称11. 以下命题正确的是()B. 关于直线𝑥 = 0对称D. 关于直线ү
8、09; + 𝑦 + 2 = 0对称A. 若𝑝是平面𝛼的一个法向量，直线𝑏上有不同的两点𝐴，𝐵，则𝑏/𝛼的充要条件是𝑝 𝐴𝐵 = 0B. 已知𝐴，𝐵，𝐶三点不共线，对于空间任意一点𝑂，若𝑂𝑃 = 2 𝑂𝐴+ 1 𝑂𝐵 + 2 𝑂𝐶，则
9、𝑃，𝐴，𝐵，𝐶四点共面555C. 已知𝑎 = (1,1,2)，𝑏 = (0,2,3)，若𝑘 𝑎 + 𝑏与2 𝑎 𝑏垂直，则𝑘 = 34D. 已知 𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别为𝐴(1,1,2)，𝐵(4,1,4)，𝐶(3, 2,2)，则𝐴𝐶边上的高𝐵𝐷的长为
10、1312. 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律： 卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2𝑎，2𝑐，下列结论正确的是()A. 卫星向径的取值范围是𝑎 𝑐, 𝑎 + 𝑐B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最
11、大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）第 2 页，共 19 页13. 已知圆𝑀：𝑥2 + 𝑦2 2𝑎𝑦 = 0(𝑎 0)截直线𝑥 + 𝑦 = 0所得线段的长度是22，则圆𝑀的方程为 14. 在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，Ү
12、60;𝐵 = 2，𝐵𝐶 = 𝐴𝐴1 = 1，则𝐷1𝐶1与平面𝐴1𝐵𝐶1所成角的正弦值为 15. 如图，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶 𝐴1𝐵1𝐶1中，各棱长均为4，𝑁是𝐶𝐶1 的中点，则点𝑁到直线𝐴𝐵的距离为 ；点𝐵1到平面𝐴&#
13、119861;𝑁的距离为 16. 已知𝐹 ，𝐹 是椭圆𝐶：𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑎 0, 𝑏 0)的左，右焦点，𝐴是𝐶的左顶点，点𝑃12𝑎 2𝑏26在过𝐴且斜率为3的直线上， 𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形，𝐹1𝐹2𝑃 = 120，则𝐶的离心率为 四、解答题（本大题共
14、6 小题，共 70.0 分）17. 已知直线𝑙1：2𝑥 + 𝑦 3 = 0(1) 若直线𝑙2与直线𝑙1垂直，且过点(1,1)，求直线𝑙2的方程；(2)若直线𝑙1与直线𝑙：𝑎𝑥 2𝑦 + 1 = 0平行，求直线𝑙1与𝑙的距离18. 已知圆𝑀：𝑥2 + 𝑦2 2𝑚𝑥 6𝑦 + 2𝑚
15、+ 9 = 0 (1)求𝑚的取值范围；(2)已知点𝐴(2,1)在圆𝑀上，若圆𝑁过点𝑃(1, 2)，且与圆𝑀相切于点𝐴，求圆𝑁的标准方程第 3 页，共 19 页19. 如图，已知平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为1的菱形，𝐶𝐶
16、;1 = 2，𝐶1𝐶𝐵 = 𝐵𝐶𝐷 = 𝐶1𝐶𝐷 = 60 (1)求线段𝐶𝐴1的长；(2) 求异面直线𝐶𝐴1与𝐵1𝐷1所成角的大小20. 如图，点𝐹 ，𝐹 分别是椭圆𝐶： 𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑎 𝑏 0)的左、右焦点，点𝐴是椭圆
