1、20212021 年全国硕士研究生入学统一考试数农试题年全国硕士研究生入学统一考试数农试题一、一、选择题选择题:1:18 8 小题小题,每题每题 4 4 分分,共共 3232 分分.以下每题给出的四个选项中以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求只有一个选项符合题目要求的的,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)曲线y 3xcos3x在点,3处的法线方程为(A)3x y 0(B)3x y6 0(C)x3y 8 0(D)x3y 10 0【答案】(D).【分析】此题考查导数的几何应用求法线方程.【解析】y 3cos3 x9xsin3x，故yx
2、 3，所以所求法线方程为1y 3(x)，即x 3y 10 0.应选D3(2)曲线y xx(e 1)(x2)(A)有水平渐近线y 0和铅直渐近线x 0及x 2(B)有水平渐近线y 0及y 1和铅直渐近线x 2(C)仅有水平渐近线y 0及y 1，无铅直渐近线(D)无水平渐近线，仅有铅直渐近线x 2【答案】(B).【分析】此题考查曲线的渐近线.【解析】因为lim y limxxx1 lim 0，x(ex1)(x2)xex1 x2xlim y limxx1 lim 1x(ex1)(x2)xex1 x2.所以y 0及y 1为曲线的水平渐近线.又limxx1x，limlim，故x 2为曲线的铅直渐x0(e
3、x1)(x2)x0 x(x2)2x2(ex1)(x2)近线，但x 0不是.综上知，曲线有水平渐近线y 0及y 1和铅直渐近线x 2.应选B.(3)函数f(x)x0eucosudu在闭区间0,上的最小值和最大值依次为(A)f(0)，f()(B)f()，f()2(C)f(0)，f()2(D)f()，f()2【答案】(C).【解析】这题看的是函数在区间上的单调性，所以直接求导即可。f(x)excosx，那么可知当0 x 时，f(x)0故函数在0,22上单调递增；当2 x 时，f(x)0故函数在,上单调递减，那么可知函数在x 处取得最大值。最小值为min f(0),f()，由于2220uf(0)0,f
4、()ecosuduecosudu e2u20cosuduecosudu2故可知在x 0处取最小值f(0).ee 0(02)(4)设函数f(x)连续，记I 11，f(x)dxD=(x,y)x 2,y 那么13Dxf()f(3y)dxdy 22I322(B)I3(A).3I232(D)I2(C)【答案】(B)【解析】2 xff3ydxdy 221313D xfdx31f3ydy231令3y t得：f3ydy 111f t dt I 1332x令 u得：221 x fdx 2ftdu 2I12所以原式=22I31100 101102，假设线性方程组AX 无解，那么 (5)设矩阵A00113 100a
5、b，b -6(A)a 1，b -6(B)a 1(C)a 1，b=-6(D)a 1，b=-6(6)设A,B为 5 阶非零矩阵，且AB O()(A)假设r(A)1那么r(B)4(B)假设r(A)2那么r(B)3(C)假设r(A)3那么r(B)2(D)假设r(A)4那么r(B)10 p(A)1,那么(7)设A,B为两个 随机事件，且A B，(A)P(AB)1P(B)(B)P(AB)1P(B).(C)P(B A)P(B)(D)P(B A)P(B)【答案】(B)【解析】A.P(AB)P(AB)1P(AB)1P(A)B.P(AB)1P(AB)1P(B)C.P(B|A)P(AB)P(A)1P(A)P(A)D
6、.P(B|A)P(AB)P(B)P(A),1P(A)P(A)0 P(A)1,P(B)P(A)P(B).1P(A)所以，答案选 B.(8)设t(n)表示自由度为 n 的 t 分布的分位数，那么(A)t(n)t1(n)1(B)t(n)t1(n)2(C)t(n)t1(n)1(D)t(n)t1(n)0【答案】(D)【解析】设Xt(n)，PX t(n)，那么PX t(n),PX t(n)1，PX t1(n)1,t(n)t1(n)，故t(n)t1(n)0.所以答案选 D.二、填空题：二、填空题：9 9x0答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(9)lim(1cos x)1_lnx esin xlimx1cos
7、xx0【解析】原式 eln(1cosx)limlnxx0 exsin xlim1x0cosxx0lim exsinx12x2 e2.(10)函数f(x)x的第二类间断点为x _1sin x 1x,(k 1,2,)1sin x 1x【解析】limxk(11)假设连续函数f(x)满足【解析】对0f(t)dt e3x那么f(e)_ex0f(t)dt e3x两边求导，得f(ex)ex3e3x，令x 1，得f(e)3e2.(12)设fx,y为连续函数，交换积分次序，212xxdx2fx,ydy=_x2【解析】有题意知，积分区域为D (x,y)|1 x 2,2 x y 2x x2，交换积分次序，得21dx