17、𝐶12𝑎2𝑏21上一点，且满足𝐴𝐹2 𝑥轴，𝐴𝐹1𝐹2 = 30，直线𝐴𝐹1与椭圆𝐶相交于另一点𝐵 (1)求椭圆𝐶的离心率；(2)若 𝐴𝐵𝐹2的周长为43，𝑀为椭圆𝐶上任意一点，求𝑀 𝐹𝑀 的取值范围第 4 页，共 19 页21. 如图，在棱长均为
18、4的四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐷𝐷1 平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐴𝐷 = 60，𝐸为线段𝐴𝐷的中点(1)求平面𝐵𝐷1𝐷与平面𝐵𝐷1𝐸夹角的余弦值；(2)在线段𝐵1
19、19862;上是否存在点𝐹，使得𝐷𝐹/平面𝐵𝐷1𝐸？若存在，请确定点𝐹的位置； 若不存在，请说明理由第 5 页，共 19 页22. 已知两圆𝐶1：(𝑥 2)2 + 𝑦2 = 18，𝐶2：(𝑥 + 2)2 + 𝑦2 = 2，动圆𝑀在圆𝐶1内部且和圆𝐶1内切，和圆𝐶2外切(1) 求动圆圆心𝑀的轨迹方程⻒
20、2;；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程𝐶恒有两个交点𝑀、𝑁，且满足𝑂𝑀 𝑂𝑁？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由第 8 页，共 19 页答案和解析1. 【答案】𝐴【解析】解：直线的倾斜角为120， 𝑘 = 𝑡𝑎𝑛120 = 3，直线在𝑦轴上的截距为2，所求直线的方程为𝑦 = 3𝑥 + 2 故选：𝐴根据已
21、知条件，结合斜率与倾斜角的关系，以及截距的定义，即可求解本题主要考查直线方程的求解，掌握斜率与倾斜角的关系是解本题的关键，属于基础题2. 【答案】𝐷【解析】解：已知圆𝐶1：𝑥2 + 𝑦2 = 1与圆𝐶2：(𝑥 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 1，则圆𝐶1(0,0)，𝐶2(1, 2)，两圆的圆心距𝐶1𝐶2 = 1 + 4 = 5，大于半径之和2，故两圆相离， 故选：𝐷根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和
22、半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距𝐶1𝐶2大于半径之和，得出结论本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，是基础题3. 【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属基础题由已知可知椭圆的焦点在𝑥轴上，由焦点坐标得到𝑐，再由离心率求出𝑎，由𝑏2 = 𝑎2 𝑐2求出𝑏2，则椭圆的方程可求【解答】解：由题意设椭圆的方程为𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑎 0,
23、 𝑏 0)𝑎2𝑏2因为椭圆𝐶的右焦点为𝐹(1,0)，所以𝑐 = 1，又离心率等于1，2即𝑐 = 1，所以𝑎 = 2，则𝑏2 = 𝑎2 𝑐2 = 3𝑎2所以椭圆的方程为𝑥2 + 𝑦2 = 143故选：𝐷4. 【答案】𝐵【解析】解： 𝑎 = (1,0,1)，𝑏 = (𝑥, 1,2)，且⻔
24、6; 𝑏 = 3， 𝑎 𝑏 = 𝑥 + 2 = 3，解得𝑥 = 1， cos =𝑎𝑏|𝑎|𝑏 |=326= 3， 2向量𝑎 与𝑏的夹角为𝜋6故选：𝐵由𝑎 𝑏 = 𝑥 + 2 = 3，解得𝑥 = 1，从而cos =量𝑎与𝑏的夹角𝑎𝑏=|𝑎|w
25、887; |326= 3，由此能求出向2本题考查向量夹角的求法，考查向量数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5. 【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查向量的线性运算及空间向量基本定理，属于基础题1由图，根据向量的运算法则把向量𝐴𝐸用三个向量𝐴𝐴、𝐴𝐵、𝐴𝐷 的线性组合表示出来，由于此三个向量是不共面的，由空间向量基本定理知，一个向量在一组基底上的分解是唯一的，由此得到系数𝑥，𝑦的值，选出正确答
26、案【分析】解：由题意，如图𝐴𝐸 = 𝐴𝐴+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐴+1 𝐴𝐶1114 1 1又𝐴𝐶 = 𝐴𝐶,𝐴𝐶 = 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷1 1 1 𝐴𝐸 = 𝐴𝐴1 + 4 (𝐴𝐵 + Ү
27、60;𝐷)1由已知𝐴𝐸 = 𝑥 𝐴𝐴+ 𝑦(𝐴𝐵+ 𝐴𝐷 )由空间向量基本定理知𝑥 = 1, 𝑦 = 14故选：𝐷6. 【答案】𝐷【解析】解：根据题意，直线𝑙：𝑦 = 𝑘(𝑥 1) + 1与线段𝐴𝐵恒相交，即点𝐴、𝐵在直线w
28、897;的两侧或直线𝑙上，又由𝐴(0,3)，𝐵(1,0)，则有(𝑘 3 + 1)(2𝑘 + 1) 0，解可得：2 𝑘 1，2故选：𝐷根据题意，分析可得点𝐴、𝐵在直线𝑙的两侧或直线𝑙上，由二元一次不等式的几何意义可得(𝑘 3 + 1)(2𝑘 + 1) 0，解可得答案本题考查简单线性规划的应用，注意直线与线段恒相交的含义，属于基础题7. 【答案】𝐴【解析】解：圆𝐶
29、;：𝑥2 + 𝑦2 4𝑥 + 6𝑦 + 12 = 0即为(𝑥 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 1， 即圆心𝐶(2, 3)，半径为𝑟 = 1，故圆心到直线2𝑥 𝑦 3 = 0的距离为：𝑑 = |22+33| = 4 ，55故最小的切线长为( 4 )2 1 = 11 = 55故选：𝐴555求出圆心和半径，然后求出圆心到直线𝑦 = 2𝑥 3的距离，则最小的切线长可求 本题考查切
30、线长的求法，以及点到直线的距离公式，属于中档题第 9 页，共 19 页8. 【答案】𝐵【解析】解：由椭圆焦点坐标𝐹1(0, 5)，𝐹2(0, 5)可知𝑐 = 5，且焦点在𝑦轴上， 又因为𝑀𝐹1 𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1| |𝑀𝐹2| = 8，则|𝑀𝐹1|2 + |𝑀𝐹2|2 = |𝐹1𝐹2|2，所以(|
31、𝑀𝐹1| + |𝑀𝐹2|)2 2|𝑀𝐹1| |𝑀𝐹2| = 4𝑐2， 由椭圆的定义可知，|𝑀𝐹1| + |𝑀𝐹2| = 2𝑎，所以4𝑎2 2 8 = 4 5，可得𝑎2 = 9，𝑏2 = 𝑎2 𝑐2 = 9 5 = 4，所以椭圆的方程为：𝑥2 + 𝑦2 = 1，49
32、故选：𝐵由椭圆的焦点坐标可知𝑐的值及焦点所在的轴，再由𝑀𝐹1 𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1| |𝑀𝐹2| = 8及勾股定理和椭圆的定义可得𝑎的值，进而求出𝑏的值，求出椭圆的方程本题考查椭圆的性质的应用及椭圆定义的应用，属于基础题9.【答案】𝐴𝐶𝐷【解析】解：对于𝐴，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但倾斜角为90的直线没有斜率，故 A 错误；对于
33、19861;，直线的倾斜角的取值范围是0, 𝜋)，故 B 正确；对于𝐶，若一条直线的斜率为𝑡𝑎𝑛𝛼，则此直线的倾斜角为𝛼，错误，如直线的斜率为tan( 𝜋)，其倾斜角为5𝜋；66对于𝐷，若一条直线的倾斜角为𝛼，则此直线的斜率为𝑡𝑎𝑛𝛼，错误，如𝛼 = 90说法错误的有𝐴𝐶𝐷 故选：⻒