8、2xx22xf(x,y)dy dy011 1y22yf(x,y)dx.(13)设 3 阶矩阵A1,2,3，B 13,122,223，假设A 1，那么B _110【解析】B 13,122,2231,2,3021 AC,102110C 021 3,所以B A C 1(3)3。102(14)某运发动每次投篮投中的概率为2，他连续投篮直到投中两次为止，假设各次投篮的结果相3对独立，那么他投篮总次数为4 的概率为_.【答案】4271次，第4次投篮命中【解析】所求概率p P前3次投篮命中.C3()()()121332234.27答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤解容许
9、写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值 10 分)xxe,x 0,设函数fx求f(x).2sinsin x,x 0,【解析】x 0时f(x)ex(1 x)；x 0时f(x)cos(sin2x)sin 2x；f(x)f(0)xexf(0)lim lim1;x0 x0 xxf(x)f(0)sin(sin2x)f(0)lim lim 0;f(0)不存在.x0 x0 xx(16)(此题总分值 10 分)2z设函数z x,y，由方程x 3y z 22确定，求2.y3,2223【解析】当x 3,y 2时,z 1对等式两同时对y求偏导数,可得6y3z2zz 0,那么可以解得:4yy再次对等式
10、两边对y求偏导数,可得:2z22z2 z66z()3z0,解得2 34.2yyy(17)(此题总分值 10 分)2设D是由曲线y 4 x和直线y x 2所围成的平面图形，求D的面积S及D绕X轴旋转所得旋转体的体积V。y 4x2【解析】联立，得y x2x 2x 1或y 0y 3.所以S(4 x2 x2)dx21x3x2192x.2322V 1224 xdx32323 x5831x 16x95321531089.551(18)(此题总分值 10 分)计算二重积分x1dxdy，其中区域D由直线x y 0，x3y4 0及x轴围成。D【解析】D1:0 y x,0 x 1;D2:1 x 43y,0 y 1
11、.x1dxdyD1 xdxdyx1dxdyD1D2dx(1 x)dydy0001x143y1x1dx135.623(19)(此题总分值 10 分)设函数y fx是微分方程xy y xln x满足条件yx1 1的解，求y fx的极4值。【解析】xy y xln x的通解为dxdx1 1xxln xedxCx2(2ln x1)C，y ex 411由初始条件求出C 0.从而，y 111x(2ln x1)，y ln x.424.111令y 0，解得x e，又y，由y(e2)0知x e2是极小值点，2x1211所以y f(x)的极小值为y(e)e2.212(20)(此题总分值 11 分)向量组11,1,
12、0,5，22,0,1,4，33,1,2,3，44,2,3,a，其中a是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。TTTT10【解析】1,2,3,40021003423020021003200430010(I)当 2时，1,2,3,4001,2,3,4的秩为 2，1,2是一个极大无关组3 122,4 2132(II)当 2时，1,2,3,4的秩为3，且1,2,4是一个极大无关组，3 122(21)(此题总分值 11 分)201100矩阵A 313相似于 010，40a00b(I)求a、b的值,(II)求可逆矩阵P，使P AP？【解析】由A和相似，知trAt
13、r，A ，故3 a 2b,2a 4 b，解得a 5,b 6.1由A和的特征值相同知A的特征值为121,3 6121对应的线性无关的特征向量为：解E Ax 0得到10,1,0,21,0,1TT3 6对应的线性无关的特征向量为：解6E Ax 0，得到31,3,4T011令P 1,2,31030141001那么P AP 010.006(22)(此题总分值 11 分)设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为YX012且E(Y)0118a141814b1。2I求常数a，bII求X与Y的相关系数。1122ab 11184【解析】(I)由，解得b,a；88E(Y)3b 182(II)Cov(X,Y)E(X
14、Y)E(X)E(Y)1911，28216.159239()，8864111D(Y)E(Y2)E2(Y)，244D(X)E(X2)E2(X)XYCov(X,Y)1.D(X)D(Y)39(23)(此题总分值 11 分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为32x y,x 0,y 0,2x y 2fx,y40,其他I求PY 1；II求Z 2X Y的概率密度。【解析】(I)P Y 1 y1f(x,y)dxdy dy012y203(2x y)dx431111(1y2)dy；40416(II)Z的分布函数为FZ(z)PZ z P2X Y z，当z 0时，FZ(z)0，当0 z 2时，FZ(z)z20dxz2x031(2x y)dy z3，48当z 2时，FZ(z)1，从而Z的概率密度为32z,0 z 1.fZ(z)80,其他.