34、0;𝐶𝐷利用倾斜角为90的直线没有斜率判断𝐴与𝐷；由直线倾斜角的范围判断𝐵；举例说明 C错误本题考查命题的真假判断与应用，考查直线倾斜角的概念，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题10.【答案】𝐴𝐶第 12 页，共 19 页【解析】解：圆的方程为：(𝑥 2)2 + 𝑦2 = 5， 圆心为(2,0)，半径为5，显然 A 正确；因为圆心(2,0)不满足方程𝑥 = 0，和𝑥 + 𝑦 + 2 = 0，故 BD 错
35、误；圆心(2,0)代入𝑥 3𝑦 2 = 0成立，故该圆关于直线𝑥 3𝑦 2 = 0对称，故 C 正确； 故选：𝐴𝐶将圆的方程化成标准性质，求出圆心、半径，然后利用圆的性质逐项判断即可 本题考查圆的对称性的判断，属于基础题11.【答案】𝐵𝐶𝐷【解析】【分析】举例特殊情况判定𝐴的结论，利用共面向量的充要条件判断𝐵的结论，利用向量的数量积为0判定𝐶的结论，利用向量的数量积和向量的模的应用判定𝐷的
36、结论本题考查的知识要点：向量共面的充要条件，向量的模，法向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题【解答】解：对于𝐴：若𝑝是平面𝛼的一个法向量，直线𝑏上有不同的两点𝐴，𝐵， 当直线𝑏在平面𝛼内时，若𝑝 𝐴𝐵 = 0，不能得到𝑏/𝛼，故 A 错误；对于𝐵：已知𝐴，𝐵，𝐶三点不共线，对于空间任意一点⻓
37、4;，若𝑂𝑃 = 2 𝑂𝐴+ 1 𝑂𝐵 + 2 𝑂𝐶，由于1 + 2 + 2 = 1，则𝑃，𝐴，𝐵，𝐶四点共面，故 B 正确；555555对于𝐶：已知𝑎 = (1,1,2)，𝑏 = (0,2,3)，则𝑘 𝑎 + 𝑏 = (𝑘, 𝑘 + 2,2𝑘 + 3)，2 &#
38、119886; 𝑏 = (2,0,1)，由于𝑘 𝑎 + 𝑏与2 𝑎 𝑏垂直，2𝑘 + 2𝑘 + 3 = 0，可得𝑘 = 3，故 C 正确；4对于𝐷： 𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别为𝐴(1,1,2)，𝐵(4,1,4)，𝐶(3, 2,2)， 所以𝐴𝐶 = (4, 3,0)，𝐵𝐶 = (1,
39、3, 2)，则| 𝐵𝐷 | = | 𝐵𝐶| 1 ( 𝐵𝐶𝐴𝐶 )2 = 13，故 D 正确|𝐵𝐶|𝐴𝐶|故选：𝐵𝐶𝐷12.【答案】𝐴𝐵𝐷【解析】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为𝑎 𝑐， 最大值为𝑎 + 𝑐，所以 A
40、正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故 B 正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即𝑎𝑐 = 1𝑒 = 1 + 2 越小，则𝑒越大，椭圆越扁，故 C 不正确𝑎+𝑐1+𝑒1+𝑒因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故 D 正确；
41、 故选：𝐴𝐵𝐷由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假本题考查椭圆的性质，到焦点的最大值最小值的情况及椭圆的圆扁与向径的比值的关系， 属于中档题13.【答案】𝑥2 + 𝑦2 4𝑦 = 0【解析】解：圆𝑀的圆心为𝑀(0,
42、19886;)，半径为𝑟1 = 𝑎，𝑎 0， 圆心𝑀(0, 𝑎)到直线𝑥 + 𝑦 = 0的距离为𝑎 ，2所以( 𝑎 )2 + (22)2 = 𝑎2 𝑎 = 2，22所以圆𝑀的方程为：𝑥2 + 𝑦2 4𝑦 = 0 故答案为：𝑥2 + 𝑦2 4𝑦 = 0首先通过已知条件求得𝑎，即可得到圆的方程本题主
43、要考查直线与圆的位置关系等知识，属于基础题14. 【答案】13【解析】解：设 1 1 与平面 11 所成角大小为 ，因 为 1 1 / 1 1 ，所以 1 1 与平面 11 所成角大小为 ，如图，因为在长方体1 1 1 1 中 ，= 1，1= 2，所以四边形1 1 是正方形， 是1 中点，1 1 ，1=1 1 = 22 + 12 = 5， 所以1 1 ，因为 11 =，所以 1 平 面 1 1 ，因为1平面 11 ，所以平面 1 1平面 11 ，所以 1 是 1 1 在平面 11 内投影，所以 1 1=，=1 =122= 1，(5)2 ( 2 )232故答案为：13把问题转化为解直角三角形问题
44、即可本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面成角问题，属于中档题15. 【答案】4 23【解析】解：(1)取中点 ，连接、，因为1 1 1 是正三棱柱，各棱长均为4， 是1 的中点，所以= 2，= 4，所以= 42 + 22 = 25，因为，所以= 22 = (25)222 = 4 (2)设点 1 到平面的距离为 ，因为=1，所以1 113 2= 1 1，3 21即 1 13 24 4= 1 13 24 4 23，所以 = 23故答案为：4，23 用等体积法求解即可本题考查了正三棱柱的结构特征，考查了点到直线距离问题，考查了点到平面距离问题，第 13 页，共 19 页属于中档题16. 【答
45、案】14【解析】解：如图所示， 由题意知：𝐴(𝑎, 0)，𝐹1(𝑐, 0)，𝐹2(𝑐, 0)，直线𝐴𝑃的方程为：𝑦 =3 (𝑥 + 𝑎)，6由𝐹1𝐹2𝑃 = 120，|𝑃𝐹2| = |𝐹1𝐹2| = 2𝑐，则𝑃(2𝑐, 3𝑐)，代入直线Ү
46、60;𝑃：3𝑐 = 3 (2𝑐 + 𝑎)，整理得：𝑎 = 4𝑐，6所求的椭圆离心率为𝑒 = 𝑐 = 1𝑎4故答案为：14求得直线𝐴𝑃的方程，根据题意求得𝑃点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率 本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题217.【答案】解：(1)已知直线𝑙1：2𝑥 + 𝑦 3 = 0的斜率为2， 因为直线
47、𝑙1与直线𝑙2垂直，则直线𝑙2的斜率是1，2故直线𝑙 为𝑦 1 = 1 (𝑥 1)，即𝑥 2𝑦 + 1 = 02(2)因为直线𝑙1：2𝑥 + 𝑦 3 = 0与直线𝑙：𝑎𝑥 2𝑦 + 1 = 0平行，所以2 =𝑎1 1，26解得𝑎 = 4，所以直线𝑙：4𝑥 + 2𝑦 1 = 0，直
48、线𝑙1：4𝑥 + 2𝑦 6 = 0， 根据两条平行直线间的距离公式可得|6(1)| = 542+222【解析】根据平行与垂直的充要条件，求出所求直线的斜率，进而求出直线的方程，问题可解本题考查直线间的平行与垂直的充要条件、距离公式，属于基础题第 14 页，共 19 页18.【答案】解：(1)将𝑥2 + 𝑦2 2𝑚𝑥 6𝑦 + 2𝑚 + 9 = 0变形为(𝑥 𝑚)2 + (𝑦 3)2 =𝑚2
49、 2𝑚，由𝑚2 2𝑚 0，得𝑚 2， 所以𝑚的取值范围是(, 0) (2, +)；(2)将点𝐴(2,1)代入圆𝑀：𝑥2 + 𝑦2 2𝑚𝑥 6𝑦 + 2𝑚 + 9 = 0，可得𝑚 = 4，所以圆𝑀的方程为𝑥2 + 𝑦2 8𝑥 6𝑦 + 17 = 0， 化为标准方程可得(𝑥 4)2
50、+ (𝑦 3)2 = 8，设圆𝑁的标准方程为(𝑥 𝑎)2 + (𝑦 𝑏)2 = 𝑟2，圆心为𝑁(𝑎, 𝑏)，直线𝐴𝑀的方程为𝑦1 = 𝑥2，即𝑦 = 𝑥 1，3142把𝑁(𝑎, 𝑏)代入得𝑏 = 𝑎 1，又(𝑎 2)2 + (𝑏 1
51、)2 = (𝑎 1)2 + (𝑏 + 2)2，解得𝑎 = 1，𝑏 = 0， 所以𝑟 = (1 2)2 + (0 1)2 = 2，故圆𝑁的标准方程为(𝑥 1)2 + 𝑦2 = 2【解析】(1)利用圆的标准方程，列出关于𝑚的不等式，求解即可；(2)利用点𝐴在圆𝑀上，求出圆𝑀的方程，设圆𝑁的方程，求出直线𝐴𝑀的方程，列出方程组，求解即可本题考查了直线与圆位置关系的
52、应用，圆的一般方程与标准方程的理解与应用，直线方程的求解与应用，属于中档题119.【答案】解：(1)设𝐶𝐷 = 𝑎，𝐶𝐵 = 𝑏，𝐶𝐶 = 𝑐，则| 𝑎 | = 1，| 𝑏 | = 1，| 𝑐 | = 2，𝑎 𝑏 = 1 1 𝑐𝑜𝑠60 = 1，𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑐
53、 = 2 1 2𝑐𝑜𝑠60 = 1， 𝐶𝐴= 𝐶𝐴 + 𝐴𝐴= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐵 + 𝐶𝐶 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ，111 | 𝐶𝐴| = | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 | = (𝑎 + 𝑏 + Ү
54、88;) 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2(𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐) =1 + 1 + 4 + 2(1 + 1 + 1) = 11，12线段𝐶𝐴1的长为11(2) 𝐶𝐴= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ，𝐵𝐷= 𝐵𝐷 = 𝑎 𝑏，11 1第
55、16 页，共 19 页1 𝐶𝐴 𝐷 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (𝑎 𝑏) = 𝑎2 𝑏2 + 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 = 1 1 + 1 1 = 0，1 𝐶𝐴 𝐵𝐷 ，所以异面直线𝐶𝐴1与𝐵1𝐷1所成的角为90【解析】(1)设𝐶w
56、863; = 𝑎 ，𝐶𝐵 = 𝑏，𝐶𝐶 = 𝑐 ，则𝐶𝐴= 𝐶 𝐴 + 𝐴𝐴= 𝐷+ 𝐶𝐵 + 𝐶𝐶 = 𝑎 +1111𝑏 + 𝑐，由| 𝐶𝐴| = | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 | = (
57、𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2，能求出线段𝐶𝐴1的长1(2)由𝐶𝐴= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ，𝐵𝐷= 𝐵𝐷 = 𝑎 𝑏，求出𝐶𝐴 𝐵𝐷 = 0，从而𝐶𝐴 𝐵𝐷 ，由此11 111能求出异面直线𝐶⻒
58、0;1与𝐵1𝐷1所成的角本题考查线段长、异面直线所成角的求法，考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.【答案】解：(1)在𝑅𝑡 𝐴𝐹1𝐹2中， 𝐴𝐹1𝐹2 = 30， |𝐴𝐹1| = 2|𝐴𝐹2|，|𝐹1𝐹2| = 3|𝐴𝐹2|，由椭圆的定义，2𝑎 = |&
59、#119860;𝐹1| + |𝐴𝐹2| = 3|𝐴𝐹2|，2𝑐 = 3|𝐴𝐹2|，椭圆离心率𝑒 = 𝑐 = 2𝑐 = 3|𝐴𝐹2| = 3；𝑎2𝑎3|𝐴𝐹2|3(2) 𝐴𝐵𝐹2的周长= |𝐴𝐹2| + |𝐵𝐹2| +
60、 |𝐴𝐵| = |𝐴𝐹1| + |𝐵𝐹1| + |𝐴𝐹2| + |𝐵𝐹2| = 4𝑎 = 43， 则𝑎 = 3， 𝑒 = 𝑐 = 3， 𝑐 = 1，𝑏2 = 𝑎2 𝑐2 = 2，𝑎3椭圆𝐶的标准方程为：𝑥2 + 𝑦2 = 132可得𝐹
61、;1(1,0)，设𝑀(𝑥0, 𝑦0 )，𝑀 = (𝑥 , 𝑦 )，𝐹𝑀 = (𝑥 + 1, 𝑦 )，0 0100所以𝑀 𝐹𝑀 = 𝑥 (𝑥+ 1) + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑥+ 2 2 𝑥2 = 1 𝑥2 + 𝑥+ 2，1000003 03 00 3 ү
62、09; 3，所以1 𝑥2 + 𝑥0 + 2 = 1 (𝑥0 + 3)2 + 5，03 0324当𝑥 = 3时，𝑂当𝑥 = 3时，2𝑀 𝐹𝑀的最大值为3 + 3；𝑀 𝐹𝑀的最小值为5，4所以，𝑂𝑀 𝐹𝑀 的取值范围是5 , 3 + 314【解析】(1)在直角三角形中，由其中一个内角可得焦半径和焦距之间的关系，求出椭圆的离心率；(2)由三角形的周
63、长可知𝑎的值，再由(1)可得𝑐的值，进而求出𝑏的值，求出椭圆的方程，可得左焦点𝐹1的坐标，设𝑀的坐标，代入椭圆的方程可得𝑀的横纵坐标的关系，求出数量积的代数式，由𝑀的横坐标的范围，可得数量积的范围本题考查椭圆的性质的应用及数量积的运算性质的应用，属于中档题21【.答案】解：连结𝐴𝐶，与𝐵𝐷交于点𝑂，连结𝐴1𝐶1，𝐵1𝐷1，交于点⻓
64、4;1，连结𝑂𝑂1，因为𝐷𝐷1 平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑂𝑂1 平面𝐴𝐵𝐶𝐷， 又𝑂𝐴，𝑂𝐵 平面𝐴𝐵𝐶𝐷，故𝑂𝑂1 𝑂𝐴，𝑂𝑂1 𝑂
65、9861;，由题意可得四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，故𝑂𝐴 𝑂𝐵， 所以𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝑂1两两垂直，以𝑂为坐标原点，𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝑂1所在直线分别为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴建立空间直角坐标系如图所示，1(1)由题意可得⻒
66、1;(0,2,0), 𝐷1(0, 2,4), 𝐸(3, 1,0)， 所以𝐸𝐵 = (3, 3,0), 𝐸𝐷= (3, 1,4)，设平面𝐵𝐷1𝐸的法向量为𝑛 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)，𝑛 𝐸𝐵 = 03𝑥 + 3𝑦 = 0则，则，𝑛 𝐸𝐷1 = 03𝑥
67、 𝑦 + 4𝑧 = 0令𝑥 = 3，则𝑦 = 1，𝑧 = 1， 所以𝑛 = (3, 1,1)，因为𝑂𝐴 平面𝐵𝐷1𝐷，所以平面𝐵𝐷1𝐷的一个法向量为𝑚 = (1,0,0)，设平面𝐵𝐷1𝐷与平面𝐵𝐷1𝐸的夹角为𝜃，则𝑐𝑜
68、;𝑠𝜃 = cos = |𝑛𝑚| = 3= 15，|𝑛|𝑚|5155所以平面𝐵𝐷1𝐷与平面𝐵𝐷1𝐸夹角的余弦值为15；1(2)假设在线段𝐵1𝐶上存在点𝐹，使得𝐷𝐹/平面𝐵𝐷1𝐸， 设𝐶𝐹 = 𝜆 𝐶𝐵
69、(𝜆 0,1)，因为𝐷(0, 2,0)，𝐶(23, 0,0)，𝐵1(0,2,4)，所以𝐶𝐵= (23, 2,4), 𝐷𝐶 = (23, 2,0)，𝐶𝐹 = 𝜆 𝐶𝐵= (23𝜆, 2𝜆, 4𝜆)，11所以𝐷𝐹 = 𝐷𝐶 + 𝐶𝐹 = (23(𝜆 1),2(𝜆 + 1),4𝜆)，因为𝐷𝐹/平面𝐵𝐷1𝐸，所以𝐷𝐹 𝑛 ，即
